一元二次方程知识点及其应用

1、一相知点理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1未知数的最高次数为 ，整式方程，可化为一般形式； 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（明确只有当二次项系数 0 时,整式方程ax 0才是一元二次方程.（2）各项的确(括各项的系数及各项的未知数.（3）熟练整理方程的过一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解列出实际问题的一元二次方程二解法 确一元二次方程是以降次为目，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解；根据方程系数的特熟练地选用配方法、开平方法公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 体会不同解法的相互的联系；值得注意的几个问

2、题：(1)开平方:对于形如x2n或 )2n( 的一元二次方程一二次方的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负,可用开平方法求解。形如x的方程的解法：当 时，x ；当n 0时， x 0 1 ；n 0当时，方程无实数.（2）配方法：通过配方的方法把一元次方程转化为 x m)2n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； “系数化 据式的性质把二次的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 x m 2 n的形式求解：若 0时，方程的解为x n，若 0时，方程无实数（3）公式法：一

3、元二次方程2bx 的 x b 2 ac当 2 0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；当b 2 时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为x x 1 b2;第 页 共 页 时 当时，方程无实数公式法的一般步骤一元二方程化为一般式确定a, , c的值;代入b 中计算其值判断方程是否有实数根；若 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量另外求根公式对于任何一一元二次方程都适用中也包括不完全的一元 二次方程）（4）因式分解:因式分解法解一元二次方程的依据 如果两个因式的积等于 ，那么这两个因式至少有一个为 0,即：若ab 0 则 a 或b ;因式分解法的一般步骤：若

4、方程的右边不是零,先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到 两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法 较别的方法可能要便的多 只不过应注意二次根 式的化简问题.方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻.(6)解含有字母系数的方程（1)含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不 要忘记对字母的取值进行讨论。三根判式了解一元

5、二次方程根的判别式概,能用判别式判定根的情况，并会用别式求一元二次方程中符合题 意的参数取值范.（1= （2根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程 0 方有实数根；当 时 0（ 0) 0 （当 方有两个不相等的实数根；当 0时 方有两个相等的实数根当 0时方程无实数根；从左到右为根的判别式定从右到左为根的判别式逆定理。常见的问题类型（1)利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 ）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 ）应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式（关键步骤第 页 共 页用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号;总结出结论.（

6、4）分类讨论思想的应用：如果方程出的时未指明是二次方后面也未指明两个根，那一定对方程 进行分类讨论如果二次系数为 ，方程有可能是一元一次程；如果二次项系数不为 0一元二次方程可 能会有两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合角形、四边形、不等(组）等知识综合命题，解答要在全面分 析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四一二方的用。数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位,偶数，连续整数等形。几何问题这类问题要结合几何图形性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何

7、知识检.。增长率问题（下降率类问题中，一般有变化前的基数（a ）增长率（ 变的次数（ )，变化后的基数（ b 四之间的关系可以用公a (1 )b表示。其实问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍。五实应（1）有 米的篱笆材料想成一矩形仓,要求面积不小于 平米，在场地的北面有一堵 米 的旧墙有人用这个篱笆围成一个长 米宽 10 米的仓库,但面积只有 平米,不合要,问应如何设计 矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算周瑜去世时的年)：大江东去浪淘尽古风流数人立之年督东,英年早逝两位数位小个位三位平方与寿符， 哪位学子算得准，多少年华属周瑜 ）(3)已 知 ：

8、, b 分 别 是 ABC 的 三 边 长 ， 当 m 时 ， 关 于 的 一 元 二 次 方 程c ( x 2 ) ( x 2 ) max 有两个相等的实数根，求:ABC是直角三角.第 页 共 页2 2 （4）已知：a, , c 分是 的边长，求证:程b2 2 b 2 2 ) x 2没有实数根（5）当是什么整数时于的一元二次方程mx 2 与 2 0的根都是整数？（ )已知关于的方程 2 x 2m x m其为实数当为何值时方没有实数根？（2）当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案）m （2）x (二)一元二次方程的解法 开平方法解下列方程：）5125 0（ x 1 2

9、） （2)169( 2（x 156 22, 13 13）（3）y 361 （原方程无实根）(1 2 （ 1 ）配方法解方程：）x 0（x 6） （2)y2 （x 212）公式法解下列方程：） 6 （x 3 3）(2） p（ p 2)第 页 共 页2因式分解法解下列方程：2（1）14x2 （ ）(2）y2 y 45 0 ( y y 1 )（3）8x2 （ x 11 , 4 )（47 221 （ x 0, )解法的灵活运用（用适当方法解下列方)：（1）2(2 x 7) 2 （x 72 2） （2）2 2 2( )2（m 2 62）含字系的程解关于 x 的程）x2 mx 2 2（ , m 1 )（2

10、）x2 4ax a （ 1 2）(三）一元二次方程的根的判别式 不解方程判别方程根的情况：）x2 7 (有两个不等的实数) ） x2 （无实数根)为何值时，关于 x 的次方程kx （1）有两个不等的实数根 （k k 0)（2）有两个相等的实数根 （k ）无实数根(k )第 页 共 页已知关于的方程3 )1 224 x 2 x 有两个相等的实数根求的值和这个方程的根1 2, x x （1 2或若方程x a x 2 有实数根，求：正整数 。 （a )对任意实数 m求证:于 x 的程 mx 4 无实数根.为何值时方程 k x k 有实数根。设 m 为整且 4 m 程 2 2(2 m 2 有两个相异整

11、数根 m 的值及方程的根=12 时方程的根为 16, 26 1 ;当=24 时方程的根为 38, 1 ）第 页 共 页某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 件每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存场决定采取适当降价措施调查发现果每件衬衫每降价 商每天可多售 出 2 件 若商场平均每天要盈利 1200 元每衬衫应降价多少元？ （20 元已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD 的点 BC 同出发，甲由 向 D 运，乙由 B 运，甲的速度为每分钟 1 千米,的速度每分钟 千，若正方形广场周长为 40 千，问几分钟后，两人距 千米？ 分后）某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款 万资金，用于产这种产签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息息本金的 8该产品投放市场后由于产销对,使司在两年到期时除还清贷款的本金和利息,还盈余 72 万元若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相,求这 个百分数 （20%如图，东西和南北向两条街道交于 点甲沿东西道由西向东走， 速度是每秒 ，乙沿南北道