高考数学(理数)一轮复习学案8．3《空间点、线、面之间的位置关系》(含详解)

1、PAGE PAGE 1083空间点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内它的作用是可用来证明点在平面内或_(2)公理2：过_上的三点，有且只有一个平面公理2的推论如下：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题2空间两条直线的位置关系(1)位置关系的分类eq

2、 blc(avs4alco1(共面直线blc(avs4alco1(相交直线：同一个平面内，有且只有 .,平行直线：同一个平面内，.),异面直线：不同在任何一个平面内，.)(2)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O

3、作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线所成角的范围是_若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线_，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和_3平行公理公理4：平行于_的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)它给出了判断空间两条直线平行的依据4等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_自查自纠：1(1)两点直线在平面内(2)不在一条直线(3)有且只有一条2(1)一个公共点没有公共点没有公共点(2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)互相垂直异面垂直3同一条直线4相等或互补 若l1，l2，l3是空间三条

4、不同的直线，则下列命题正确的是 ()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解：易知仅B正确故选B (eq avs4al(2018厦门调考)设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：设ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交其中真命题的个数是 ()A0 B1 C2 D3解：因为ab，bc，所以a与c可能相交、平行、异面，故错因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故错由a，b相交，b，c相交，则a，

5、c可能异面、相交、平行，故错故选A (eq avs4al(2017黑龙江哈师大附中月考)若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 ()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角故选D 有下列四个命题：若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交平面于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；若直线a不平行于平面，且a，则

6、内的所有直线与a异面其中正确命题的序号是_解：在中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与平面的交线上，即P，Q，R三点共线，所以正确在中，因为ab，所以a与b确定一个平面，而l上有A，B两点在该平面上，所以l，即a，b，l三线共面于；同理a，c，l三线也共面，不妨设为，而，有两条公共的直线a，l，所以与重合，即这些直线共面，所以正确在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以错在中，由题设知，a与相交，设aP，如图，在内过点P的直线l与a共面，所以错故填 (eq avs4al(2018广东百校联盟联考)如图，E是正方体ABCDA1B1C1D

7、1的棱长C1D1上的一点，且BD1平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为_解：不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1CBC1O，连接EO，如图所示，在BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1OE，则BD1平面B1CE，据此可得OEC为直线BD1与CE所成的角在OEC中，边长ECeq r(5)，OCeq r(2)，OEeq r(3)，则OEC是直角三角形，即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为eq f(r(3),r(5)eq f(r(15),5)故填eq f(r(15),5)类型一基本概念与性质问题(eq avs4al(2017福建闽侯三中月考)A

8、BCDA1B1C1D1是正方体，在图1中，E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图1、2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明解：在图3中，过点E作EN平行于B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线在图4中，延长DC，过点C1作C1MA1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线证明：在图3中，因为直线ENBF，所以B、N、E、F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M因为MEF，且MNB，而EF平面AEF，NB平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点又因为点A是平面AE

9、F和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线在图4中，C1M在平面DCC1D1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线点拨：本题解题的关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面，进而找出两面相交的交线如图所示，E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M因为MD1F，MDA，D1F平面BED1F，DA平面AB

10、CD，所以M平面BED1F平面ABCD，又B平面BED1F平面ABCD，连接MB，则平面BED1F平面ABCDMB故直线MB即为所求两平面的交线类型二点共线、线共点问题如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD在BCD中，因为eq f(BG,GC)eq f(DH,HC)eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所

11、以P平面ABC同理P平面ADC所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，即P，A，C三点共线点拨：证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C

12、1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点证明：(1)如图所示因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设平面AA1C1C为，又设平面BDEF为因为QA1C1，所以Q又QEF，所以Q所以Q是与的公共点同理，P是与的公共点所以PQ又A1CR，所以RA1C，R，且R则RPQ，故P，Q，R三点共线(3)因为EFBD且EFBD，所以DE与BF相交，设交

13、点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1又平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，所以MCC1所以DE，BF，CC1三线交于点M类型三共面问题如图，已知直线abc，laA，lbB，lcC求证：直线a，b，c和l共面证明：方法一：(辅助平面法)因为ab，所以a，b确定一个平面因为Aa，Bb，所以A，B又Al，Bl，所以l因为Cl，所以C，所以直线a与点C同在平面内又ac，所以直线a，c确定一个平面因为Cc，c，所以C，即直线a与点C同在平面内，由公理2的推论1，可得平面和平面重合，则c所以a，b，c，l共面方法二：(纳入平面法)因为ab，所以a，

14、b确定一个平面因为Aa，Bb，所以A，B又Al，Bl，所以l则a，b，l都在平面内，即b在a，l确定的平面内同理可证c在a，l确定的平面内因为过a与l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面，即直线a，b，c和l共面点拨：证明点、线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有：辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面，重合；纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内下列如图所示的正方体和正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填所有满足条件图形的序号)解：易知中PSQR，所以四点共面

15、在中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面在中，由点P，R，Q确定平面，由图象观察知点S在平面外，因此四点不共面综上知，故填类型四异面直线问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否为异面直线？并说明理由；(2)D1B和CC1是否为异面直线？并说明理由解：(1)AM和CN不是异面直线，理由如下：如图，连接A1C1，AC，MN，因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1又A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一个平面内故AM和CN

16、不是异面直线(2)D1B和CC1是异面直线，理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1，所以BC平面CC1D1，这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾，所以假设不成立，故D1B和CC1是异面直线另解：D1在CC1D1内，B不在CC1D1内，CC1不过D1点拨：空间两条直线的位置关系共有三种：异面，平行，相交要证两条直线是异面直线，要否定其为平行、相交两种情况，另外，也可由“与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线”证明要证两条直线相交，只要证其共面不平行即可(eq avs4al(2017清原县高级中学月考)在长方体ABC

17、DA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线因为B1D1BD，lB1D1，所以l直线BD(2)在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成角，因为BDB1D1，所以直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线，如图由图知m与BD是异面直线

18、，且m与BD所成的角eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)当eq f(,2)时，这样的直线m有且只有一条，当eq f(,2)时，这样的直线m有两条(eq avs4al(2018四川泸州模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于解：取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH因为E是CC1的中点，所以GC1EH所以OEH即为异面直线OE与FD1所成的角在OEH中，OEeq r(3)，HEeq f(r(5),2)，OHeq f(r(

19、5),2) cosOEHeq f(f(OE,2),EH)eq f(r(15),5)故填eq f(r(15),5)点拨：求解本题的关键是作出异面直线所成角，先选择适当的点，如线段的中点或端点，再平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；然后证明所作的角是异面直线所成的角；接着在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；最后注意取舍，因为异面直线所成角的取值范围是0 90，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(eq avs4al(2018湖南师大附中一模)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成角的余弦值为 ()Aeq f(1,4)

20、Beq f(1,4)Ceq f(1,2) Deq f(1,2)解：设正三棱柱ABCA1B1C1各条棱长为1，取AB1中点M，BC中点N，易知所求角为AMN(或其补角)，cosAMNeq f(f(1,2)f(1,2)f(3,4),2f(r(2),2)f(r(2),2)eq f(1,4)故选A1判断空间线面关系命题的真假，是一类常见的客观题解这类题，一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观如教室就是一个长方体，建议同学们学立体几何时充分借助这一模型2要重视三种数学语言文字语言、符号语言、图形语言的互译，特别要培养准确使用符号语言的能力在空间图形中，点是最基

21、本的元素，点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，防止出现符号“”“”混用的错误3求两条异面直线所成角的步骤是：先作图，再证明，后计算作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线，即平移线段法，此法是求异面直线所成角的常用方法，其实质是把异面问题转化为共面问题；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)4证明“线共面”

22、或者“点共面”问题时，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内5证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线1下面三条直线一定共面的是 ()Aa，b，c两两平行 Ba，b，c两两相交Cab，c与a，b均相交 Da，b，c两两垂直解：因为ab，所以a，b确定了一个平面，又c与a，b均相交，所以c只能在a，b确定的平面内，即a，b，c共面故选C2如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 ()解：A

23、，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RPSQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线故选C3(eq avs4al(2018安徽马鞍山质检)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A直线CC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CA1C1平面AB1ED直线AE与B1C1为异面直线，且AEB1C1解：直线CC1与B1E均在平面BCC1B1内，两直线不是异面直线，故A错误；因为A1B1C1是正三角形，所以ABC是正三角形，所以CA

24、B60，可知AC平面ABB1A1不成立，故B错误；因为ACA1C1，AC与平面AB1E相交，所以A1C1平面AB1E不成立，故C错误；由ABC是正三角形，得AEBC，又AECC1，所以AE平面BCC1B1，所以直线AE与B1C1为异面直线，且AEB1C1，故D正确故选D4(eq avs4al(2018云南大理模拟)给出下列命题，其中正确的两个命题是 ()直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；直线m平面，直线n直线m，则n；a，b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等A与 B与 C与 D与解：直

25、线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m平面，直线m直线n，则直线n可能平行于平面，也可能在平面内，因此为假命题故选D5(eq avs4al(2017抚顺市第六中学月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线 ()A12对 B24对 C36对 D48对解：因为每条棱都有4对，但其中都有2次重复，故所求为eq f(412,2)24故选B6(eq avs4al(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BC CC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ()Aeq f(r(3),2) Beq f(

26、r(15),5) Ceq f(r(10),5) Deq f(r(3),3)解：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1eq r(5)，AD1eq r(2)在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1eq r(1222212cos60)eq r(3)，所以 cosB1AD1eq f(523,2r(5)r(2)eq f(r(10),5)故选C7(eq avs4al(2018陕西西安期末)如图，在

27、正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_解：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，错，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确故填8(eq avs4al(2017武汉市第十五中学月考)在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是A

28、B、CD的中点，且EF5，又AD6，BC8，则AD与BC所成角的大小是_解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，GF，易知直线AD与BC所成的角即EGF又EF2EG2GF2所以EGF90，则异面直线AD与BC所成的角为90故填909(eq avs4al(2017鞍山市第三中学月考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AD、A1B1、B1B的中点(1)画出过M，N，P三点的平面与平面AC的交线以及与平面BC1的交线；(2)设过M，N，P三点的平面与BC交于点R，求PR的长解：(1)延长NP、AB交于点Q则Q平面MNP，Q平面AC又M平面MNP，M平面AC所以平面MNP

29、平面ACMQ设MQBCR则平面MNP平面BC1PR(2)因为P为BB1中点，所以BQB1Neq f(1,2)AB，所以BReq f(1,3)AMeq f(4,3)(cm)所以PReq r(BP2BR2)eq f(4,3)eq r(10)(cm)10(eq avs4al(2018合肥模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点(1)求三棱锥B1A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果不平行，请说明理由；如果平行，请在平面A1BE上作出一条与B1F平行的直线，并说明理由解：(1)VB1A1BEVEA1B1Beq f(1,3)SA1B1BDAeq f(1,3)eq f(1,2)222eq f(4,3)(2)B1F平面A1BE如图，延长A1E交AD的延长线于点H，连接BH交CD于点G，连接EG，则BG即为所求理由如下：因为A1B平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE又因为A1BCD1，所以GECD1，且E为DD1的中点，所以G为CD的中点，又F为C1D1中点，所以BG