2022年全国乙卷高考数学真题（含答案解析）

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.i 中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 = 1,2,3,4,5,集合 M满足QM = 1,3,则()D,【答案】A【分析】先写出集合然后逐项验证即可【详解】由题知2,4,5,对比选项知，A正确,BCD错误 故选:A2.己知z = -2i，且z + & + b = 0,其中a, b为实数，则()A. a = l,b = -2B. a = -l,b = 2C. a = ,b = 2D. a = -,b = -2【答案】A【分析】先算出z，再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z =1

2、 + 21z + az+b = -2i + a( + 2i) + b = ( + a + b) + (2a- 2)i故选:A己知向量另满足|Z|=1,|5|= 2片|=3,则a b=()D.2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：I一2|2=|4冊+ 4时，又.|石|=1,|=占,|一 *|=3,9=14万5 + 4x3 = 134 石&-ab = 故选：C.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成 人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,4 = 1 +j%+ ，依此类推，其中gN0 = 1,2,.).则%+ %A. b b5【答案】

3、D【分析】根据A. b b5【答案】D【分析】根据N*(k = l,2,)，再利用数列如与.的关系判断如中各项的大小, 即可求解.【详解】解：因为wN“(A = l,2,.)，B. b3 b.C. b6 h2D. b4 b所以土扌a+丄,得到Kg,%Ct, H Ct, +1 1又因为2%+%+ %同理1 1又因为2%+%+ %， + / +j% + % +,% %+ 故h2b4- 以此类推，可得4 缶&,们毎，故A错误; % a2+，得如 +j%+j- 2+- .得bA0.01；a2 I 15225执行第二次循环，D = Z?+& = 7+10 = 17 ,a = b a = 1 5 = I2

4、,n = n + = 4,4-2a0.011444-2a0.01144此肘输出 =4.故选：B在正方体ABCD-A.BD,中，E, F分别为AB,BC的中点，则()A.平面B,F丄平面BDDB,平面B.EF丄平而BDC.平面B.EFH平面A.ACD.平面BXEFH平面A.QD【答案】A【分析】证明EF丄平面位，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系, 设AB = 2,分别求出平面BEF , BD, A.QD的法向量，根据法向量的位置关系，即 可判断BCD.【详解】解：在正方体ABCD-AC.D,中，AC1BD且DR丄平面ABCD,又身u平而A8CD，所以EF丄DD”因为为F分别为A

5、B,BC的中点，所以EFUAC,所以EF丄8。，又 8DCI DD】=D,所以EF丄平MBDD,又EFu平面BF ,所以平面鸟欧丄平面8DQ,故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB = 2,则 8(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),B(2,2,0)，4(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),则薜=(一1,1,0),风=(0,1,2),厉=(2,2,0),丽=(2,0,2),薊=(0,0,2),花=(_2,2,0),福=(_2,2,0),设平面的法向量为系= (c，zj ,则有用丘？= 一为+凹=0 则有用丘？= 一为+凹=0 用

6、Eg = m + 2Z| =0可取 w =（2,2,-l）,同理可得平而ABD的法向量为& =, 平面A,AC的法向量为兄= (1,1,0),平面片弓。的法向量为；i； = (l,l, -1),则兩.元=2-2 + 1 = 1。0,所以平面鸟已尸与平面ABD不垂直，故B错误;IIU因为而与昭不平行，所以平面鸟已与平面AtAC不平行，故C错误: 因为扁与公不平行，所以平面片引7与平面A,C,D不平行，故D错误, 故选：A.己知等比数列0的前3项和为168, /-=42,则 =()A. 14B. 12C.6D.3【答案】D【分析】设等比数列%的公比为。7 = 0,易得qQ,根据题意求出首项与公比，

7、再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列%的公比为q,q#。， 若q = l,则a2-a5=0,与题意矛盾,所以0 = 1,则，a.+ay+a=则，a.+ay+a= 168I白 2_%=qq_g4=42解得，% =96所以 =% =3.故选：D.己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该 四棱锥的体积最大时，其高为（）A. *B. 1C.匝D.豆3232【答案】C【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最 大值为2F，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而 得到当该四棱锥的体积最

8、大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面 四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为厂，设四边形ABCD对角线夹角为。，则ACBDP2Pl。记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）B.该棋手在第二盘与甲比赛，“最大D.B.该棋手在第二盘与甲比赛，“最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，最大【答案】D 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两 盘的概率P甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率久；该棋手在第二盘与丙比赛 且连胜两盘的概率。丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且

9、连胜两盘的概率为卩则用=2（1 - P2 ）p“3 + 2p2 Pl （1 - P3） = 2巧（P2 + P3） - 4巧 P2P3记该棋手在第二盘与乙比赛，日连胜两盘的概率为p乙则 p乙=2（1- px ）pg + 22（1 - P3）= 2P2（Pi + P3IP1P2P3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙则 P丙=2（1 - P|）P3P2 + 2四 P3（1 - P2）= 2P3（Pl + P2）- 4巧 P2则为- 乙=2四 S + P3）- 4P1P2P3 - 2P2（Pi + P3）- 4P/2P3 = 2（巧 一 P2 ） P3 。P乙-P丙=20（P| + P

10、3）-4P1P2P3 -2P3（P| + P2）-4p,p2p3 = 2（p2-p3）p1 0即四V P乙,P乙P丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误：P与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D双曲线C的两个焦点为鸟，E，以C的实轴为直径的圆记为D,过K作。的切线与C 交于M, N两点，且cos匕鸟=:,则C的离心率为（）A.匝B.lC.也D.也2222【答案】C【分析】依题意不妨设双曲线焦点在尤轴，设过*作圆。的切线切点为G,可判断N在双 曲线的右支，设匕鸟昭=。，LFN = 0 ,即可求出sin a, si, cos们在心 N 中由si

11、n/EN = sin（a +。）求出sinZfjN,再由正弦定理求出|A饵四句，最后 根据双曲线的定义得到2b = 3a,即可得解：【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过片作圆D的切线切点为G, 所以。GA.NF、,因为cosZg/Vg=；0,所以N在双曲线的右支， 所以OG = a, OF = c, GF = b,设ZRNFya ,= 0,由 cosZENR = -, B|J cos a = - , Rij sin a = , sin /? = , cos 0 = , 555 c c在 BFFN 中，sin Z.FXF2N = sin - a - /?） = sin （a + ）介n

12、 4 b 3 a 3a + 4b=sin a cosp + cosasinp = x + -x =5 c 5 c 5c由正弦定理得仝=嗯=普以号5cid i* i 3a + 4b 5a 4b-2a _ 又阴倒=一z=一z一 = 2a,222sin a sin p sin Z.FF2N 2所以阴5cid i* i 3a + 4b 5a 4b-2a _ 又阴倒=一z=一z一 = 2a,222故选:C12.已知函数，a),g(x)的定义域均为R,且/(r) HgC 7 # feX伊x今一7= .若22y = g(x)的图像关于直线x = 2对称，g=4,则/(幻=()A. -21【答案】DB. -2

13、2A. -21【答案】DB. -22C. -23D. -24【分析】根据对称性和已知条件得到/(x) + /(x-2) = -2,从而得到 /（3）+/（5）+. + /（21） = -10, /（4）+/（6）+.+/（22） = -10,然后根据条件得到 /(2)的值，再由题意得到g=6从而得到f(l)的值即可求解.【详解】因为y = g(x)的图像关于直线a-=2对称，所以 g(2-x) = g(x+2),因为gST(x_4) = 7,所以g(x+2)-/(x-2) = 7,即g(2) = 7 + f(x-2),因为加+ g(2-x) = 5,所以 f(x)+g(x+2) = 5t代入得

14、 /(-r) + 7 + /(.r-2) = 5,即 /(x) + f(x - 2) = -2 ,所以/(3)+/(5)+.+/(21) = (-2)x5 = -10,/+/(6)+.+/(22)= (-2)x5 = -10.因为/+ g(2r) = 5,所以J(0) + g(2) = 5,即/(0) = 1,所以/(2) = -2-/(0) = -3.因 g一f(x4) = 7,所以g(x+4)-f(x) = lt 又因为/(x) + g(2-x) = 5, 联立得,g(2-x) + g(x+4)= 12,所以y = gM的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g=

15、6因为/(x) + g(K+2) = 5,所以f=5-g(3)= -1.所以史伸)=/(1)+/+/(3)+/(5)+.+/(21)+/(4)+/(6)+.+/(22)=-1-3-10-10=-244=1故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题S分，共20分.13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为【答案】土枷3【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C； = 10甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、

16、乙都入选的概率P = M故答案为：号14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的个圆的方程为 答案】(x_2)2+(y_3)2=3 或(*_2)2+()_1)2=5或8丫 / 八2 169 F +(T =为【分析】设圆的方程为丁+丁+以十十卩=。，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;故答案为：号14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的个圆的方程为 答案】(x_2)2+(y_3)2=3 或(*_2)2+()_1)2=5或8丫 / 八2 169 F +(T =为【分析】设圆的方程为丁+丁+以十十卩=。，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即

17、可;【详解】解：依题意设圆的方程为孑+丁+以+与+尸=0,F = 0 若过(0,0),(4,0), (1,1),贝ij- 16+4D + F = 0,解得，l + l-D+E+F = 0F = 0D = -4,E = 6所以圆的方程为 J + y2-4x-6y = 0.即(x-2)2 +(y-3)2 =13 ；F = 0若过(0,0),(4,0),(4,2),则-16+4D+F = 0 ，解得，16 + 4 + 4O + 2E+F = 0F = 0D = -4,E = -2所以圆的方程为 j + y2_4x 2y = 0,即(x-2)2+(y-l)2=5：若过(0,0),(4,2), (1,1

18、),则，F = 0l + l-D + E + F = 0,解得-16 + 4 + 4D + 2E+F = 0F = 03砰上3814所以圆的方程为f m即)PT659若过(4,0),(4,2),则-16 + 4D+F = 0,解得，16 + 4 + 4O + 2E+F = 0F危5 眼-也5 = -2所以圆的方程为2 + 2_?工_2,_? = 0,F危5 眼-也5 = -2故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13Wc(x-2)2+(y-l)2=5rx-l +y =x+)(ty0.00. Ov伊V7T)所以最小正周期T = ,因为/(7) = cosc25 + 9)= cos(27c + )

19、 = cos9 =吏， co )2又 0 0,所以当*=0时诵=3；故答案为：316.已知工=玉和工=工2分别是函数f(x) = 2ax-ex2 (a 0且a)的极小值点和极大 值点.若不易，则的取值范围是1【答案】-1le【分析】由心可分别是函数/(x) = 2av-ex2的极小值点和极大值点，可得 工(-0,*)5工2，+00)时，广(工)o,再分 41 和 00, 若a 1时，当x0,2exo,与前而矛盾，故”1不符合题意，若Ova 1时，则方程2 lnaax-2ex = 0的两个根为 W,即方程Inaa* =ex的两个根为&、即函数y = na ax与函数)，= ex的图象有两个不同的

20、交点，令g(x) = lna axt 则g(x) = In2a a0al,设过原点且与函数y = g(x)的图象相切的直线的切点为则切线的斜率为g(xo) = ln2o.小，故切线方程为y - In。濟=hf o 濟(x -,则有一ln=-x0n2a a,解得天=亠，na则切线的斜率为In岑品=eln%，因为函数y = na ax与函数)，= ex的图象有两个不同的交点，所以 eln2 a e 解得e又0,所以-accosA.则 50 - 3阮=25 ,31所以bc = ,2故(/?+c)2 =b2 +c? +2Z?c = 50+31 =81,所以b+c = 9,所以2 ABC的周长为“+0+

21、c= 14.18.如图，四面体 ABCD 中，AD 丄 CD, AD = CD,ZADB = ZBDC , E为 AC 佝中点.（1）证明：平面BED丄平面ACD； （2）设AB = BD = 2,ZACB = 6O,点F在。上，当AFC的面积最小时，求CF与 平面A8D所成的角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2） CF与平而所成的角的正弦值为竺7【分析】（1）根据己知关系证明産C8D,得到AB = CB,结合等腰三角形三线 合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明：（2）根据勾股定理逆用得到BE丄。从而建立空间直角坐标系，结合线而角的运算法 则进行计算即可.【小问1详解】因为

22、AD = CD, E为AC的中点，所以AC1.DE,在A8D 和 UCBD 中，因为 A。= CD, ZADB = ZCDI3, DB = DB ,所以性CB,所以AB = CB,又因为E为AC的中点，所以ACLBE-.又因为平面8政），DEcBE=E,所以AC丄平面BED，因为ACu平面ACD,所以平面8ED丄平面ACD.【小问2详解】连接EF,由（1）知，AC丄平面B以），因为EFu平面BED,所以AC.LEF,所以Safc=AC EF,当以丄Z）时，最小，即的面积最小.因为性CBD,所以CB = AB = 2, 又因为46 = 60。，所以VABC是等边三角形， 因为占为AC的中点，所以

23、AE = EC = , BE = H，因为AO丄CD,所以DE = -AC = ,2在DDEB 中，DE2+BE2=BD2 所以 BE 丄 DE .以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz ,则 A（l,0,0）,B（0播,0）,。（0,0,1）,所以桥=（一1,0,1）,而=（一1航,0）, 设平面AB）的一个法向量为日= 3y,z）,则,取y则,取y邓,则 1 =（3,JJ,3）,HAB = -x+yl3y = 0又因为 C（一 1,0,0）,F以 所，又因为 C（一 1,0,0）,F以 所，3 - 4/3_4O,73 - 4所以海们眺） 6 =4占 丽一扃是r设设CF与平面所

24、成的角的正弦值为所以sin0 =所以sin0 =cos（g）| =翠,所以g所以g平面枷所成的角的正弦值为堤样本号i12样本号i12345678910总和根部横截面积光0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.00.6材积量其0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.4C3.9101010并计算得=0038,=16158,满=0.2474.（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截而积与平均一棵的材积量：（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）：（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截而积

25、，并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为186mJ已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数尸二j,尸“Jl.896 5.377.V i=!i=l【答案】（1） 0.06m2: 0.39m3（2）0.97（3）1209m5【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林 区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的 总材积量的估计值.【小问1详解】样

26、本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值吏=芳=0.063 9样本中10棵这种树木的材积量的平均值歹=希=0.39据此订估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?, 平均一棵的材积量为0.39n?【小问2详解】1（）10Z3 f ）（乂 顼枯- io 歹矿= =l 0.2474-10 x0.06x0.390.01340.0134 八=,= .= a= 0.977（0.038 -10 x 0.062）（1.6158 -10 x 0.392） V0.0001896 0.01377则 r a 0.97【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为Km3，又已知树木的材积量与其根部横截

27、面积近似成正比，可得0.06039可得0.06039= 解之得 K= 1209m?.则该林区这种树木的总材积量估计为1209m，20.己知椭圆E的中心为坐标原点20.己知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、），轴，且过A（0,-2）,B(1-)两点.（1）求E的方程;（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M, N两点,过归且平行于x轴的直线与线段交于 点7点H满足MT = TH.证明：直线HN过定点.【答案】（1） + = 14 3（2） （0,-2）【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可：（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭

28、圆E的方程为mx2+ny2=,过1则0,当 E(-l,0),g(x) = e + “(l-j)0,即 /V)0所以小)在(-1,0)上单调递増,/(x) 0所以g(x)在(0, +8)上单调递增所以g(x) g(0) = 1 + 口. 0,即fM 0所以M在(0, +00)上单调递増,/(x) /(0) = 0故/Xx)在(0, +00)上没有零点，不合题意3 若 a 0,所以g在(0, -ko)上单调递增g(0) = l + av0,g(l) = e0所以存在m e (0,1)，使得g(m) = 0,即f(m) = 0当 xG(0,m),/(x) 0, f(X)单调递增所以当 xg(0,wi),/(x) +CO所以/在上有唯一零点又(o,m)没有零点，即/(X)在(0, +00)上有唯一零点当 X