复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题7

1、习题 七f(t)f(t)为奇函数时，则有ft) b)sint0其中b() 2 0f sintdt当t为偶函数时，则有ft) a()cost0其中a)2f(t)ostdt 0证明：f (t) G)eitd其中G )为的傅里叶变换G)2 ft)etdt f (t)(cost i sint)dtft)costdt if (t)sintdt当为奇函数时，f(t)cost为奇函数，从而f(t)cotdt 0f(t)sint为偶函数，从而f(t)sitdt 2f(t)sitdt.0故G)if(t)sintdt.有G() G)为奇数。0f (t) 1 G)eitd 1 G)(cost isint)d1= 2

2、G)isintdi G)sintd0所以，当f(t)为奇函数时，有ft) b()sintd.其中b()= 2 f (t) sin tdt.0同理，当f(t)为偶函数时，有ft) a)cosd其中 a) 02 f(t)costdt00f(t解:t,0,t 1.计算a( 的值.t 1a() 2ft)cost 21t2 costt20costt 0 0 1 21t2 costt 2 1 1t2d(sint) 0 02121t2 sintsint 0 0 2 sin 41td(cost)20 2sin 4tcost1 1costdt2 00 2sin 4cos 4sin 20,t 6计算函数ft)si

3、nt,0,t 6 解:Ff )ft)etdt 66sin t eit dt66sint (cost isint)dti6sintsintt0isin6(12)求下列函数的傅里叶变换f(t)et解：Ff)ft)etdt et| ett e(t|t)t0et()dt et()dt 0212(2) f (t) tet2解：因为Fet22e4 .(et2)et2 (t)tet2 .所以根据傅里叶变换的微分性质可得 G)Ftet2 ) e42i(3) f (t) 解：sin 1t2G)F(f) sint ett 1 t2 sint (costisint)t 1 t2 1 cos( )t cos( )ti

4、 sintsint t i2t1t201t2i cos(t ti cos(t t利用留数定理)01t201t2 sin,当|0,当|.(4) f (t) 解:11 t4G) 1etdt cost dti sint dt 1t4 1t4 1 t 42 cost dt cost dt01t4 1t4令R(z)=11 z4，则R(z)在上半平面有两个一级极点(1i),(1 i).222222 R(t)eitdt2iz)eiz,coscost eit1| dt Redte|/ 2 (cossin 1t41t42222(1i)2iResR(z)eiz,(1i) 2222)22(5)f (t)解:G)t1

5、ttdt 1 t4tcostti tsintt 1 t4i tsint t1t41t4同(4).利用留数在积分中的应用,令R(z)= 则i tsintdt (i)Im( tet dt)z1 z41t4i 1t4. e|/22 sin 2F(t)Im(t) 内有界定义函数G 为LL 时，有G ( ) LL / 2Fdt. L / 2p.v. 1 G ()e d F(t)t 成立.(书上有推理过程) i t2L求符号函数 sgnt 解:t| t1,t 0的傅里叶变换.1,t 因为F(u(t) 1 ().把函数sgn(t)与u(t)作比较.i不难看出 sgn(t u(t u(t).故：Fsgn(t)

6、 F(u(t) F(u(t) 1 ()1 () 2 () () 2ii()f (t的傅里叶变换0) (0), f (t)解:1f(t)F-1(F()=1 ) )et2 00而F(cos t)=cos tett00ei t ei t0 00 e tt02 0) )0所以f (t) cost0f(t)F ，a 为一常数. 证明f(at)() F.aaaa解:Ff(at)() f(at)etdt 1 f(at)etd(at)aa0时,u=at.则Ff(at)(1 f(u)eiu1 Fa aa aa0 时,u=at,则Ff (at)( 1 F( .aa故原命题成立.9.设F F f 证明F Ff t.

7、证明：Ff tf tett f ueuuf ueuu f uei()uduf teitdt F .10.设FFff tcos0t 1 F 2 F0以及F f tsin0t 1 F 2F 0.Ff tcost F f te0t +e0t 02212Ff e0t Ff e0t t2 2 1F F200Fftsint F f te0t e0t 01 Ff t t Ff tei t 0 0 1 F 0 F 0f t 0,t 0sint,0 t gtgtet,t 0，其他f * g t.解：f *gtf ( y)g y当t y o 时，若t 0, f y 0, f * g t=0.若0 t 2,0 y t,则f *gt0f(y)gt yy t ey sint ydy0 若t ,0 t y .t y t. 222则f * g t te y sin yt 20,1t 02故f *gtsintcostet ,0 t21et21e.t 2设ut为单位阶跃函数