2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第1节 第1课时　基本立体图形及其直观图、表面积与体积

1、 基本立体图形及其表面积与体积考试要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)特殊的棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱侧棱不垂直于底面的棱柱

2、叫做斜棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(3)正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体(4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环提醒：(1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决(2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行2立体图形的直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴

3、、y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l4柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V eq f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V eq f(1,3)(S上S下 eq r(S上S下)h球S4R2V eq f(4,

4、3)R3提醒：球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r eq r(R2d2).常用结论1按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图 eq f(r(2),4)S原图形2多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r eq f(a,2)，外接球半径R eq f(r(3),2)a(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R eq f(r(a2b2c2),2)(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H eq f(r

5、(6),3)a，内切球半径r eq f(1,4)H eq f(r(6),12)a，外接球半径R eq f(3,4)H eq f(r(6),4)a 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)菱形的直观图仍是菱形()(4)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A. eq f(16,3)B eq f(32,3)C16D24B设球的半径为R，则S4R216，解得R2，

6、则球的体积V eq f(4,3)R3 eq f(32,3).2如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.简单组合体C由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱3一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，13如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 cm，BC835(cm所以AB eq r(12252)13(cm).4利用斜二测画法得到的以下结论中，正确的是_(填序号)三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭

7、圆正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错误；正确第1课时基本立体图形及其直观图、表面积与体积 考点一基本立体图形结构特征1下列说法正确的是()A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体D选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是

8、由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确故选D.直观图2已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A. eq f(r(3),4)a2 B eq f(r(3),8)a2 C eq f(r(6),8)a2 D eq f(r(6),16)a2D法一：如图所示的实际图形

9、和直观图，图图由图可知，ABABa，OC eq f(1,2)OC eq f(r(3),4)a，在图中作CDAB于D，则CD eq f(r(2),2)OC eq f(r(6),8)a，所以SABC eq f(1,2)ABCD eq f(1,2)a eq f(r(6),8)a eq f(r(6),16)a2.法二：SABC eq f(1,2)aa sin 60 eq f(r(3),4)a2，又S直观图 eq f(r(2),4)S原图 eq f(r(2),4) eq f(r(3),4)a2 eq f(r(6),16)a2.故选D.展开图3(1)(2021新高考卷)已知圆锥的底面半径为 eq r(2)

10、，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2 B2 eq r(2) C4 D4 eq r(2)真题衍生已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的轴截面面积为()A eq f(2r(5),9)B eq f(2r(2),9)C eq f(r(5),9) D eq f(r(2),9)B因为圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，所以圆锥的底面周长为1 eq f(2,3) eq f(2,3)，所以底面半径为 eq f(1,3)，高为 eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2) eq f(2r(2),3)，所以轴截面面积为

11、 eq f(1,2) eq f(2,3) eq f(2r(2),3) eq f(2r(2),9).故选B.(2)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为AMNA1，A. eq r(a29b2)B. eq r(9a2b2)C. eq r(4a29b2)D. eq r(a2b2)(1)B(2)A(1)如图，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2 eq r(2)l，解得l2 eq r(2)，所以该圆锥的母线长为2 eq r(2).故选B.(2)正三棱柱的侧面展开图是如图所示的

12、矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程因此蚂蚁爬行的最短路程为 eq r(a29b2).故选A.1.空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析2. 斜二测画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”(2)求面积可用关系式：S直观图 eq f(r(2),4)S原图形3通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：(1)求几何体的表面积或侧面积

13、；(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离 考点二空间几何体的表面积与体积表面积典例11(1)(2020全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A.64 B48 C36 D32(2)如图所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图所示的几何体，那么此几何体的表面积为 ()图图A.(12 eq r(2)a2 B(2 eq r(2)a2C.(32 eq r(2)a2 D(42 eq r(2)a2(1)A(2)B(1)如图所示，设球O的半径为R，O1的半径为r，因为O1的面积为4，所以4r2

14、，解得r2，又ABBCACOO1，所以 eq f(AB,sin 60)2r，解得AB2 eq r(3)，故OO12 eq r(3)，所以R2OO eq oal(sup1(2),sdo1(1)r2(2 eq r(3)22216，所以球O的表面积S4R264.故选A.(2)拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了两个原来的正方形面由于截面为矩形，长为a，宽为 eq f(r(2),2)a，所以面积为 eq f(r(2),2)a2，所以拼成的几何体的表面积为4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a)22 eq f(r(2),2)a2(2 eq r(2)a2.体积典例

15、12(1)(2021四川资阳二诊)已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为 eq f(,3)，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为 ()A.103 eq r(3) B10C. eq f(10,3) eq r(3) D23 eq r(3)(2)(2020新高考卷)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1D1MN(3)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_(1)A(2)1(

16、3) eq f(r(2),3)(1)设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1，圆柱的体积为V，DC将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的面积为S1，圆柱的底面积为S，则S1 eq f(5,6)22 eq f(1,2)22 eq f(r(3),2) eq f(10,3) eq r(3)，S224，V22312.依题意可得 eq f(V1,V) eq f(S1,S)，所以V1 eq f(S1,S)V eq f(f(10,3)r(3),4)12103 eq r(3).(2)如图，由正方体棱长为2，得SA1MN222 eq f(1,2)21 eq f(1,2)11 eq f(3,2)，又

17、易知D1A1为三棱锥D1A1MN的高，且D1A1VA1D1MNVD1A1MN eq f(1,3)SA1MND1A1 eq f(1,3) eq f(3,2)21.(3)如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，由题意可得FO eq f(r(3),2)，FG eq f(1,2)，所以GO eq r(FO2FG2) eq f(r(2),2)，所以SBCG eq f(1,2)1 eq f(r(2),2) eq f(r(2),4)，V1VBCGADMSBCGAB eq f(r(2),4)，V22VFBCG2 eq f(1,3)SBCGGF2 eq f(

18、1,3) eq f(r(2),4) eq f(1,2) eq f(r(2),12)，所以VV1V2 eq f(r(2),3).求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟进训练(2021新高考卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A2012 eq r(3)B28 eq r(2)C eq f(56,3) D eq f(28r(2),3)(2)(2021全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为_(1)D(2)39(1)如图ABCDA1B1C1D1为正四棱台，AB2A1B14，AA12.在等腰梯形A1B1BA中，过A作AEA1B1，可得A1E eq f(42,2)1，AE eq r(AA eq oal(sup1(2),sdo1(1 )A1 E2) eq r(41) eq r(3).连接AC，A1C1AC eq r(44)2 eq r(2)，A1C1 eq r(1616)4 eq r(2)，过A作AGA1C1，A1G eq f(4r(2)2r(2),2