2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第6章 命题探秘3　高考中的数列问题

1、 高考中的数列问题 考点一数列中的数学建模问题 eq avs4al(典例1)(2021新高考卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么 eq isu(k1,n,S)k_dm2.5240 eq blc(rc)(avs4alco1

2、(3f(n3,2n)依题意得，S11202240；S2603180；当n3时，共可以得到5 dm6 dm， eq f(5,2) dm12 dm，10 dm3 dm，20 dm eq f(3,2) dm四种规格的图形，且5630， eq f(5,2)1230，10330，20 eq f(3,2)30，所以S3304120；当n4时，共可以得到5 dm3 dm， eq f(5,2) dm6 dm， eq f(5,4) dm12 dm，10 dm eq f(3,2) dm，20 dm eq f(3,4) dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5315， eq f(5,2

3、)615， eq f(5,4)1215，10 eq f(3,2)15，20 eq f(3,4)15，所以S415575；所以可归纳Sk eq f(240,2k)(k1) eq f(240（k1）,2k).所以 eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,22)f(4,23)f(n,2n1)f(n1,2n)，所以 eq f(1,2) eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,22)f(3,23)f(4,24)f(n,2n)f(n1,2n1)，由得， eq f(1,2) eq isu(k1,n,S)k240

4、 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,22)f(1,23)f(1,24)f(1,2n)f(n1,2n1)240 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(f(1,22)f(1,2n)f(1,2),1f(1,2)f(n1,2n1)240 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(n3,2n1)，所以 eq isu(k1,n,S)k240 eq blc(rc)(avs4alco1(3f(n3,2n)dm2.真题衍生某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用模型假设如下：假设1.传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆

5、发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性潜伏期时间记为m0，以潜伏期时间m0为一个传染周期；假设2.记r0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；假设3.某一固定区域(如某个城市)的人群，保持原有的生活习惯，即r0不变(1)第一模型：无干预模型在上述模型假设中，取m01天，r01.2，假设初始的潜伏期人数为1万，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，由此估算9天后感染总人数是_万人(2)第二模型：无限医疗模型，增加两个模型假设：假设4.政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；假设5.潜伏期病人在传染健康人群后转为爆

6、发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性在第二模型中，取m01天，r01.2，假设初始的潜伏期人数为1万，由此估算_天后感染总人数将超过1 000万(参考数据：1.284.3，1.295.2，1.2106.2，1.22038.3，1.229197.8，1.230237.4，2.28549，2.291 207，2.2102 656)(1)1 207(2)29(1)记an为n天后感染总人数，则a12.2，a22.22，所以a92.291 207，即第9天后感染总人数是1 207万人(2)记bn为第n天收入医院的人数，所以b11，b21.2.由题易得bn为首项为1，公比为1.2的等比数列

7、，所以bn1.2n1.若n天后总感染人数超过1 000万，即b1b2bn1.2bn1 000，所以11.21.221.2n1 000，所以1.2n1201.又因为1.230237.4201，1.229197.8201，所以n130，所以n29，即第29天后感染总人数将超过1 000万解决数列中的数学建模问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题研究模型时需注意：(1)量(多个量)；(2)量之间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律由特殊到一般进行归纳总结；(3)与数列通项公式有关或与前n项和有关等跟进训练1(2021广东佛山一模)随着新一轮科技革命和产业变革持续推

8、进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到()A2022年12月B2023年2月C2023年4月 D2023年6月B每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则705n eq f(n（n1）,2)

9、1500，化简整理得，n29n8600，解得n25.17或34.17(舍负)，所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月故选B. 考点二数列中的新定义问题 eq avs4al(典例2)(2021新高考卷改编)设正整数na020a121ak12k1ak2k，其中ai0，1，记(n)a0a1ak，给出下列四个结论：(2n)(n); (2n3)(n)1；(8n5)(4n3); (2n1)n.其中所有正确结论的序号为_对于，(n)a0a1ak，2na021a122ak12kak2k1，(2n)a0a1ak(n)，正确；对于，取n2知，2n37120121122，(7)3

10、，而2020121，(2)011，(7)3(2)1，错误；对于，8n5a023a124ak2k35120122a023a124ak2k3，(8n5)11a0a1aka0a1ak2，4n3a022a123ak2k23120121a022a123ak2k2，(4n3)11a0a1aka0a1ak2，(8n5)(4n3)，正确；对于，2n120212n112012112n1，(2n1)n，正确，综上：正确对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决跟进训练2(2020全国卷

11、)01周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2an满足ai0，1(i1，2，)，且存在正整数m，使得aimai(i1，2，)成立，则称其为01周期序列，并称满足aimai(i1，2，)的最小正整数m为这个序列的周期对于周期为m的01序列a1a2an，C(k) eq f(1,m) eq o(,sup6(m),sdo6(i1)aiaik(k1，2，m1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01序列中，满足C(k) eq f(1,5)(k1，2，3，4)的序列是()A11010 B11011C10001 D11001C对于A，因为C(1) eq f(1110011001,5) eq f(1

12、,5)，C(2) eq f(1011001101,5) eq f(2,5)，不满足C(k) eq f(1,5)，故A不正确；对于B，因为C(1) eq f(1110011111,5) eq f(3,5)，不满足C(k) eq f(1,5)，故B不正确；对于C，因为C(1) eq f(1000000111,5) eq f(1,5)，C(2) eq f(1000010110,5)0，C(3) eq f(1001010010,5)0，C(4) eq f(1101000010,5) eq f(1,5)，满足C(k) eq f(1,5)，故C正确；对于D，因为C(1) eq f(1110000111,5

13、) eq f(2,5)，不满足C(k) eq f(1,5)，故D不正确综上所述，故选C. 考点三数列中的综合问题 eq avs4al(典例3)(2021浙江高考)已知数列an的前n项和为Sn，a1 eq f(9,4)，且4Sn13Sn9(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足3bn(n4)an0(nN*)，记bn的前n项和为Tn，若Tnbn对任意nN*恒成立，求实数的取值范围四字解题读想算思4Sn13Sn9(nN*)，求an的通项公式an与Sn的关系求基本量：a1和q方程思想3bn(n4)an0(nN*)数列求和的方法求bn前n项和Tn错位相减法Tnbn对任意nN*恒成立恒

14、成立问题的解法分离参数，求相应函数的最值分类讨论解(1)当n1时，4(a1a2)3a194a2 eq f(9,4)9 eq f(27,4)，a2 eq f(27,16)，当n2时，由4Sn13Sn9，得4Sn3Sn19，得4an13an.a2 eq f(27,16)0，an0， eq f(an1,an) eq f(3,4)，又 eq f(a2,a1) eq f(3,4)，an是首项为 eq f(9,4)，公比为 eq f(3,4)的等比数列，an eq f(9,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)3 eq blc(rc)(avs4alco1(f

15、(3,4)n.(2)由3bn(n4)an0，得bn eq f(n4,3)an(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n.所以Tn3 eq f(3,4)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)21 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)30 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)4(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n， eq f(3,4)Tn3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)22 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)31 eq blc(rc)(avs4

16、alco1(f(3,4)4(n5) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)，两式相减得 eq f(1,4)Tn3 eq f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1) eq f(9,4) eq f(f(9

17、,16)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)sup10(n1),1f(3,4)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1) eq f(9,4) eq f(9,4)4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)，所以Tn4n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10

18、(n1).由Tnbn对任意nN*恒成立，得4n eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4) eq sup10(n1)(n4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)n恒成立，即(n4)3n0恒成立，n4时，不等式恒成立；n4时， eq f(3n,n4)3 eq f(12,n4)，得3；所以31.答题模板第一步根据4Sn13Sn9(nN*)及an与Sn的关系，判断出数列的类型，进而确立数列的通项公式第二步通过3bn(n4)an0(nN*)求出bn第三步根据和的表达式或通项的特征，选择合适的方法(定义法、分组转化法、错位相减法、裂项相消法)求和第四步联想不等式恒成立问题

19、的解法，分离变量，转化成函数最值，求参数范围第五步反思解题过程，检验易错点、规范解题步骤跟进训练3(2021重庆八中模拟)已知数列 eq blcrc(avs4alco1(an)满足a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)ann eq blc(rc)(avs4alco1(n1).(1)求数列 eq blcrc(avs4alco1(an)的通项公式；(2)在bn eq blc(rc)(avs4alco1(anan1)28n，bn eq f(2n,an)，bn eq f(（1）n,an)，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题若_，求数列 eq blcrc

20、(avs4alco1(bn)的前n项和Tn.解(1)对于a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)ann eq blc(rc)(avs4alco1(n1)，当n 1时，有a11；当n2，有a13a25a3 eq blc(rc)(avs4alco1(2n3)an1n1，得： eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)an1，所以an eq f(1,2n1).经检验：an eq f(1,2n1)对n 1也成立所以数列 eq blcrc(avs4alco1(an)的通项公式为an eq f(1,2n1).(2)选条件：bn eq blc(rc)(avs4alco1(

21、anan1)28nbn eq blc(rc)(avs4alco1(anan1)28n eq f(8n,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2)所以数列 eq blcrc(avs4alco1(bn)的前n项和：Tnb1b2bn eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,12)f(1,32) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,32)f(1,52) eq blcrc(avs4alco1(f(1,b

22、lc(rc)(avs4alco1(2n1)2)f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(1,12) eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2) eq f(4n24n,blc(rc)(avs4alco1(2n1)2).选条件：bn eq f(2n,an).则bn eq blc(rc)(avs4alco1(2n1)2n.所以数列 eq blcrc(avs4alco1(bn)的前n项和：Tnb1b2bn eq blc(rc)(avs4alco1(121) eq blc(rc)(avs4alco1(322) eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4a