【新教材】8.6.1 直线与直线垂直 学案-高中数学人教A版必修第二册

1、1 11 1 11 11 1 1 11 1 11 11 1 1 1 1 1 11 直线直线垂【新知初探】要点一 异面直线成的角定义已知两条异面线 b经过空间任一点 分别作直线 abb，我们把直线所成的角叫做异面直线 与 所成的角(或夹角).空间两条直线所成角 取值范围：.要点二两条异面直垂直与平面内两直线垂直的概念是一致的、统一的可以看作是平面直线垂直的 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说这两条异面直互相垂直直线 与直线 互相垂直，记作.【基础自测判断1.异面直线所成的角的大小 O 点的置有关，即 O 点位置不同时，这一角的 大小也不同. )2.异面直线 a 与 b 所成角可以是 0.

2、( )3.如果两条平行直线中的一与某一条直线垂另一条直线也这条直线 垂直( )训练如图，在正方体 ABCD D 中， DD 所成的角是(2) 和 D C 所成的角是_； B D 所成的角是_(4) 所成的角是_.【题型通关 】题型一 直线与直线垂直的明【例 】 在直三棱 ABCA B C 中，求证：AC 跟踪训练 如图，ABCD D 为正方体，求证：B D第 页 共 4 页题型二异面直线所的角角度 1 求异面直线所成的角【例 】如图，在正方体 中，O 为侧面 的心. 求：(1) 与 CG 所成的；(2) 与 BD 所成的角变式 1 (变条件)在本例正方体中 P 是平面 的中心他条件不变， 求

3、和 所成的角.变式 2 (变条件)在本例正方体中，若 ， 分别是 BF，CG 中点，且 第 页 共 4 页1 1 1 11 1 1和 成的角为 ，求 和 1 1 1 11 1 1角度 2 由异面直线所成角的小求线段的【例 】 如图所示，四面 A 中，F 分别是 ABCD 中点.若 ， 所成的角为 60，且 AC2.求 的长度跟踪训练 如图所示，在正方体 A B C D 中.求 A C 与 所成角的小；若 ，F 分别为 ， 的中点，求 A C 与 EF 成角的大小.【课堂达标 】1.设 ， 是线，则( )第 页 共 4 页1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 11 若 ，则 B.若 b

4、，则 C.若 b,则 与 cb1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 11 D.若 与 所的角等于 c b 所成的角则 ab2.如图，在正方体 B C D 中，E 棱 CC 的中点，则异面直线 与 CD 成角的正切值为( )A.2232C.52D.723.在正三棱柱 ABCA B C 中，D 是 AB 的中点，则在所的棱 中与直线 CD AA 都垂直的直线有_4.如图所示，在正方 D 中，异面 B 与 所成的角大小为_.5.已知在正方体 D 中EF 分为棱 棱 CC 的中点，求异面直线 和 所成的角【札记 】参考答案 【新知初探】第 页 共 4 页1 1 1 11 11 11 11 1

5、 1 1 1 11 1 1 1 11 11 11 11 1 1 1 1 11 11 1 11 11 1 a【基础自测判断提示 异面直线所成的角的大小与 点的位置无关.2.3.当直线 与 所成角是 0，两直线平行，即共面训练解析 (1)根据正方体的质可得 DD 所成的角 90. D C DCACD即为 AC D 所成的角，由正方体的性质得ACD45. D ，BD D ，即 D 所成的角 A BD ACD 是等边三角形， A B 成的角 答案 (2)45 (3)90 【题型通关 】【例 】证明 如图，连 A B B bAA h AB22b2.因为三棱柱 ABC B C 是直三棱柱，所以BB C A

6、 AB90所以 BCb2h2 222h第 页 共 4 页1 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 所以 1 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 则 A C ，即A C 90.又因为 ACA C ，所 B 是直线 与 所成的角，所 AC 跟踪训练 证明如图，连 ，交 ，设 的中点为 E连接 OE则 ，所以 OE 与 AC 所成角即为 与 AC 成的. 连接 AE，证 又 O 是 AC 的中点，所以 AC，所以 ACB D【例 】解 (1)图，因为 ，所以(或其补角) 异面直线 与 所成的角， 又在 中，45所以 BE 所成的角为 45.连接 FH，因为

7、EA，所以 HDFB又 FB所以四边形 HFBD 平行四边形所以 HF，所以HFO或其补角异面直线 FO 成的角. 连接 ，AF易得 O 的中点，且 FH AF第 页 共 4 页所以AFH 为等边三角形，所以HFO30即 与 所成的角为 30.变式 1解 连接 HF则 为 HF 的中点，连接 AF，则 OPAF 又 AB所以(或其补角)为异面直线 OP 与 CD 所成的角由于ABF 是等腰直角三角形，所以45故 OP CD 所成的角为 变式 2解连接 MG因为 正方形，所以 BF 綉 因为 M，N 分是 BF 的中点，所以 BM 綉 ，所以四边形 BNGM 是行四边形，所 BN，所以(其补角异

8、面直线 AG 所成的角(其补角是异 面直线 BN 成的角.因为 AM，所以MAG39.2所以，所以 AM BN 所成的角为 78.4.【例 取 的点 M MEMF. MEMFBD MF 成的锐角(或直角)即 成的角AC 成的角 60EMF60EMF第 页 共 4 页2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 11 1 12 当EMF60，EFMEMF BD1当EMF时，取 的中点 N则 MNEF32sinEMN 3. 故 的长度为 1 3.跟踪训练 解(1)图所示，连接 ，AB 由六面体 ABCD A D

9、 是正方体知，四边形AA C 为平行四边形，A ，从而 B 所成角就是 A C 与 成的角在 中，由 AB B ，可知B CA60即 A C 与 成的角 如图所示，连接 BD (知 ACA C ， 所成的角就是 与 EF 所成的.EF 是ABD 中位线，EFBD又ACBDEFEFA ，即 A C 与 EF 所成的角 90.【课堂达标 】【课堂达标 】1.解析 由异面直线所成角的定义可知 C 确答案 2.解析 法一 AB，(或其补角)为 AE CD 成的角连接 BE(略)，则 Rt ，若 ， BE ，从 BE ，AB 5异面直线 与 CD 成角的正切值为 .选 C.第 页 共 4 页1 1 1

10、1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 11 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 11 11 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 11 1如图，在已知正方体 ABCD D 的后面再补上一个与其相同的正方体 DCFGD F ， FF 中点 E ，连接 ， ，则 綉 綉 ，四边形 D 是平行四边形. AE. DC或其补角)为 与 所成角连接 设 AB， DC，CE 5在 RtDCE 中tan DC .选 C.答案 3.解析 由正三棱柱的性质可知与直线 和 AA 都垂直的直线有 ，A B . 答案 AB，A 4.解析 连接 BC A C (略) 面直线 B AD 所成的角 即为直线 B 与 BC 所成的角 (其补 ) A 中， B A ， ，故异面直