2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷

1、球的表面积公式S4R2 其中 R 表示球的半径球的体积公式P，那么kn选择题（共 50分）10小题，每小题（4SSf (）. B C V43 R3其中 R 表示球的半径5分，满分 50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是）.(A) 终边相同的角为 （(x,y)Mx)A B 12）. (A) x16(B)2x2(B) 3429Mlnx14(B) y2S的增区间为（(C) 41 球的表面积公式S4R2 其中 R 表示球的半径球的体积公式P，那么kn选择题（共 50分）10小题，每小题（4SSf (）. B C V43 R3其中 R 表示球的半径5分，满分 50分. 在每小题给出的四个选项

2、中，有且只有一项是）.(A) 终边相同的角为 （(x,y)Mx)A B 12）. (A) x16(B)2x2(B) 3429Mlnx14(B) y2S的增区间为（(C) 41 M(C)）.(A) 18(C) ，S0(D) 4(x,y)xM,78(D) 2(D)34y2S(B)1M(，则 S与M 的关系是（M,1)）. 2(C) (12,)(D) (0,)本试卷共 8 页，第 1-页为选择题和填空题，第 -8 页为解答题及答卷。请将选择题和填空题的答案做在第页的答卷上。 全卷共三大题 20 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。参考公式：如果事件互斥，那么P(A+B)=P(A)+(B)

3、 如果事件相互独立，那么P(AB)=P(A)(B) 如果事件 A在一次试验中发生的概率是Pn(k)C Pk(1-P)n-k第一部分一、选择题：本大题共符合题目要求的 . 请将唯一正确的答案代号填在第页的答题卷上1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是112.与3已知集合(A)4.函数5.观察下列四个电路图，结论正确的是（A B C A 2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 1 页 共 10 页. i,）.(A) ff，大正方形的面积为21225，设q、前项和为a 与m、n m/n,那么在平面 m、n(B) ； (C) ； (D) 4小题，每小题 5分，满分 20 分. 请

4、将答案填在第页的答题卷中n nP（3分），此时点j15 x gx1，小正方形的面积为cos2(B) aS a2. N*为抛物线 yP的坐标为是平面直角坐标系内(B) 与g x1的值为（2425nns3 a1与行，在这些数中非2（2分）. x轴， y10 x f(B)，）. (C) 是公的无穷等比数列. i,）.(A) ff，大正方形的面积为21225，设q、前项和为a 与m、n m/n,那么在平面 m、n(B) ； (C) ； (D) 4小题，每小题 5分，满分 20 分. 请将答案填在第页的答题卷中n nP（3分），此时点j15 x gx1，小正方形的面积为cos2(B) aS a2. N*

5、为抛物线 yP的坐标为是平面直角坐标系内(B) 与g x1的值为（2425nns3 a1与行，在这些数中非2（2分）. x轴， y10 x f(B)，）. (C) 是公的无穷等比数列， 下列；1的数字之和是 _. 10 x上的动点，则点轴正方向上的单位向量且(C) 7.5 是定义在 R上的可导函数 .若f725nan q与P到直线 xAB(D) xx(D) 的四组量：；y4i5 g x fg x725 s与an52j,AC，则是常数函数1中，一定能成为该数列的“基本量”的是0距离的最小值3ix g(C) s2;（4j与f）. ，则xxABC满足（g x）. 0(D) fxg x是常数函数 .

6、(B) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分条件；(C) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分且必要条件；(D) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的不充分又不必要条件6.设的面积等于（7.(A) 8.2002 年 8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为25则sin(A)9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”比为(A) (B) (C) (D) 10.已知直线 及平面 ,其中 内到两条直线 距离相等的点的集合可能为一条直线； 一个平面； 一个点； 空集.其中正确的是（ ）. (A

7、) ；第二部分 非选择题（共 100分）二、填空题：本大题共11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 12若点为2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 2 页 共 10 页x ，对任意实数 x，都有 ff(第14题图 2 )Dxysinxz2,OSx y zxyz. nn的坐标；（用反三角函数表示） ；14 分） 设xiMx2005Caxf x x3 25OAy1, p,q nxx,( y(x,y)3的值为_. 32的 图象 关于直 线x ，对任意实数 x，都有 ff(第14题图 2 )Dxysinxz2,OSx y zx

8、yz. nn的坐标；（用反三角函数表示） ；14 分） 设xiMx2005Caxf x x3 25OAy1, p,q nxx,( y(x,y)3的值为_. 32的 图象 关于直 线时，试求cos xAB，满足y2)j, b的轨迹 C 的方程；f x的解集为3 ff41 SO平面 SBC.求：R i jxi3和 f4，b a,对 称，当15.AB，(yx，求实数( 1)sin2x平面 OABC.、2)j a2b320, 的值. 为直角坐标平面内，且f x的值. 且x yb2，且 f轴、 轴正方向上的单位向量，若8. 11，则14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边

9、DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： . （要求：各种规律的表述要科学 ,准确.每答对 1个给 1分,本题满分 5分）FE(第 14题图 1)15（本题满分 12 分）已知16.（ 本题 满分 13 分） 已知函 数cosx17.（本题满分 13分）如图，直角梯形 OABC 中，AOOC，ABOC，OC以 OC，OA,OS 分别为 轴、 轴、 轴建立直角坐标系O-（）求异面直线 SC与 OB 所成角；（）设OA 与平面 SBC的夹角点 O到平面 SBC的距离

10、 . 18.（本题满分a（）求点2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 3 页 共 10 页Cl的方程；若不存在，请说明理由0.8xaa ban个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为Bn A B1 D 2n2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷(第14题第 4 页 共 10 页OP. ynn nAn，对所围区域的 b，试比较 与 的大小 . 2 A 2n 图2 )DOAn，所围成区域（包括边界）的整点个数为及 的表达式；nn n3 C 12.OBnbn个整点，Cl的方程；若不存在，请说明理由0.8xaa ban个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为Bn A B

11、1 D 2n2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷(第14题第 4 页 共 10 页OP. ynn nAn，对所围区域的 b，试比较 与 的大小 . 2 A 2n 图2 )DOAn，所围成区域（包括边界）的整点个数为及 的表达式；nn n3 C 12.OBnbn个整点，4 C 5 24，是否存在这样的直线3,且n（整点就是横、纵坐标均为整数的点）5 D ,l，使N x y. 6 D (52,与 轴、 轴所围成区域内部（不包括边界）的整7 B 5)8 D 13.9 B f 200510 B 2005得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线19.（本题满分 14分）某基本系统是由四个

12、整流二极管 （串，并）联结而成 .已知每个二极管的可靠度为（即正常工作时） .若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明） . 20（本题满分 14分）直线点个数为（）求（）对区域内部的用红、蓝两色之一着色，其方法总数为2005 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案题号答案 11. 14. 水面是矩形； 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； 水面的大小是变化的，水面与平面 CDEF所成二面角越小，水面的面积越大； 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； 侧面积不变； 侧面中两组对

13、面的面积之和相等； 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； AB+CD为定值； 如果长方体的倾斜程度为 时，则水面与与底面所成的角为 90 -； 底面的面积水面的面积 cos（90 -）水面的面积 sin ； 当倾斜程度增大，点 A在 BD之间时， A与B重合时， BD2h（h为水面原来的高度） ； 若容器的高度 PD，当 A与 B重合时，水将溢出； 点 A在BD内部时， ADC的面积为定值 . FCE(第 14题图 1)xC A（0, ），B（4，2），32b ）（b）3kxab2a013 分）sinxcosxsinx5725ax322 得aABaxx1b已知函数 y3 2533218kBC

14、32232f x 的图象关于直线时，试求 fxC A（0, ），B（4，2），32b ）（b）3kxab2a013 分）sinxcosxsinx5725ax322 得aABaxx1b已知函数 y3 2533218kBC32232f x 的图象关于直线时，试求 fcos x2 3的解集为 ,b ，求实得axbx15sin2x4，可得 ）axba363对称，当的值.cos（x+4 524 02018f ( 1)b 2b 4x320 , 且a32180,b3615（本题满分 12 分）已知数a,b的值. 法一：如图 ,在同一直角坐标系中，作出 y x （x0）A B 及 yax32 的大致图像，设

15、yax32 与 Y轴及 y x 分别交于 A、B、C点由条件及图像可知则4a令 C（b,2由法二：依题意，上式等价于a 2a16. （本题满分cosx解：由且 sin2x2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 5 页 共 10 页15sin4yf4OABC中，AOOC，ABOC，2,OS1, p,q ，满足 nxSCCOS SCarccosSBnCB002xf x x315sin 2xOA平面 SBC.求：2,0, 1,OB1051,1, 15sin4yf4OABC中，AOOC，ABOC，2,OS1, p,q ，满足 nxSCCOS SCarccosSBnCB002xf x x31

16、5sin 2xOA平面 SBC.求：2,0, 1,OB1051,1, 1平面 SBCAB是关于 对称的函数，AByOB25CBnyf（7） f （-1）3201. SO1,1,01021,1,0SB平面 OABC.以5zcos x又cos x17.（本题满分 13 分）如图，直角梯形OCOC，OA,OS分别为 x轴、 y轴、z轴建立直角坐标系 O-xyz. （）求异面直线 SC与 OB所成角；（）设 nn的坐标；OA与平面 SBC的夹角 （用反三角函数表示）；点 O到平面 SBC的距离.解：（） .如图: （,），（ ,），（ ,），（ ,），故异面直线 SC与 OB 所成的角为z(). 由n

17、n SBn CBx2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 6 页 共 10 页ppn3SO OESE63n求解，相应给分）sin14 分）xi求点 M过点（0，3）作直线 l 与曲线 C交于 A、B两点，设 OPl的方程；若不存在，请说明理由ax216x24xq01,1,2 ，13. 63设x,( y(x,y)的轨迹 C的方程；OA. by2y20ppn3SO OESE63n求解，相应给分）sin14 分）xi求点 M过点（0，3）作直线 l 与曲线 C交于 A、B两点，设 OPl的方程；若不存在，请说明理由ax216x24xq01,1,2 ，13. 63设x,( y(x,y)的轨

18、迹 C的方程；OA. by2y20 （法一）过 O作 OEBC 于 E，连 SE，则 SEBC 故 BC面 SOE 232y2)j,bOB，是否存在这样的直812y666R，ixi知点 M（x,y ）到两个定点22，,( yF1（0.-2 ）、F2（0,2 ）的距离之和为x22j x2)j ，且 a8 y8arcsin为直角坐标平面内 轴, y轴正方向上的单位向量，若b2y668. 22为所求 . 81p 1q 2故过 O作 OHSE于H，则 OH面 SBC OE 2 SE=OH点 O到平面 SBC的距离为（法二）（注：也可以利用法向量 延长 CB 与OA 交于 F，则 OF2 连 FH，则

19、OFH 为所求角此时18. （本题满分a（）（）线 l，使得四边形 OAPB是矩形？若存在，求出直线解：（） (解法一 ) 由轨迹是以 F1、F2为焦点的椭圆，它的方程是12(解法二 )：由题意得两次平方得2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷第 7 页 共 10 页x16OPl 的的方程是 ykx+3 kxx2163k x18kxA3k2OPOAAk x1216某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成全部并联，可靠度每两个串联后再并联，可靠度2OA3y222xB4OAOB即OA OBxB2Ak5.已知每个二极管的1-1y2OB1244 3k218k3kOB0y yBxB24k

20、0.21 0.821018kx21, xA，四边形 OAPB是平行四边形 . , A3k213k2x16OPl 的的方程是 ykx+3 kxx2163k x18kxA3k2OPOAAk x1216某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成全部并联，可靠度每两个串联后再并联，可靠度2OA3y222xB4OAOB即OA OBxB2Ak5.已知每个二极管的1-1y2OB1244 3k218k3kOB0y yBxB24k0.21 0.821018kx21, xA，四边形 OAPB是平行四边形 . , A3k213k254420.87040.85 知 P与O重合这与四边形210恒成立xB0 xA3k

21、，当0.9984 0.85 OAPB是矩形矛盾，0212xB18k4k993k25400时，存在直线 yl:543使四边形OAPB是矩形. 12（） l 过 y轴上的点（ 0，3），若 l 是 y轴时，则 A、B 两点是椭圆的顶点由直线 l 是 y 轴不可能当直线 l 的斜率存在时，可设直线y由题意得124此时且4若存在直线 l,使四边形 OAPB是矩形 ,则有 x 1k19.（本题满分 14 分）可靠度为 0.8（即正常工作时） .若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明） . 解：2005年广州市青年教师高中数学解

22、题比赛决赛试卷第 8 页 共 10 页每两个并联后再串联，可靠度三个串联后再与第四个并联，可靠度两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度14 分）aa bnaBn，试比较 A 与 B 的大小. an,abn,就是求不等式 xyn的非负整数解，1 0.221-0.2 11-0.每两个并联后再串联，可靠度三个串联后再与第四个并联，可靠度两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度14 分）aa bnaBn，试比较 A 与 B 的大小. an,abn,就是求不等式 xyn的非负整数解，1 0.221-0.2 11-0.2 1直线 xnnnn n就是求不等式n20.9216 0.85 0.832ybn（整点就是横、纵坐标均为An，对所围区域的xyn的正整数解，1+2+（n-2）0.90240.85 0.82nn 220.98560.85nn 13,且n. N x与 轴、 y轴所围成区域内部（不包括边20（本题满分界）的整点个数为 ，所围成区域（包括边界）的整点个数为整数的点） . （）求 及 的表达式；（）对区域内部的 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为bn个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为解： .求区