九年级数学证明华东师大版知识精讲

1、九年级数学证明华东师大版【同步教育信息】一本周讲课内容：证明证明的认识用推理方法研究三角形包含：（1）等腰三角形，（2）角均分线，（3）线段的垂直均分线，（4）抗命题、逆定理。讲课过程：（知识点回首）用公义、定理作为逻辑推理证明的依照，进而证明新的命题建立，常用公义以下：1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。2）两条直线被第三条直线所截，假仿佛位角相等，那么这两条直线平行。3）假如两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等。4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。等腰三角形：1）假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角

2、同样边”，这是鉴识三角形是不是等腰三角形的一个重要的方法。2）重要性质：等腰三角形的顶角均分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。角均分线：1）角均分线上的点到这个角的两边的距离相等。2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的均分线上。线段的垂直均分线上1）线段的垂直均分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直均分线上。【典型例题】例1“三角形内角和180”的证明。方法1：AD1BC方法2：DAE21BC方法3：AE21BCD方法4：ADE1243FBC（注：经过作平行线将角转变），证明过程略。例2“四边形的

3、内角和等于360”的证明。常用的方法是将四边形转变成三角形，利用三角形的内角和：（1）（2）DDAAOBCBC（4）（3）DADABCBPCP也能够经过平移角的方法证明：（5）F5D4EA1326BHCDEBC，FHAB46B3C5AABCADC543ADC360例3如图，已知：ABDE，察看A、C、D的关系怎样ABABDEDECC图1图2图1：方法一：延伸CD交AB于FAFB1DECABDE1CDE又1ACCDEAC方法二：延伸ED交AC于FABDEFCABDECFDA又CDECCFDCDECA方法三：过C作CFABABDE21CFABDE，DECF1D18012A180D2A图2：方法一：

4、ABDEADEADCABDEC方法二：延伸BA、CD交于FFABDEHCABDEFEDCBACFCEDCC方法三：ABDEHCF解略本题是平移角的训练，重点意会只要挪动角的地点。例4已知ADCD，C15，ABE30，求A。AEBCD解：方法一：延伸AB交CD于FAEBCFD则ABECBF30AFDCCBF153045ADF90A180ADFAFD45方法二：过B作BFCD交AD于FBCAEFD则EBFC15，BFACDA90ABFABEEBF45A180ABFAFB45例5已知：如图，ABCD，BE、CE分别是ABC、BCD的均分线，点E在AD上。求证：BCABCD（分析：一般证明线段和差时有

5、截长法，补短法）DEABFC方法一：截长法（由于要证BCABCD，在线段BC上截取BFAB，此后证明CFCD，或在BC上截取CFCD，再证明BFAB。）如上图，在BC上截取BFAB，连接EF在ABE和FBE中ABBF（已作）ABEFBE（已知）BEBE（公共边）ABEFBE（SAS）AEFBABCDAD180又BFEEFC180EFCD在EFC和EDC中EFCD（已证）ECFECD（已知）ECEC（公共边）EFCEDC（AAS）FCCDBCBFFCABCD证法：补短法（延伸BE交CD的延伸线于G，如图，再证明DGAB，进而转证BCCG，则由BCEGCE可得，再证ABEDGE可有结论DGAB。）

6、GDEABCABCGABEG又ABEGBCGGBC在GEC和BEC中GGBC（已证）ECGECB（已知）ECEC（公共边）GECBEC（AAS）EGEB，CGBC在ABE和DGE中ABEGBEGEAEBDEGABEDGE（ASA）ABDGBCCGCDDGCDAB例6如图，四边形ABCD中，AB8，BC1，DAB30，ABC60且四边形ABCD的面积为53，求AD的长。EDCAB解：将不规则四边形转变成特别三角形，延伸AD、BC交于EA30，B60E180AB90AB81BEAB4由勾股定理：AE824243BC1，CEBEBC3SABE1443832S四边形ABCD53SCDESABES四边形

7、ABCD33又SCDE1CEDE13DE3322DE23ADAEDE432323例7已知：ABAC，D是BC上随意一点，DEAB。求证：A2EDBAEBDC解：方法一：利用等腰三角形的性质（即三线合一）过A作AFBC于FA12EBFDCABAC，AF均分BAC1即1BAC2B190DEAB于EBBDE90BDE11BAC2方法二：将BDE沿DE翻折，获得DEFAFEBDCABAC则DFBBC，BDF2BDEBDF为等腰三角形，且BDFAA2BDE方法三：将BA延伸至F使AFAB，连接AC（即倍长腰）FAE12BDCABAC，AFAC11FBAC，B22BF21BF121801290即BCF90

8、DEAB，BED90又BB，BCFBED1BDEFBAC2即BAC2BDE将本题推行，已知ABAC，D是AC上随意一点，DEAB如图：AEDBCF将ED、BC延伸交于F，则A2F方法一：AEDBHCF方法二：HAEDBCF方法三：AHEDBCF例8已知BD、CE是ABC、ACB的均分线，若A60。求证：（1）BCBECD2）ODOE证明：本题隐含的结论：（1）DOCEOB60，（2）AEOD四点共圆，（3）为心里。先证ODOE方法1：连接AOAEDO12BCBD、CE分别是ABC、ACB的均分线121ABC1ACB1180A60222DOCEOB60EOD120AEOADO180A、E、O、D

9、四点共圆O为ABC的心里AO均分EADOEOD方法2：O为ABC的心里AFEDOBCAO均分EOD，能够将AOD沿AO翻折，获得AFO，则ODOF，ADOAFO由方法1得：AEOADO180又AFOEFO180AEOEFOOEOFODOE证明BCBECD也有两种方法：方法1：在BC上截取BHBE，连接OH，先得出BOEBOHOEOH，1260AEDO1423BHC3460再证CODCOH，获得CHCDBCBHCHBECD方法2：将BOE沿BO翻折获得BOH，此后再证COHCOD。AEODBHC（证明略）例9已知：BAC90，ADBC，BE均分ABC，EGBC，GHAC。求证：DGGHAEHFB

10、DGC分析：先看一个基本图，由双垂直，ADBC，BAC90再加角均分线BE均分ABC，必有等线段AEAF由角均分线性质得：AEEG最后能知四边形AFGE为菱形AEFBDGC方法1：连接FG、AGA1E54HF23BDGCBAC90，ABCC90ADBC，ADB901ABC901CBE均分ABC，23412，53C45AFAE又EGBC，AEEG且EGAFAFAEFG四边形AFGE为菱形AG均分FAEGHAC，GDADDGGH（角均分线的性质）方法2：由平行、角均分线及等线段中两个条件建立，必有第三个结论建立，如图，连结AG。A1E3HF2BDGCBE均分ABC，BAC90，EGBCAEEG12

11、又ADBCADEG3213DGAD，GHACDGGH【模拟试题】以以下图，四边形ABCD中，BD90，AE均分A，CF均分C。求证：AECF已知：以以下图，ABC中，ABAC，AD均分BAC，EFAD于G，交AB于E，交AC于F，交BC的延伸线于H。求证：H1ACBB2以以下图，已知：在ABC中，ACB90，ACBC，BD均分ABC交AC于D，AEBD交BD的延伸线于E。求证：BD2AE4以以下图，ABC为等边三角形，AECD，AD、BE订交于点h1，h2，h3h30h1h2h3hh1，h2，h3AAEEOFBDCBDCADBCBD90ABCD360AC1803221803290319012BACBADCAD,ADEF,EGAFG,AEGAFG,AEGAFG,AEGBH,ACBCFHAFGCFH,ACBAFGHAEGHBHHB2H2HACBB.H1ACBB)(2BEFBEA,CBDCAF,ABBACC60,ABAAECD,ABECAD,ABECAD,BEADBPQBAPABEPBQ30,BQPQ,PB2PQ6.BEPBPE7ADBE7ABCh1h2h3hh1h2BAPPAEBAC60ABCh1h2h3hh3hh1h2h3hAB于M，DNAC于N则DM