计算物理复习总结

1、计算物理复习提纲第章基础/ An example of studying the motion of a particle in/ one dimension under an elastic force.import java.lang.*;public class Motion (static final int n = 100000, j = 500;public static void main(String argv) (double x = new doublen+1;double v = new doublen+1;/ Assign time step and initial p

2、osition and velocity double dt = 2*Math.PI/n;x0 = 0;v0 = 1;for (int i=0; in; +i) (xi+1 = xi+vi*dt;vi+1 = vi-xi*dt;/ Output the result in every j time steps double t = 0;double jdt = j*dt;for (int i=0; i=n; i+=j) (System.out.println(t + + xi + + vi); t += jdt;/ Calculate other position and velocity r

3、ecursively第二章样条逼近2.1插值法线性插值二兑 + CZ-i -上）-53拉格朗日插值为一珂中1电-I 他=g 改旧十A六成P.6 =成当推广这个式子到通过n+1个点的n阶曲线，/（-T）=匕如伺+也川）.p时）=n_订埃特金法（Aitken method）fa/oi/is/2Tabic 2.1u fa/oi/is/2Tabic 2.1u Resell example with /Ac 出甫g methodJTfZh而I.0.4L.OOOOW而L. nOQ3K47II。碘 792f.0.799 S 520.807 272J LN|甫0.765 19S0 rilSWO.S062600

4、7171J0.5118280.337352O.K 117252.1)o 223/An example of extracting an approximate function/ Method to carry out the Aitken recursions./ value via the Lagrange interpolation scheme. import java.lang.*;public class Lagrange (public static void main(String argv) ( double xi = (0, 0.5, 1, 1.5, 2);/An exam

5、ple of extracting an approximate function/ Method to carry out the Aitken recursions./ value via the Lagrange interpolation scheme. import java.lang.*;public class Lagrange (public static void main(String argv) ( double xi = (0, 0.5, 1, 1.5, 2);double fi=(1, 0.938470, 0.765198, 0.511828,0.223891);do

6、uble x = 0.9;double f = aitken(x, xi, fi);System.out.println(Interpolated value: + f); )2.2最小二乘法public static double aitken(double x, double xi, double fi)(int n = xi.length-1;double ft = (double) fi.clone();for (int i=0; in; +i)(for (int j=0; jn-i; +j)(ftj = (x-xij)/(xii+j+1-xij)*ftj+1+ (x-xii+j+1)

7、/(xij-xii+j+1)*ftj;)return ft0;)p 二 叫_?一设逼近函数为：一 、= 一 、= I【原一仆计危标记方差：=力尸旦（2 -,对于离散数据一最小二乘由、获得。2.3密立根油滴实验（略）2.4样条近似尸将）=支C使用多项式逼近函数：J系数决定于在非边界数据点的光滑程度，使l阶的导数满足：最常用的样条函数是三次样条插值，取m=3。2.5随机数生成均匀随机数生成器，一般选择时间为种子。种子在程序中必须是一个全局变量。一旦我们获得了均匀分布随机数生成器，我们就可以用他们来创造其他类型的随机数生成器，例如指数型和高斯型分布随机数。第三章数值微积分31数值微分叭+ 口传） /

8、7 =搭05 8直项+1-石小）+（时）.一阶导数或 -/ _捋- 一括-础-1 闩或者在实际计算中旦二三二二阶导数 =+ 】6节-I W + 16侦一-。的或 -或者在实际计算中*-可牝扁-(如+妃以+础或者在实际计算中*-可牝扁-(如+妃以+础5十。(砰血土(知+如一 i)32数值积分最简单的方法$=5#一f 最简单的方法$=5#一f 机)+口仇勺，2土，如果在%,、采用拉格朗日插值，差值公式(r - JTg -工;。 r。一互一00 一 山十I)f国KT)。一E十|为:册_| - XfX-1：- I - xi)十FL；弋七即十。仍-5 = *+ 考队 + E)+ 叫得到辛普森规则：/ A

9、n example of evaluating an integral with theSimpson/ rule over f(x)=sin(x).import java.lang.*;public class Integral (static final int n = 8;public static void main(String argv) (double f = new doublen+1;double h = Math.PI/(2.0*n);for (int i=0; i=n; +i) (double x = h*i;58 Numerical calculusfi = Math.

10、sin(x);double s = simpson(f, h);System.out.println(The integral is: + s);public static double simpson(double y, double h)int n = y.length-1;double s0 = 0, si = 0, s2 = 0;for (int i=1; i del) ( x 二 (a+b)/2;3.3 Roots of an equation 63 if (f(a)*f(x) 0) ( b 二 x;dx 二 b-a;/ Method to achieve the evenly sp

11、aced Simpson rule.这个例子中，被积函数为sin(x)，被积区间为0,2n。3.3方程求根等分算法当根在某区域a,b里面，有f(a)f(b)0，就用x0=(a+b)将这个区域等分，若f(a)f(x0) del) (x = (a+b)/2;3.3 Roots of an equation 63if (f(a)*f(x) del) (x = (a+b)/2;3.3 Roots of an equation 63if (f(a)*f(x) 0) ( b = x;dx = b-a;割线法(离散牛顿法)else (a = x;dx = b-a;k+;System.out.println(

12、Iteration number: + k)System.out.println(Root obtained: + x);System.out.println(Estimated error: + dx) / Method to provide functionf(x)二exp(x)*log(x)-x*x.public static double f(double x) ( return Math.exp(x)*Math.log(x)-x*x; 当一阶导数很难求或者不存在时用此法。以+】=冷一（勺-3.4函数极值/（j）=腿=o求解这个方程的根可以找到极值，目前为止所讨论的所有寻根方法都可以在

13、这里推广为寻找单变量的极值。3.5经典散射（略）第四章常微分方程4.1初值问题 = jjfy f）初值问题涉及动力学系统。动力学系统的规律可有一阶微分方程来描述：-其中-被称为动力学变量向量， 二 *称为 广义速度向量。实际中，通过变量代换可以将高阶微分方程变为一阶微分方向组。如将二二二.变为一4.2欧拉皮卡法基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭 代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。空二上女。口）.对于常微分方程：这就是欧拉格式，若初值yi + 1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L0欧拉公式：=-上皮卡法

14、较欧拉法精度更高，公式为-4.3预估矫正法此法可以避免欧拉法中的低效迭代，先用较低精度的算法如欧拉法预测yi+的J值，再用 较好的办法如皮卡算法改进结果。心十）=蓦十I 一 : 由十腿小+施H + D同4.4龙格库塔法前述方法通过选取更多的初值点来提高精度，但是并不总是实用，因为多数问题中只有初始 条件，即只有一个起始点。龙格库塔法就是只需一个初始点开始的改进算法。著名的四阶龙格库塔法算法公式如下：ci =建 S 土叼=唱（，+亍以=呵（卜十专工一耳, 其中 二.侦十： 十4.5受迫摆的混沌动力学4.6边值问题和本征值问题物理学中的边值问题往往有二阶微分方程形式：厂二对于一维问题总有四种边界条

15、件：u(0) no and= u：i;w(0) = uq and 叭 I)= iq;=现 RJid *(：U = sq；ur(C) = uq and I i = uj.典型本征值问题形式为： -；：.4.7打靶法主要思路是:适当选择和调整初值条件，求解一系列初值问题，使之逼近给定的边界条件。如 果将描述的曲线视作弹道，那么求解过程即不断调整试射条件使之达到预定的靶子所以称 作打靶法或试射法，此类方法的关键是设计选取初值的步骤。对非线性边值问题以,必，习3 =硼。=A式的)，g = 3,可通过下列步骤求数值解：计算初值问题g)=妍(以)*的数值解y1。若g(y1(b),y(b)=B，近似地满足，

16、则y1即为所求；否则进行。计算初值问题.(昌矶,互 0) = 1, /0)=m 一至的数值解y2,若g(y2(b),y(b)=B近似地满足，则y2即为所求；否则令m=3进行。将g(y(b),y(b)视为y(a )的函数，用线性逆插值法调整初值，即计算=矗_呈0；“-s (础站 f认一舟),诫项浏i航择).以上纳-熟时，如讶占-就时然后进行。计算初值问题耳=加，耳寓),=耳应 矿S)=无(&)的数值解ym并进行判定:若b点边值条件近似地满足，则ym即为所求;否则令m+1崛m转向继续计算直到满意为止。4.8线性方程组和刘维尔方程特别地，若微分方程是线性的，则打靶法变成线性组合法，即根据常微分方程理

17、论适当 选取初值可得到一组线性独立解，利用它们的线性组合导出边值问题的解。例如线性方程边值问题引入两个试探解，方程的解的形式为:其中a、b由初始条件决定，假设边界条件为=-= ，注意 二 ：= 有推导出_ 财（1） 一冏景-Wr _ 绢一 W）财- JU），由上式给定a、b，就可以得到微分方程的解。4.9 一维薛定谔方程（略）附分子动力学模拟的核心是什么？答：事先构造出简单体系（如链段、官能团等各种不同结构的小片段）的势能函数，简称势 函数或力场（force field），利用势函数，建立并求解与温度和时间有关的牛顿运动方程， 得到一定条件下体系的结构随时间的演化关系即为分子动力学（MD）。理论方法的核心是构造势函数。蒙特卡罗方法的基本思想与解题步骤蒙特卡罗方法也称随机模拟法、随机抽样技术或统计试验法，其基本思想是：为了求解 数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题，首先建立一个与求解有关的概率模型或随 机过