函数和极限知识点

1、关于函数与极限知识点第1页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四第一节 函 数一函数概念：常量与变量：常量：某一变化过程中保持数值不变的量. 变量：在某一变化过程中取不同数值的量一个量是常量还是变量只是相对而言的例：同一地点的=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)例：自由落体=gt2/2中的S与t都是变量.第2页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四函数的概念：函数关系变量之间的依赖关系函数定义： 设与是两个变量，如果对于在数集中所取的 每一个值，通过与之间的某一对应律, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是上的函数. 记作：y

2、=f(x)，x X称为自变量，称为因变量称为函数的定义域 而所有对应的值组成的数集则称为函数的值域 第3页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四函数的表示方法：解析法 (如 y = f (x)列表法图象法其 他函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:cosx -x01 0 x1 1/x x 1f (x) =(分段函数)注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数第4页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四 幂函数：= xa 指数函数：= ax 对数函数：=logax 三角函数：=sinx，y =cosx , y=tgx

3、 , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二初等函数：1基本初等函数：(中学学过的）第5页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四2复合函数：形如：= f (x) ( u =(x) )定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即 y = f (u) , u =(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作 y = f (x) ( y因变量 , u中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) ,

4、x自变量 )注:函数u=(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. 形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f(x)第6页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四例：y = cos (2t+/3)那么拆成什么形式好呢?.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等 函数或是它们的和,差,积,商.将复合函数拆成简单函数：（重点）例：例：可分解为 : y = cosx , x =2t+/3. 或: y = cos2x , x =t+/6第7页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四3初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和

5、有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数， 称为初等函数 （注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）问：分段函数是否是初等函数？不是初等函数，但它是一个函数.例：都是初等函数。第8页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四第二节 函数的极限 极限概念的引入:例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)第9页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四例2 . 已知圆的半径为R , 求圆面积 S .解题思路:1.求圆的内接正多边形 (正 n 边形) 的面积2.取

6、极限 ( n时正 n 边形的面积即 为圆的面积)第10页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四一.函数的极限:对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:1 . 自变量 x x0 时函数的极限.2 . 自变量 x 时函数的极限.xx0-0 时,函数的极限xx0+0 时,函数的极限x- 时,函数的极限x+时,函数的极限第11页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四1 . x x0 时函数的极限:记作 : 定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0

7、时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以 A 为极限 .注: 仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义. “自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和 右趋近 (对于一元函数) .Axfxx=)(lim0第12页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四 . 函数的单侧极限 :左极限 ：右极限： x从左侧趋近于x0时产生的极限.记作 : x从右侧趋近于x0时产生的极限.记作 : 第13页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函

8、数的极限存在例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)AxfxfAxfxxxxxx=+-)(lim)(lim)(:)(lim00000当且仅当存在的充要条件极限.BAxyx0oAB, 即左极限右极限此函数 f (x)在 x0处的极限不存在.第14页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四2 . x 时函数的极限 : 函数在正无限处极限:函数在负无限处极限:函数在正负无限处极限:oxyA第15页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x时极限是否存在?解 : 当 x +时 , f (x) = arctgx /2

9、,函数极限不存在 (当 x 时).OYx/2-/2当 x -时 , f (x) = arctgx -/2 .AxfxfAxfxxx=-+)(lim)(lim)(:)(lim当且仅当存在的充要条件极限.第16页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四极限不存在的几种情形式 :1 . 当 x x0 (x ) 时 , f (x) , 极限不存在 .这时虽然 f (x) 的极限不存在 , 但也可记作 :2 . 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.3 . 当 x x0 (x ) 时 , f (x) 的变化趋势振荡不定,此时函数极限 不存在 .第17页，共54页，202

10、2年，5月20日，10点59分，星期四二. 无穷小和无穷大.1 . 无穷小定义 : 以零为极限的变量就是无穷小量 .例 : 当 x + 时 , 1/x 的极限为零 ; 注 : 称一个函数是无穷小量时 , 必须指出其自变量的变化趋势.无穷小量是变量而不是常数 0 , 也不是很小的数 ( 如 10-10000) 但0可以看成是无穷小量。当 x 1时 , x-1 的极限也是零 .第18页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四2 . 无穷大定义 : 在变化过程中其绝对值无限变大 , (无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反)例 : 当 x 0 时 , 1/x 的值无限增大 ; 注

11、: 称一个函数是无穷大量时 , 必须指出其自变量的变化趋势.无穷大量是变量 , 而不是一个很大的量 . . 无穷大量 , 无穷小量是变量 , 而不是一个确定的量 .当 x /2 时 , y = tgx 的绝对值 y无限增大 .第19页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四3 . 无穷小与无穷大的关系 : 互为倒数关系例 : 当 x 0 时 , 1/x 为无穷大量 , 而 x 为无穷小量 .(在同一变化过程中).第20页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四4 . 无穷小定理 : 定理1 . 函数 f (x) 以A为极限的充分必要条件是函数 f (x)与常数A

12、 之差是一个无穷小量 .即 lim f (x) =A 成立的充要条件是 : lim f (x) -A = 0亦即 , 若函数 f (x)以A为极限 , 若设 f (x) -A =,则为该极限过程中的无穷小量 .第21页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 . 定理3 . 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 .(有界函数 : 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : Af(x)B ,其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A下界 ,B上界).推论1. 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 . 推论2. 有限个

13、无穷小量的乘积仍为无穷小量 .第22页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四5 . 无穷小的比较 : 设,为两个无穷小 . 若 lim / = 0 (或 lim / =) , 则称是比高阶的无穷小 或称是比低阶的无穷小 .若 lim / = k0 , 则称与是同阶无穷小 .特别地若 lim / =1 ,则称与是等价无穷小 . 记作 : 第23页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四即 lim / =0 是比高阶的无穷小. 是比低阶的无穷小 .k0 与是同阶无穷小 .1 与是等价无穷小. 第24页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四在求等价

14、无穷小的比值的极限时,可将其中每一个(或仅仅一个)换为与其等价的无穷小. 即 若1,1, 则lim / = lim 1/ = lim / 1 = lim 1/ 1注:等价无穷小有一个很有用的性质:例: 求解: 利用x0 时,ln (1+2x) 2x得:原式= 1/2第25页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四三 . 极限的四则运算法则 :定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: lim f (x)g (x)=lim f (x) lim g (x) =AB. lim f (x) g (x) =lim f (x) lim g (x

15、) =AB lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B0)性质: lim C=C ( C为常量) . limC f (x) = C lim f (x) lim f (x)n = lim f (x)n (n为正整数).第26页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四第27页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四第28页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四31)1)(1(lim,0,1(:21=-+-=xxxxxx原式故不能用极限的商定理)分母的极限为时当解第29页，共54页，2022年，

16、5月20日，10点59分，星期四第30页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四对于有理分式函数F(x)=P(x)Q(x)求极限小结如下：当 x时 若多项式P(x)的次数低于分母Q(x)的次数,则函数F(x)的极限为0.若P(x)与Q(x)为同次多项式,则F(x)的极限为p(x)与Q(x)中x最高 次幂的系数之比.若P(x)的次数高于Q(x)的次数,则F(x)的极限为无穷大.第31页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四 当 xx0时若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限.若分母的极限为0时,想法消去使分母极限为零的因子,而后用 商定理出其极限 .求分

17、式函数的极限时,可能会遇到 0/0型 , /型 , 0型等极限, 这时需对分式函数作恒等变换,而后约去公因式,化为可求解 的 形式. 利用罗必塔法则求解.第32页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四四 . 两个重要极限 :第33页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四第三节 函数的连续性函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的xyxyoo（连续的）（在x0处间断）x0y=f(x)y=f(x)第34页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四一 . 函数的增量 : 函数 y =f (x) , 当自变量 x 从 x0 变到 x1 时

18、 , 函数 y 就从 f (x0)变到 f (x1) , 这时称 x=x1-x0为自变量 x的增量 , 称y= f (x1) -f (x0)或y= f (x0+ x) -f (x0)为函数 在 x=x0处的增量.第35页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四函数增量的几何意义:yf(x0)f(x1)x0 x1=x0+xy=f (x)xABxyo记作: y= f (x1) -f (x0) 或 y= f (x0+ x) -f (x0)第36页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四二.函数的连续点与间断点:1.连续性定义:设函数y=f (x)在点x0及其附近有定义

19、,当x0有一增量x时,相应地函数也有一增量:y=f (x0+x)-f (x0),若则称函数y=f (x)在点x0处连续(并称x0为函数的连续点)若以x=x0+x代入上式,则有x0.则有第37页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:)()(lim000 xfxxfx=D+D)()(lim00 xfxfxx=0lim0=DDyx(其中x=x-x0 , y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)第38页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四连续函数的几何意义:xyoy=f (x)x0(x0 ,y0)第39页

20、，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四由定义知:函数y=f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件: f (x)在点x0及其附近有定义.(要求比极限存在的条件高)2 . 间断点: 不满足以上三个条件之一的点就叫做 f(x)的间断点.极限必须存在（ 即 ）)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx+-=)()(lim00 xfxfxx=（即该极限等于点x0处的函数值）第40页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四例 :举一例说明间断点的第种情形:=11sin)(xxxfy当 x0 时当x=001sinlim)(lim00=xxxfxx解:

21、 而f (0) =1y= f (x) 在 x =0处不连续.(若定义中 x=0 时 , f (x) =0 , 则 f (x) 在 x=0 处连续)第41页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四3 .函数的左连续与右连续:4 .函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是:左连续 : 若函数f (x)在x0点及某一邻域内有定义 , 且只有 则称 f (x)在点 x0处左连续. )()(lim000 xfxfxx=-(即充要条件为: f (x)在x0点既是左连续又是右连续)(lim)(lim00000 xfxfxxxx=+-即:右连续 : 若函数f (x)在x0点及某一邻域内有定义

22、 , 且只有 则称 f (x)在点 x0处右连续. )()(lim000 xfxfxx=+第42页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四5 . 连续点与极限的关系:函数在x0点处连续函数在x0处极限存在(回忆极限定义与连续点定义)第43页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四解: f (x) 在点 x=3 处没有定义.点 x=3 是一个间断点.例 : 考察函数 的间断点. 0 xyA(3 , 6)3(虽然 极限存在)第44页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四2)2(lim)(lim20000-=-=-xxfxx)(lim)(lim000

23、0 xfxfxx+-例 : 讨论函数 -+=212)(22xxxf当 x0当 x= 0 的连续性.当 x02)2(lim)(lim20000=+=+xxfxx解 : x0 时, 函数的极限不存在. x = 0 点是间断点 , 而其余点是连续的. 0 xy+2-2第45页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四三. 在区间上连续的函数:1 . f (x)在开区间(a , b)上连续 : 如果函数 f (x)在开区间 (a , b)上每一点都连续 , 则称函数f (x)在开区间(a , b)上连续 .2 . f (x)在闭区间a , b上连续 : 如果函数 f (x) 在开区间 (

24、a , b)上连续 , 且有(即 f(x) 在左端点处右连续) , , (即 f(x)在右端点处左连续) , 则称函数f (x)在闭区间a , b上连续. 第46页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四它们在区间 (- , +)上是连续的.例:在区间 (- , +) 是否都连续 ?例 : y =2x , y = sinx.在区间 (- , +) 是否都连续 ?它们在区间 (- , +)上任一点都是连续的.解 :解 : x =0 处函数无定义.函数在 x =0 点处是间断点 , 即在 (- , +)不是都连续的. 第47页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四

25、在闭区间上连续函数的两个性质:定理1. (最大值最小值定理)在闭区间上的连续函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.即一段连续曲线必有最高点和最低点.ymaxyminoxyy=f(x)第48页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四定理2. (介值定理):如果函数 y=f (x)在闭区间a , b上连续 , 且f (a)f (b) , 则对介于f (a)和 f (b)之间的任何值C,在开区间(a , b)内至少存在一点,使f ()=C , (ab).a123boxycf(a)f(b)其几何意义:连续曲线 y=f(x)与水平直线 y=c至少相交于一点.第49页，共54页，2022年，5月20日，10点59分，星期四特殊地,若f (a)与f (b)异号