函数以及其图像

1、关于函数及其图像第1页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第一章 函数与极限1.1 函数及其图像1.2 函数极限1.3 无穷小量与无穷大量1.4 数列的极限1.5 两个重要极限1.6无穷小的比较1.7 连续函数及其性质 第2页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1 函数及其图像一、集合二、常量、变量、函数三、函数的初等性质四、函数的初等运算五、基本初等函数与初等函数六、函数关系的建立重点：函数的概念、初等函数难点：复合函数第3页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1.1 基础知识回顾1.集合:具有某种特定性质的对象（事物）的总体.组

2、成这个集合的对象称为该集合的元素.有限集（列举表示）无限集（命题式表示）集合：A，B，C表示；元素：a，b，c表示第4页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2.实数与数轴O1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的 集合一一对应第5页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例如不含任何元素的集合称为空集例如规定 空集为任何集合的子集.A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,若且则称 A 与 B 相等,例如 , ,记作记作定义2 .若设有集合A，B，必有3.集合之间的关系则称第6页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定义 3 . 给定两

3、个集合 A, B, 定义下列运算:并集交集且差集且余集直积记为平面上的全体点集或AB第7页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间, 记作 （a, b）称为闭区间,记作 a, b第8页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四称为半开区间, 记作a, b)称为半开区间, 记作 (a, b有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第9页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四5.邻域:点 a的去心的邻域，记作设a和数集称为点 a的邻域.是两个实

4、数，且点 a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径.第10页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四几个逻辑符号表示对“任意一个”、“对每一个”表示“存在一个”、“至少有一个”使得“”表示“蕴含”，“可推出”“” “”表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价”“满足方程”第11页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示 “对每一个”, 或“任取 ”, 或“任意给定”;“ ”表示 “存在 ”, 或“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德 (Archimedes) 公理:任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个自然数n,

5、用逻辑符号将阿基米德公理改写:练习第12页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四6.绝对值:运算性质:绝对值不等式:第13页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1.2 函数 在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母 a, b, c 等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母 x, y, t 等表示变量.常量 变量第14页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域函数定义：设是一个非空集合，f 是一个确定的法则，如果通过法则 f，存在唯一的则称由

6、 f 确定了一个定义于D上，取值于R的函数，记作与x相对应，当时，称为函数在点处的函数值.函数值全体组成的数集称为函数的值域.第15页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四函数的两要素:定义域与对应法则.第16页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四约定: 如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.定义:第17页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四说明：第18页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四不同的对应法则表示不同的函数 , 如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。 函数有三种表示

7、法：图象法、表格法. 在解析法中 ,函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数 , 例如 :圆的面积S与半径R的关系是 、解析法一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称为分段函数。这种函数例如 ，某市出租车的乘车费y(元)与里程x(公里)之间的关系是：注意：分段函数是一个函数 ， 而不是几个函数。第19页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四函数的定义域1. 函数中有分式,要求分母不能为零2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域若函

8、数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域 的交集第20页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例1 求下列函数的定义域第21页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四练解第22页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 (2) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1) 绝对值函数xyO第23页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点1xyo(4) 狄利克雷函数(3) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数5.3=5, -4

9、.5= -5.第24页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四(5) 取最值函数yxoyxo第25页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第26页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例1 解下列各题第27页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例2解:故定义域是-3, -1.因为 f(x) 的定义域是0, 2,所以对f(x+3)的有0 x+32,即 -3x-1,故f(x+3)的定义域是-3, -1.第28页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星

10、期四例3脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压第29页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第30页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例4. 已知函数解:及写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 值域 第31页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1.3 函数的几种特性1函数的有界性(bounded) :M=1-M=-1第32页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四有界的充分必要条件是既有上界又有下界。xyo第33页，共83页，2022年，

11、5月20日，11点0分，星期四例.第34页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 注有界的几何意义如左下图.有界无界:无界第35页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2函数的单调性(monotonicity) :xyo当时, 恒有称 f(x)为 I上的单调增函数.设函数f(x)的定义域是 D，且有区间若第36页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四xyo当时, 恒有称 f(x)为 I上的单调减函数.设函数f(x)的定义域是 D，且有区间若第37页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 注 2. 应指明单调区间 ,否则会产生错误,

12、 例:解.00? 0?第38页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四容易看出:不难验证:第39页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3函数的奇偶性:偶函数yxox-x第40页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四yxox-x奇函数第41页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四如xycos=在区间),(+-上是偶函数(如图2.1)如3xy=在),(+-上是奇函数(如图2.2)函数xxy2sin4+=在),(+-上是非奇非偶函数(如图2.3)图2.1图2.2图2.3第42页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4函数

13、的周期性(periodicity) :（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.周期为第43页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.第44页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1.4 函数的初等运算1. 函数的四则运算 第45页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第46页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，

14、星期四DWDW2. 反函数(inverse function)运算第47页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四注第48页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四习惯上,的反函数记成1.反函数的求法：先由y=f(x)解出根据习惯，f(x)的反函数记为第49页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 2.函数与反函数的图形关于直线 对称.即即3.反函数与函数的关系第50页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第51页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3 复合函数手电筒D复合函数 第52页，共83页，2022年，5月2

15、0日，11点0分，星期四复合函数也可以看作是产品的二次加工（多次加工）第53页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四xuy定义: 设函数y=f(x)的定义域是而函数的值域为若则可确定y为x的函数,称为 f 与的复合函数，记为即第54页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；3.复合运算不满足交换性,第55页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例2解第56页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四综上所述第57页，共83页，2022年，

16、5月20日，11点0分，星期四1) 幂函数(power function)1.1.5 基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 第58页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四2) 指数函数(exponential function)定义域为值域为第59页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3) 对数函数(logarithm function)定义域为值域为第60页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四4) 三角函数(trigonometric function)正弦函数定义域为值域

17、为第61页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四余弦函数定义域为值域为第62页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四正切函数余切函数定义域值域定义域值域第63页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四5) 反三角函数(inverse trigonometric function)定义域值域 主值反正弦函数第64页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定义域值域 主值反余弦函数第65页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 主值定义域值域反正切函数反余切函数 主值定义域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角

18、函数统称为基本初等函数.第66页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四(2) 初等函数(elementary function)及其分解初等函数.如都是初等函数.不是初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为第67页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四又如2321+=+xxey等都是初等函数。如+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函数。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+= ,分段函数一般不是初等函数注意：是初等函数。-=0,0,xxxx而第

19、68页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四双曲函数与反双曲函数:奇函数.偶函数.1、双曲函数第69页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四奇函数,有界函数,第70页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四双曲函数常用公式第71页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四反双曲函数奇函数,第72页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四奇函数,第73页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四第74页，共83页，2022年，5月20日，11点0分，星期四1.1.6 函数关系的建立例1 函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计月份 1 2 3 4 5 6 7