高中数学题型全面归纳（教师版）

1、第一章 集合与常用逻辑用语本章知识结构图互逆互为逆否互逆互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若p,则q逆否命题：若,则集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的基本关系子集真子集相等集合间的基本运算交集AB并集ABVenn图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且：pq或：pq非：p一假则假，两真为真一真便真，两假为假补集考纲解读1.集合的含义与表示了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集

2、合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2.集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的

3、训练预测2019年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现考查学生的综合推理能力（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用知识点精讲一、集合的有关概念1集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象2集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素（2）互异性：集合中任何两个元素都是互

4、不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法4常用数集的表示R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集二、集合间的关系1元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种空集：不含有任何元素的集合，记作2集合与集合之间的关系（1）包含关系子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然规定：（2）相等关系对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作（3）真子集关系对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合

5、的真子集，记作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示表交集AAB并集AAB补集AAI1交集由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即2并集由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即3补集已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即四、集合运算中常用的结论1集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质， ，（2）并集的运算性质， ，（3）补集的运算性质， ，补充性质：（4）结合律与分配律结合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的补

6、补的并”，“并的补补的交”2由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个3容斥原理题型归纳及思路提示题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性例1.1 设，集合，则（ ）A B C D解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。变式1 已知集合，则中所含元素的个数为（ ）A B C D解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因为 QUOTE * MERGEFORMAT 所以 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT ,B中所含元素的个数为10.故选D变式2 (2017济

7、南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQab|aP，bQ，若P0,2,5，Q1,2,6，则PQ中元素的个数是()A9 B8 C7 D6解析：(1)当a0时，ab1,2,6；当a2时，ab3,4,8；当a5时，ab6,7,11.由集合中元素的互异性知PQ中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素故选B题型2 集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足

8、的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析一、集合关系中的判断问题例1.2 若，则，之间的关系为（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列举，因此，故选C评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法变式1 设集合，则 B C D解析 集合M中的元素 QUOTE * MERGEFORMAT ，分子为奇数；集合N中的元素 QUOTE * MERGEFORMAT ，分子为整数，则M N，故选B.已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.3 设.若，则实数组成的集合为（ ）.AB.C.D.分析：解方程，建立的

9、关系式求，从而确定集合.解析：因为，又.当时，则方程无解，则；当时，则，由，得，所以或，即或故答案选C.评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.（2）含参数的一元一次方程解的确定：当时，方程有唯一实数解；当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当且时，方程无解.变式1 已知集合，则（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故选B.例1.4 已知集合，若，则实数a的取值范围是_解析：由，解得，故，又，如图所示，可得.变式1 若将例1.4中的集合B改为，其他条件不变，则实数的取值范围是_解析Ax|1x2 015且ab”的逆否命题是_解析：若ab2

10、015或ab，则a）不大于（）小于（）不小于（）是不是都是不都是至多有一个至少有两个至少有一个一个也没有任意存在所有某个（些）至多有n个至少有n+1个任意两个某两个特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”“p且q”的否定是“或”，“p或q”的否定是“且”即，与集合的德摩根法则可类比记忆变式1 命题“存在，”的否定是（ ）A不存在，B存在，C对任意的，D对任意的，解析 对于存在性命题的否定，要先改变量词，再否定结论，所以原命题的否定为“对任意的 QUOTE * MERGEFORMAT ”故选D变式2（2017成都七中半期）设命题，则为（）BD解析 A由全称命题与特称命题之间的互

11、化关系知选A题型9 根据命题真假求参数的范围例 117 命题p:关于x的不等式，对一切恒成立，q：指数函数是增函数若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围分析 由命题p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真命题，由此进行讨论解析 解法一：由p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真 = 1 * GB3 若p真q假，p真则不等式对一切恒成立，故，即，得-2a2,q假，得03-2a1,得a1,故综上，实数a的取值范围为解，大前提是法二：由指数函数的定义可知或a1得ag(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：f(x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f(x)minf(1

12、)2，g(x)maxg(4)2m，则f(x)ming(x)max，即22m，解得m0则（ ）A命题是假命题B命题是真命题C命题是假命题D命题是真命题5已知命题命题若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（ ）ABCD6下列说法错误的是（ ）A如果命题与命题都是真命题，那么命题q一定是真命题B命题“若a=0则ab=0”的否命题是“若a0，则ab0”C若命题，则D是的充分不必要条件7已知命题，则p的否定形式为_8给出以下四个命题: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若为真命题，则为真命题 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 命题“若,则”的逆命题 = 3 * GB3 *

13、 MERGEFORMAT 设a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,则是的必要不充分条件 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题其中真命题的序号是_9已知命题恒成立,命题为减函数,若为真命题,则实数a的取值范围为_10(2016郑州一模)已知函数f(x)xeq f(4,x)，g(x)2xa，若x1eq f(1,2)，3，x22,3使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca0 Da0已知才c0设命题p:函数为减函数命题q:当时,函数恒成立如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围12已知函

14、数且又给定(1)在p的条件下,求的最大值和最小值;(2)若又给定条件q：且p是q的充分条件，求实数m的取值范围13.已知函数f(x)eq f(x2x1,x1)(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为_；(2)若x12，)，x22, )使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为_ 最有效训练题3D解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D2A 解析 由“ QUOTE * MERGEFORMAT 是真命题”，得命题 QUOTE * MERGEFORMAT 均为真命题，“ QUOTE * MERGEFORMAT 是假命题”，则 QUOT

15、E * MERGEFORMAT 是真命题，因此“ QUOTE * MERGEFORMAT 是真命题”是“ QUOTE * MERGEFORMAT 为假命题”的充分不必要条件故选A3B解析 由基本不等式可得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故命题 QUOTE * MERGEFORMAT 为假命题， QUOTE * MERGEFORMAT 为真命题；任意 QUOTE * MERGEFORMAT ，命题 QUOTE * MERGEFORMAT 为真命题， QUOTE * MERGEFORMAT 为假命题， QUOTE * MERGEFORMAT 为假命题，故选B4D 解析 对于命题 QUO

16、TE * MERGEFORMAT 成立，因此命题 QUOTE * MERGEFORMAT 是真命题；对于命题 QUOTE * MERGEFORMAT ，显然 QUOTE * MERGEFORMAT 时 QUOTE * MERGEFORMAT 不满足 QUOTE * MERGEFORMAT ，因此命题 QUOTE * MERGEFORMAT 是假命题，所以命题 QUOTE * MERGEFORMAT 是真命题，故选D5A解析 由已知可知 QUOTE * MERGEFORMAT 均为真命题，由命题 QUOTE * MERGEFORMAT 为真得 QUOTE * MERGEFORMAT ，由命题 Q

17、UOTE * MERGEFORMAT 为真得 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故选A6D解析 因为“ QUOTE * MERGEFORMAT ”真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 为假，又“ QUOTE * MERGEFORMAT ”为真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 为真，故A正确；B,C显然正确；因为 QUOTE * MERGEFORMAT 时， QUOTE * MERGEFORMAT ,但 QUOTE * MERGEFORMAT 时, QUOTE * MERGEFORMAT 不一定为300，故 QUO

18、TE * MERGEFORMAT 是 QUOTE * MERGEFORMAT 的必要不充分条件故选D7 QUOTE * MERGEFORMAT 解析 特称命题的否定是全称命题，求特称命题的否定时，先将“ QUOTE * MERGEFORMAT ”改为“ QUOTE * MERGEFORMAT ”，再否定结论，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的否定形为 QUOTE * MERGEFORMAT 8 解析 因为 QUOTE * MERGEFORMAT 为真，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 真或 QUOTE * MERGEFORMAT 真，故 QUOTE * MERGEFO

19、RMAT 不一定为真命题，故假；逆命题：若 QUOTE * MERGEFORMAT ，则 QUOTE * MERGEFORMAT ，因为 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故真；由条件得， QUOTE * MERGEFORMAT ，当 QUOTE * MERGEFORMAT 时，有 QUOTE * MERGEFORMAT ，注意 QUOTE * MERGEFORMAT ，故 QUOTE * MERGEFORMAT ,但当 QUOTE * MERGEFORMAT 时，有 QUOTE * MERGEFORMAT ，故真；否命题：若 QUOTE

20、 * MERGEFORMAT 不是奇函数，则 QUOTE * MERGEFORMAT 不是奇函数，这是一个真命题，假若 QUOTE * MERGEFORMAT 为奇函数，则 QUOTE * MERGEFORMAT ，即 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 为奇函数，与条件矛盾故填9 QUOTE * MERGEFORMAT 解析 因为 QUOTE * MERGEFORMAT 恒成立知 QUOTE * MERGEFORMAT ,即 QUOTE * MERGEFORMAT ,由 QUOTE * MERGEFORMAT 为减函数得 QUOTE * M

21、ERGEFORMAT ，即 QUOTE * MERGEFORMAT ，又因为 QUOTE * MERGEFORMAT 为真命题，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 均为真命题，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，则实数的取值范围是 QUOTE * MERGEFORMAT 10C 解析：xeq f(1,2)，3，f(x)2 eq r(xf(4,x)4，当且仅当x2时，f(x)min4，当x2,3时，g(x)min22a4a，依题意f(x)ming(x)min，a0，故选C.11解析 解法一：由 QUOTE * MERGEFORMAT 为减函数得 QUOTE * MERGEFO

22、RMAT ；当 QUOTE * MERGEFORMAT 时，因为 QUOTE * MERGEFORMAT ，故函数 QUOTE * MERGEFORMAT 在 QUOTE * MERGEFORMAT 上为减函数，在 QUOTE * MERGEFORMAT 上为增函数，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 在 QUOTE * MERGEFORMAT 上的最小值为 QUOTE * MERGEFORMAT 当 QUOTE * MERGEFORMAT 时，由函数 QUOTE * MERGEFORMAT 恒成立，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，解得 QUOTE * MERGEFOR

23、MAT ，如果 QUOTE * MERGEFORMAT 真且 QUOTE * MERGEFORMAT 假，则 QUOTE * MERGEFORMAT ；如果 QUOTE * MERGEFORMAT 假且 QUOTE * MERGEFORMAT 真，则 QUOTE * MERGEFORMAT 所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的取值范围为 QUOTE * MERGEFORMAT 解法二： QUOTE * MERGEFORMAT ,如图1-20所示， QUOTE * MERGEFORMAT 1图1-201图1-2012解析 （1）因为 QUOTE * MERGEFORMAT 又因为 Q

24、UOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT 。所以 QUOTE * MERGEFORMAT 的最大值为5，最小值为3（2）因为 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，又因为 QUOTE * MERGEFORMAT 是 QUOTE * MERGEFORMAT 的充分条件， QUOTE * MERGEFORMAT ，所以实数 QUOTE * MERGEFORMAT 的取值范围是 QUOTE * MERGEFORMAT 13.解析(1)因为f(x)eq f(x2x

25、1,x1)xeq f(1,x1)x1eq f(1,x1)1213，当且仅当x2时等号成立，所以若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为3，)(2)因为当x2时，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)使得f(x1)g(x2)，则eq blcrc (avs4alco1(a23，,a1，)解得a(1，eq r(3)第二章 函数映射定义映射定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x0处有定义的奇函数f (0)01、2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角

26、函数有界性、数形结合、导数.幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义函数换元法求解析式分段函数注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数f (T)f ( eq f(T,2)f (0)0复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换函数八字图图像方程不等式式式图像方程不等式式式函数性质质本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函

27、数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.第一节 映射与函数考纲解读1、了解函数的构成要素，了解映射的概念.2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3、了解简单的分段函数，并能简单应用.命题趋势探究 有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2019年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主

28、.知识点精讲1、映射 设A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f，对A中的任何个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.注 由映射的定义可知，集合A到集合B的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.注 象与原象如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫a的象记作bf(a),a叫b的原象A的象记为f(A)2、一一映射设A，B是两个集合，f是A到B的映射，在这个映射下，对应集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射

29、f为AB的一一映射.注 由一一映射的定义可知，当A，B都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A与集合B中的元素个数相等.3、函数设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作yf(x)xA其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作yf（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .注 函数即非空数集之间

30、的映射注 构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.题型归纳及思路提示题型10 映射与函数的概念思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下对应集合A中的任一元素在B中都有唯的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A与是否为非空数集；（2）f：AB是否为一个映射.例2.1 若f：AB构成映射下列说法中正确的有（ ） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT A中任元素在B中必须有

31、象且唯一； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B中的多个元素可以在A中有相同的原象； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT B中的元素可以在A中无原象； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 象的集合就是集合BA = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT C. = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT D. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT

32、 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 解析 由映射的定义可知, = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 集合A中任一元素在B中必须有象且唯是正确的；集合A中元素的任意性与集合B中元素的唯一性构成映射的核心，显然不正确，“一对多”不是映射；因A在对应法则f下的值域C是B的子集，所以正确； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 不正确，象的集合是集合B的子集，并不一定为集合B故选C变式1 在对应法则f下，给出下列从集合A到集合B的对应 (2) ；（3）Ax|是平面内的三角形，By|y是平面内的圆，f：:xy是x的外接圆；

33、（4）设集合Ax|是平面内的圆，By|y是平面内的矩形，f:：xy是x的内接矩形其中能构成映射的是_分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则 QUOTE * MERGEFORMAT 下，对应集合A中的任一元素在B中能否都有唯一的象.解析 在（1）中，元素0在B中没有象，不满足“任意性”，因此，（1）不能构成映射。在（2）中，当 QUOTE * MERGEFORMAT 为偶数时，其象为1；当 QUOTE * MERGEFORMAT 为奇数时，其象为-1，而1，-1 QUOTE * MERGEFORMAT ，即A中任一元素在B中都有唯一的象，因此（2）能构成映射。在（3）中，因为

34、任一三角形都有唯一的外接圆，所以（3）能够成映射.在（4）中，因为平面内的任一个圆，其内接矩形有无数个，因此（4）不能构成映射.综上所述，能构成映射的有（2）（3）评注 判断一个对应是否能够成映射，应紧扣映射定义，在映射 QUOTE * MERGEFORMAT 中，A,B的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A中元素的象的集合为C，则 QUOTE * MERGEFORMAT ，同时要注意映射中集合元素的对象是任意的，可以是数、点或其它任意对象.变式2 已知函数yf(x),定义域为A1,2,3,4值域为C5,6,7,则满足该条件的函数共有多少个？分析 由函数

35、定义，本题等价于将4件不同的东西分配给3人，且每人至少1件.解析 利用捆绑法，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故满足条件的函数有36个例2.2有以下判断：与表示同一函数；函数的图象与直线的交点最多有1个；与是同一函数；若，则.其中正确判断的序号是_解析对于，由于函数的定义域为，而函数的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若不是定义域内的值，则直线与的图象没有交点，如果是定义域内的值，由函数定义可知，直线与的图象只有一个交点，即的图象与直线最多有一个交点；对于，与的定义域、值域和对应关系均相同，所以和表示同一函数；对于，由于，所以.综上可知，正确的判断是.变式1 下列所给图象是

36、函数图象的个数为()A1 B2C3 D4解析A中函数的定义域不是2,2，C中图象不表示函数，D中函数值域不是0,2，故选B.题型11 同一函数的判断思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组与y=1与（3）与解析 （1）的定义域为;y=1的定义域为R,故该组的两个函数不是同一函数；的定义域为;的定义域为R，故该组的两个函数不是同一函数；两个函数的定义域均为0，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数故为同一函数的一组是（3）评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有

37、关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性变式1下列函数中与y是同一函数的是( ) (2) (4)A (1)(2) B(2)(3) C(2)(4) D(3)(5)分析 首先判定定义域，再判断对应法则，也可快速判断值域.解析（1） QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式不同，不是同一函数；（2） QUOTE * MERGEFORMAT 的定义域和解析式完全相同，为同一函数（3） QUOTE * MERGEFORMAT ，但函数的定义域为 QUOTE * MERGEFORMAT 的定义域不相同，故不是同一函数；（4） QUOTE * MERGEFORMAT ，其定义域与解

38、析式与 QUOTE * MERGEFORMAT 完全相同，为同一函数；（5） QUOTE * MERGEFORMAT 解析式不同，故不是同一函数，故选C评注 由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，才是同一函数，即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，因此函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。题型12 函数解析式的求法思路提示 求函数解析式的常用方法如下：当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.若求抽象函数的解析式，通常采用方

39、程组法.求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.一、待定系数法（函数类型确定）例2.4已知二次函数的图像上任意一点都不在直线y=x的下方.求证:a+b+c1;设，若F(0)5，且F（x）的最小值等于2，求的解析式.解析（1）因为的图像上任点都不在直线yx的下方，所以，即abc1.因为的图像上任意一点都不在直线yx的下方，取相同x，二次函数值总大于一次函数值，所以，即，得，对任意xR成立.因为a0.所以a0且 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又得C=2所以.所以F（x）的最小值为.整理得. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 将 = 2 * GB3 * MERGE

40、FORMAT 式与c=2代人 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式，整理得且即=0，所以b=5，a=2.故变式1已知是一次函数，若，求.解析 设 QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT .评注 当已知 QUOTE * MERGEFORMAT 的函数类型，要求 QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式时，可根据类型设出解析式，再确定系数得出解析式二、换元法或配凑法（适用于了型）例2.5已知，求函数的解析式.分析 把看成一个整体，可用换元法求解析式解析 解法一（换元法）令=t（），则得，所以，即解法二(配凑法）：,即评注 利用换

41、元法求函数解析式时，应注意对新元t范围的限制变式1 已知,求的解析式.分析 利用换元法求解.解析：令 QUOTE * MERGEFORMAT 评注 对于 QUOTE * MERGEFORMAT 形式的表达式求解 QUOTE * MERGEFORMAT 的有效方法：令 QUOTE * MERGEFORMAT ，解出 QUOTE * MERGEFORMAT ，代入函数表达式，但应注意新元的范围。变式2设=，又记(k=1,2,),则=( ). B. C. D.解析 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT , 可看作周期为4的变换，所以 QUOTE * ME

42、RGEFORMAT ，故选C.评注 QUOTE * MERGEFORMAT 只表示表达式相同，其定义域不同， QUOTE * MERGEFORMAT .本题亦可用特殊值法. QUOTE * MERGEFORMAT .故选 C例2.6 已知函数满足,则的表达式为_.解析 ,又或2,故(x2或x0时,1-a1.得 解得 .（不符，故舍去）；当a1,1+a1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a解得.综上, . 变式1 已知实数a0,函数若则a的值为_分析 以分段函数的分界点为讨论的标准.解析 分段函数的分界点为1，当时，；当时. = 1 * GB3 当时，由得：解得； = 2 * GB3 当时，

43、因此满足，得，满足； = 3 * GB3 当时，因此解得，不满足.综上，的值为或.变式2 (2017武汉调研)函数满足，则a所有可能的值为()A1或eq f(r(2),2) Beq f(r(2),2)C1 D1或eq f(r(2),2)解析：，；当时，.最有效训练题4（限时45分钟）1.下列对应法则中，构成从集合A到集合B的映射的是( )A. B . C. D. 2.如图2-2所示，（a），（b），（c）三个图像各表示两个变量x，y的对应关系则有A 都表示映射，且（a），（b），（c）表示y为x的函数B 都表示y是x的函数C 仅（b）（c）表示y是x的函数 D 都不能表示y是x的函数3.下列各

44、组函数中是同一函数的是（ ）A. 与 B. 与C. 与 D. 与 4.设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射f：AB使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（xy，x-y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.(3，1) B. C. D. 5(2016安徽六校联考)已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为()A2 B2C2或2 D.eq r(2)6.(2016唐山期末)已知的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B(1，eq f(1,2)C1，eq f(1,2) D(0，eq f(1,2)7.定义在R上的函数满足，则f(-3)=_.8.设函数 ,则 的值为_.9

45、.设函数 ,若 则关于的方程的解的个数为_.10若 是从集合 到集合 的一个映射,则A_，B=_.11.求下列函数的解析式：(1)已知求;(2已知是一次函数,且满足求 ;(3)已知,求;(4)为二次函数且f(0)=3,求 ;(5)已知定义域为（0,）的单调函数 若对任意的都有求的解析式.12.已知 (1)求和的值（2）求和的表达式. 最有效训练题41.D 解析 根据映射的定义知，构成从集合A到集合B的映射是D，故选D.2.C 解析 根据映射的定义，对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应，在3个图象中，（a）不能表示映射，更不能表示函数；（b）（c）是映射，也是函数，故选C.3.D.解

46、析 A与B选项中两个函数的定义域都不相同，C选项 ，与的对应法则不同，故选D.4.B 解析 根据题意有解得，所以象原象是.故选B.5.A 解析 解分段函数方程，由解析式可知，则，当时，方程无解，当时，得，故选A.6.A 解析 根据表中的对应关系得，故选A.7.6 解析 先令，得，则，解得，所以.8. 解析 由函数解析式可知故 .9.3 解析 由可得，从而方程等价于或，解得到，从而方程的解的个数是3.10. 解析 ，因为，由映射的定义知（1）或（2），因为，所以方程组（1）无解.解方程组（2）得（舍），所以11.解析 （1）令，则. 所以 ，即.(2)设，则所以，故.(3)令，则，故，所以.(4

47、)设则所以解得，又得，所以.(5)依题意，对任意的，且，令得，即，解得.12.解析 （1）由已知，所以，.(2)当时，故；当时，故所以当或时，故；当时，故所以第二节 函数的定义域与值域（最值）考纲解读 会求些简单函数的定义域和值域命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取值范

48、围； = 2 * GB3 在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示题型13 函数定义域的求解思路提示 对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二

49、、给出函数解析式求解定义域例2.10.函数的定义域为（ ）A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解解析 得，故选C变式1 函数 的定义域为（）A.(0，1) B0，1） C.(0，1 D0，1解析 由得，故选B.变式2求函数 的定义域. 解析 ，得. 所以的定义域为.三、抽象函数定义域已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则的作用下括号内式子的范围相同.例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域（2）

50、已知函数的定义域为（2，4）求的定义域（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.分析 已知函数的定义域为D，求函数的定又域，只需;已知函数 的定义域,求函数了的定义域，只需，即求的值域.解析 （1）的定义域为（0，1），即0 x1.故，所以且0，所以的定义域为 (2) 的定义域为(2，4).即2x4.所以4 0成立；当时，应有，综上所述，的取值范围是.变式3若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围.解析 依题意，当时，恒成立.(1)当时，因为，所以.此时有可知对任意，恒成立，所以符合题意.(2)当时，由题意得，所以，解得.综上所述，实数a的取值范围为.题型15 函数值域的求解思路提示 函数

51、值域的求法主要有以下几种 (1)观察法:根据最基本函数值域（如0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的元二次方程，利

52、用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.一 观察法例 2.14 求函数的值域.分析 由观察法直接得到函数的值域.解析 因为，所以函数的值域为.变式1 函数的值域是 .解析 由，故函数的值

53、域为.变式2 函数的值域是 .解析 由得由，得，故函数的值域为. 二 配方法例 2.15 求函数的值域.分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解.解析 由，得.变式1 求函数的值域.解析 ，故函数的值域为.变式2 求的值域.解析 因为.函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最大值16，当或5时，函数取得最小值0，故值域为，所以的值域为.变式3 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）.A -2 B -4 C -8 D 不能确定解析 如图2-36所示，设二次函数，由，则抛物线开口方向向下，函数的定义域D为不等式的解集，设两根为，则,依题意，点构成一个正方形区域，

54、所以则满足 ,得,故选B三 图像法（数形结合） 例 2.16 求函数的值域.分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和.解析 如图2-4所示，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点，连接BA交y=1于点P（0,1）,此时AB的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P（0,1）到A,B两点的距离之和为，故函数的值域为,+.BBOP(x,1)ABABA图2-4P评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A(-1,1),B(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA|+|PB|，则|PA|+|

55、PB|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解析 由绝对值的几何意义，如图2-37所示知表示数轴上的点与定点和的距离之和，因此，所以函数的值域为变式2 函数的值域是（ ）.A B C D 解析 ，的几何意义为动点到直线的距离，的几何意义为动点到定点（1，1）的距离，如图2-38所示，,所以.故选B变式3 函数的值域是（ ）.A B C D 解析 令，则，于是，而的几何意义为动点与定点所确定直线的斜率，如图2-39所示，所以，直线AC与单位圆上半部分相切，所以圆心到直线AC的距离为1，即，得，由图知，负根舍去.所以，所以函数的值域为.故选D.四 基本不等式法例2.17 已知

56、x2,求函数的值域.解析 令,则，（当且仅当，即t=2,x=3时取等号）.故函数的值域为.变式1 求函数的值域.解析 由，若，则（当且仅当时，即时取“=”）；若时，（当且仅当时，即时取“=”），因此函数的值域为.五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数的值域.解析 令，则，得.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，所以值域为.故函数的值域为.变式1：求函数的值域.解析 令，则，原式可化为，因为，所以，所以函数的值域是评注 对于含根号的无理函数，通过换元将根号脱去，转化为整式函数（特别是二次函数）求值域.变式2：求函数的值域.解析 令，则.又，所以.所以，函数的值域是分离常数法

57、【例2.19】求的值域.分析 本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.解析 由题意得，因为，所以.，故值域为.变式1：求函数的值域.解析 因为，所以函数的值域为.评注 对于分式型函数，函数的值域为.若本题中将x的范围限定在区间，其答案如何？.变式2：求函数的值域.解析 因为，所以且（当时，1-）.评注 一般地，值域为且（因为且，所以把带入约分后的式子即可）判别式法【例2.20】求函数的值域.解析 因为恒成立，所以函数的定义域为R.原式可化为.整理得.若，即，即；若，因为，即有，所以，解得且.综上所述，函数的值域为.变式1：已知函数的值域为，求的值.由得，即，其解集为，则

58、方程的两根为，由韦达定理得解析 由得，即，所以.变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.解析 由题意知，令，则 ，即 .由，得，即方程的两根是1，9.即，所以.单调性法【例2.21】求函数的值域.解析 由函数的定义域为，且函数在区间上单调递增.当时，所以函数的值域为.变式1：求函数的值域.解析 由，得为的单调递减函数，又，因此.所以函数的值域为变式2：函数的值域是_.解析 函数的定义域为，又因为在上是增函数，从而可知的值域为-3，.变式3：求函数的值域.解析 因为=，且函数在上单调递减，在单调递增，所以函数在处取得最小值3，故函数的值域为.变式4：求函数的值域.解析 ，令，则，在单调递减

59、，当时，因此，故函数的值域为.有界性法【例2.22】求函数的值域.解析 解法一（有界性法）：由题意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函数的值域为.解法二（分离常数法）：，由，可知，故，因此函数的值域为.变式1：已知函数，求函数的值域.解析 解法一：（反解有界性）由题意可得，即有，故需可求得，因此所求函数的值域为. 本题具备齐次分式的结构特征，还可以利用分离常数法求解，解法如下：解法二： ，在上函数单调递增，故，因此所求函数的值域为.变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（ ） 析 由题意可知，若有，即，解得，故选B.【例2.23】已知，求函数的值域.解析 由，得，且，故.得或.又，则.故

60、.因此函数的值域为.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.变式1：已知，求函数的值域.解析 ,则，得，故值域为.导数法【例2.24】求函数的值域.解析 由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域为.评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.解析 ,由题意是函数的两个极值点，所以，即，故，得.所以当单调递增；当单调递减；当 ，单调递增.如表2-8所示.表2-8x-1(-1,0)0(0,2)2(2,4)4