概率论数理统计第6讲课件

1、 概率论与数理统计第六讲温故随机变量定义：设X=X()是定义在样本空间上的实值单值函数，称X=X()为一维随机变量。分类：离散型随机变量 连续型随机变量定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为（1）称（1）式为离散型随机变量X的分布律 。一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为分布律也可以直观地用下面的表格来表示： 由概率的定义，式（1）中的 应满足以下条件： 随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率模型：一个人射击，射中的概率为p，不中的概率为 q=1-p.则X分布律为： X 0

2、 1 pk q p规定：常用的离散型随机变量的分布1.两点分布（ 0-1分布） 设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2, 而取各个值的概率为：3. 泊松分布其中0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P() 。电话交换台接到的呼叫次数；公共汽车站到达的乘车人数；一本书一页中的印刷错误数；放射性分裂落在某区域的质点数，等等 连续型随机变量 X 所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。2.3 连续型随机变量作频率直方图的步骤(1). 先确定作图区间 （a

3、, b）;a = 最小数据-/ 2，b = 最大数据+/ 2， 是数据的精度。本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 确定数据分组数 m = 7， 组距 d = (b a) / m=28/7=4， (3). 计算落入各子区间内观测值频数 频率 = 频数/ 总数子区间频数频率(127.5, 131.5)60.06(131.5, 135.5)120.12(135.5, 139.5)240.24(139.5, 143.5)280.28(143.5, 147.5)180.18(147.5, 151.5)80.08(151.5, 155.5)40.04(4).在各组以组距

4、为底向上作长方形，使该长方形的面积等于该组的频率 ，即长方形的高组距=频率，从而“高=频率组距=频率/ 4”这样的图形称为频率直方图，简称直方图。2.3. 2 概率密度函数定义：若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充要条件。密度函数的性质f(x)与 x 轴所围 面积等于1。需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点 a 处取值，不是事件 X =a 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概

5、率越大。(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.即：a为任意给定值。这是因为：由此得， 对连续型 随机变量 X, 有在几何上，它表示随机变量X落在实数x左边的概率定义 分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴。2.3.4 随机变量的分布函数分布函数的性质(1).ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)；(2).xR，总有0F(x)1(有界性)，且证明：仅证 (1)。因 aXb = Xb - Xa，而 Xa Xb，所以 PaXb = PXb - PXa = F(b) - F(a) .又，因 PaXb0， 故 F(a)F(b) .注意：上述证明中我们得到一个重要公式: Pa0，则称

6、X服从参数为和的正态分布。特点“两头低，中间高，左右对称”。 正态分布 的图形特点 决定了图形的中心位置, 决定了图形峰的陡峭程度。II. 正态分布 的分布函数I I I. 标准正态分布 称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数和分布函数常分别用 来表示。它的依据是下面的引理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。 根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。引理： 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算问题。I V. 正态分布表表中给出的是 x 0时，(x)的取值;

7、若 XN(0, 1),服从N(0,1)例6：假设某地区成年男性的身高(单位: cm) XN(170,7.692), 求该地区成年男性的身高超过 175cm 的概率。 解: 根据假设 XN(170 ,7.692)，知事件 X 175 的概率为解: 设车门高度为 h ，按设计要求P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的 h。例7：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高 (单位: cm) XN(170, 7.692),问车门高度应如何确定?因为XN(170,7.692),求满足 P(X h) 0.99 的最小 h。故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。 本讲首先介绍连续型随机