天津刘岗庄中学高三数学理期末试题含解析

1、天津刘岗庄中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，是某算法的程序框图，当输出T29时，正整数n的最小值是（）A2B3C4D5参考答案：C【考点】程序框图【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，T=2第二次循环k=2，T=6；第三次循环k=3，T=14；第四次循环k=4，T=30；由题意，此时，不满足条件4n，跳出循环的T值为30，可得：3n4故正整数n的最小值是4故选：C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序

2、框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题2. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是( )Ay=x3By=|x|+1Cy=x2+1Dy=2|x|参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】常规题型【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+）上y=|x|+1=x+1、y=x2+1、y=2|x|=的单调性易于选出正确答案【解答】解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=x2+1、y=2|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=x2+1、y=2|x|=在（0，+）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+

3、）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确故选：B【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性3. 函数的图象大致是（ ）A B C. D参考答案：B由题设可知，所以函数是奇函数，依据图像排除A，C，应选答案B，D，由于，即，故排除答案D，应选答案B。4. 九章算术涉及到中国古代的一种几何体阳马，它是底面为矩形，两个侧面与底面垂直的四棱锥，已知网格纸上小正方形的边长为，现有一体积为4的阳马，则该阳马对应的三视图（用粗实线画出）可能为（）参考答案：C5. 已知函数，以下说法中不正确的是（ ）A周期为 B最小值为C为单调函数 D关于对称参考答案：C 关于对称.考点：三角函数图象与性质.【思路点晴

4、】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图象与性质.函数表达式中，有二倍角，有单倍角，注意到这两者之间的联系，由此考虑用换元法来求最值和单调区间.换元后利用二次函数配方法来求最值.对于函数的周期性，只需验证即可.对于函数的对称轴，则需验证.6. 在中，内角，的对边分别为，若，且，则面积的最大值为（ ）A B C. D参考答案：C7. 具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ?；?；?y= 中满足“倒负”变换的函数是（ ）A? B? C? D只有? 参考答案：B8. 已知a，bR，且ex+1ax+b对xR恒成立，则ab的最大值是（）A e3B e3C e3De3参考答案：A

5、【考点】函数恒成立问题【分析】分a0、a=0、a0三种情况讨论，而a0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a0时，构造函数f（x）=aex+1a2x来研究不等式ex+1ax+b恒成立的问题，求导易得【解答】解：若a0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且ex+1ax+b对xR恒成立，则a0若a=0，则ab=0若a0，由ex+1ax+b得bex+1ax，则abaex+1a2x设函数f（x）=aex+1a2x，f（x）=aex+1a2=a（ex+1a），令f（x）=0得ex+1a=0，解得x=lna1，xlna1时，x+1lna，则ex+1a，则ex+1a0，f（x）0，函数f（x）递

6、减；同理，xlna1时，f（x）0，函数f（x）递增；当x=lna1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna1）=2a2a2lna设g（a）=2a2a2lna（a0），g（a）=a（32lna）（a0），由g（a）=0得a=，不难得到时，g（a）0；时，g（a）0；函数g（a）先增后减，g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时故选：A9. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A. 关于点（，0）对称B. 关于直线x对称C. 关于点（，0）对称D. 关于直线x对称参考答案：A略10. 已知与为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 （ ）A BC D参考答案：A

7、略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列an对任意的nN*都有an+1=an2an+1an，若a1=，则a8= 参考答案：【考点】数列递推式【分析】由an+1=an2an+1an得，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由an+1=an2an+1an得，故数列是，公差d=2的等差数列，故答案为：12. 已知角的始边是x轴非负半轴其终边经过点，则sin的值为参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由题意，sin（）=，cos（）=，利用sin=sin（）=sin（）coscos（）sin，可得结论【解答】解：由题意，sin（）=，cos（）=sin=sin

8、（）=sin（）coscos（）sin=故答案为13. 已知函数(0，0，)的部分图象如下图所示则 参考答案：14. 已知点的坐标满足，设，则（为坐标原点）的最大值为 参考答案：【知识点】简单线性规划的应用E5 【答案解析】2 解析：满足的可行域如图所示，又，由图可知，平面区域内x值最大的点为（2，3）故答案为：2【思路点拨】先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果15. 若是公比为2的等比数列，且，则 （用数字作答）参考答案：101316. 已知ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为参考答案：【考点】正弦定理【分析】由正弦定理得出a+b=，结

9、合周长得出c和a+b，根据面积公式得出ab，利用余弦定理计算cosC【解答】解：，a+b=a+b+c=，解得c=1a+b=S=，ab=cosC=C=故答案为17. 对于集合N=1, 2, 3, n及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合1, 2, 4, 6, 9的交替和是964216，集合5的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N=1, 2的所有非空子集为1，2，1, 2，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(21)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合

10、N=1, 2, 3, n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= 。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且.（1）求的值；（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.参考答案：（1）解：直线和圆的普通方程分别为，直线过圆的圆心，所以；（2）证明：曲线，可知直线的参数方程为（为参数）代入曲线得，恒成立，设两点对应的参数分别为，则，所以为定值.19. 在,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC的内角

11、A、B、C的对边分别为a、b、c_,求ABC的面积.参考答案：答案不唯一,具体见解析【分析】（1）选,先用余弦定理求出角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.（2）选,先用正弦定理的推论将边化角,整理得角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.【详解】解：（1）若选择,由余弦定理,因为,所以;由正弦定理,得,因为,所以,所以,所以.（2）若选择,则,因为,所以,因为,所以;由正弦定理,得,因为,所以,所以,所以.（3）若选择,则,所以,因为,所以,所以,所以;由正弦定理,得,因为,所以,所以,所以.【点睛

12、】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.20. 已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数求函数的解析式；设函数，若的两个实根分别在区间内，求实数的取值范围参考答案：（1）幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数 ，又，函数为偶函数 (2） 由题，略21. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢

13、甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：X2=P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635参考答案：【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式【专题】应用题；概率与统计【分析】（）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（）利用古典概型概率公式，即可求解【解答】解：（）由题意，X2=4.7623.841，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，至多有1人喜欢甜品的概率【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率

14、计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题22. 已知椭圆=1（ab0）的中心为O，它的一个顶点为（0，1），离心率为，过其右焦点的直线交该椭圆于A，B两点（1）求这个椭圆的方程；（2）若OAOB，求OAB的面积参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过离心率，结合椭圆的几何量的关系，求解即可得到椭圆的方程（2）判断直线AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，写出直线AB的方程为y=k（x1）与椭圆联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），利用韦达定理结合OAOB求出k的值，求出|AB|，求出直角OAB斜边高为点O到直线AB的距离d，然后求解面积【解答】解：（1），依题意b=1，a2c2=1，a2=2，椭圆的方程为；（2）椭圆的右焦点为（1，0），当直线AB与x轴垂直时，A，B的坐标为，此时直线AB与x轴不垂直，设直线A