专题十一：绝对值最值问题

1、绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数，的绝对值就是数轴上表示，的点与原点 的距离。数0的绝对值记作|a|几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段(含端点)1、(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为AB.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB=OB=|b| = |a - b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB=OB - OA = |b| - |a| = b - a =|a - b|；如图丙，点A、B都在原点的左边，AB=OB - OA = |b| - |a|=- b -(- a) =|a - b|；如

2、图丁，点A、B在原点的两边AB=OA+OB=|a|+|b|=a + (- b) =|a - b|.综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|a - b.(2)回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；数轴上表示x和-1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是,如果|AB|=2,那么 x=；当代数式|x+2|+|x - 5|取最小值时，相应的x的取值范围是.当代数式|x - 1|+|x+2|+|x - 5|取最小值时，相应的x的值是.当代数式|x -5|-|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是.111 TO

3、C o 1-5 h z 图丙2n口OA4-*图丁5口L2、在数轴上，点A, B分别表示数a, b，则线段AB的长表示为|a -外例如：在数轴上，点A表示5.点B表示2,则线段AB的长表示为|5-2| = 3：回答下列问题：(1)数轴上表示1和- 3的两点之间的距离是：(2)若 AB=8, |b| = 3|a|,求 a, b 的值.(3)若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x - a|+|x - b|的最小值为4,若a=3,求b 的值.绝对值最值问题解析1、(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为AB.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，

4、如图甲，AB=OB=|b| = |a - b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB=OB - OA = |b| - |a| = b - a =|a - b|；如图丙，点A、B都在原点的左边，AB=OB - OA = |b| - |a|=- b -(- a) =|a - b|；如图丁，点A、B在原点的两边AB=OA+OB=|a|+|b|=a + (- b) =|a - b|.综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|a - b.(2)回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；数轴上表

5、示x和-1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是,如果|AB|=2,那么 x=；当代数式|x+2|+|x - 5|取最小值时，相应的x的取值范围是.当代数式|x - 1|+|x+2|+|x - 5|取最小值时，相应的x的值是.当代数式|x -5|-|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是. TOC o 1-5 h z a1图甲lj士1II图乙口以b图丙2n口_L2_i_*匿丁5口a解：.5 - 2 = 3,- 2 -(- 5)=3, 1 -(- 3)=4；、|x +1|, |x +1|=2 贝U x =1 或-3；|x+2|+|x - 5|表示数轴上一点到- 2与5两点的距离的和，当这点

6、在- 2和5之间时和最小，最小距离是：5-(-2)=7；代数式|x - 1|+|x+2|+|x - 5|表示数轴上一点到1、-2与5三点的距离的和，根据两点之 间线段最短，则当x =1时和最小，最小值是5到-2的距离，是5-(-2)=7；代数式|x -5|- |x+2|表示数轴上一点到5与-2两点的距离的差，当点小于等于-2时差最大，最大值是5与-2之间的距离，是7.故答案是：3, 3, 4；|x +1|, 1 或 3；-2WxW5；x =1；xW-2.2、在数轴上，点A, B分别表示数a, b，则线段AB的长表示为|a -外例如：在数轴上，点A表示5.点B表示2,则线段AB的长表示为|5-2

7、| = 3：回答下列问题：(1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：(2)若 AB=8, |b| = 3|a|,求 a, b 的值.(3)若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x - a|+|x - b|的最小值为4,若a=3,求b 的值.解：(1) 1和-3两点之间的距离为|1-(-3) |=4；故答案为：4；(2)V|b | = 3| a |二 b =3 a AB=8二 | a - b | = 8当 b = 3 a 时，| a - b | = | - 2 a | = 8二a=4, b =12 或 a =- 4, b =- 12当 b =- 3a 时，|a - b| = |4a| = 8/.a=2, b =- 6 或 a =- 2, b = 6综上所述：a=4, b = 12 或 a =- 4, b =- 12 或 a=2, b =- 6 或 a =- 2, b = 6.(3)由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x - 3|+|x - b|的值最小为4,|x - 3|+|x - b|最小=x