大学物理实验绪论（修改稿）

1、 大学物理实验一 序言1 物理学与实验 物理学一词() 源于希腊文()，意为自然。其现代内涵是指研究物质运动最一般规律及物质基本结构的科学。 物理学是实验科学，凡物理学的概念、规律等都是以客观实验为基础的。因此物理学绝不能脱离物理实验结果的验证，实验是物理学的基础。 实验是有目的地去尝试，是对自然的积极探索。科学家提出某些假设和预见(推测) ，为对其进行证明，筹划适当的手段和方法，根据产生的现象来判断假设和预见的真(假设成立)伪(修改假设)。因此科学实验的重要性是不言而喻的，其中物理实验自然也雄居要位。 伽利略把实验和逻辑引入物理学,使物理学最终成为一门科学。2 物理理论和物理实验 整个物理学

2、的发展史是人类不断深刻了解自然，认识自然的过程。实验物理和理论物理是物理学的两大支柱，实验事实是检验物理模型和确立物理规律的终审裁判。物理理论则是对实验观测结果的归纳和总结，并在此基础上去解释新的实验结果和预测新的实验现象。两者相辅相成，相互促进，恰如鸟之双翼，人之双足，缺一不可。物理学正是靠着实验和理论的相互配合激励，探索前进，从而使人类对于自然基本规律的认识不断向前发展的。 这种相互促进、相互激励、相互完善的过程的实例是数不胜数的.它们都是物理学思想（粗粒化、普适性）和物理学方法（实证分析、可控(定量)实验、理论分析）的完美结合 1924年法国人德布洛伊（De. Broglie）在光的微粒

3、性的启发下，提出了实物粒子具有波动性的假设，即波和粒子的缔合概念。通常人们将它描述为波粒二重性，即p=h/，这是一个大胆而伟大的假设。 物理伟人爱因斯坦曾称这是照亮我们最难解开物理学之谜的第一缕微弱的光。并提名德布洛伊获诺贝尔奖。 1927年，美国科学家戴维孙（C.J.Davisson）和盖尔末(L.H.Germer)用被电场加速过的电子束打在镍晶体上，得到衍射环纹照片。从而计算并证实了p和之间关系的假设，使德布洛伊的理论得以被公认。 De.Broglie和C.J.Davisson分别获得1929年和1937年的诺贝尔物理学奖。 理论上美妙的假设和推论，要成为被公认的物理规律，必须有实验结果的

4、验证。 De. Broglie指出可以通过电子在晶体上的衍射实验来证明他的假设。 1895年伦琴在实验上发现了新的电磁辐射，并称其为X射线（它是由高速电子轰击重元素靶而产生的波长在nm量级的电磁辐射）。 X射线的发现进一步推动气体中电传导的研究。 J.J汤姆逊说明了被X射线照射的气体具有导电性是由于X射线引起分子电离而使气体带有电荷。这给劳伦茨创立电子论提供了实验基础。而电子理论又给Zeeman效应，即光谱线在磁场中会分裂这一事实以理论解释。Zeeman分裂后来又扩展到可见光以外的波段，产生了各种“磁共振”理论和技术。这一连串的事实关系表明了实验物理和理论物理之间的密切关系和相互激励从而共同推

5、进物理学发展的进程。以诺贝尔物理学奖为例：80%以上的诺贝尔物理学奖给了实验物理学家。 20%的奖中很多是实验和理论物理学家分享的。实验成果可以很快得奖，而理论成果要经过至少两个实验的检验。有的建立在共同实验基础上的成果可以连续几次获奖（例如核磁共振，参阅“核磁共振”实验）。3 科学实验和教学实验 科学实验是为了试图验证某些预测或获取新的信息，通过技术性操作来观测由预先安排的方法所产生的现象。科学实验是探索的过程，可能成功也可能失败，其结果可能符合预期也可能否定预期，当然还可以有意外收获，并得到未曾预期的成功。每一次科学实验的成功再一次揭示出自然界的奥秘，使人类在认识自然的道路上又前进了一步。

6、 教学实验以传授知识、培养人才为目的。培养学生未来进行探索的基本能力。教学实验都是理想化了的，排除了次要干扰因素，经过精心设计准备，是一定能成功的。尽管如此，教学实验的地位仍然是非常重要的。教学实验担负着培养学生科学素质的任务。 学生的任务主要是积累知识、提高能力和培养素质。某种意义上说，不管学生自己是否意识到，实际都在建造自己通向未来事业高峰的阶梯。每个人建造阶梯的过程和结果取决于诸多主客观因素，会有所不同。无论如何总以明确目标自觉行动为先。 物理实验课是一门基础实验课，是知识的底层，这底层的重要性是不言而喻的。 希望同学们充分发挥主观积极因素，提高学习效益，切莫辜负好时光。 4 结论二 物

7、理实验课的目的学习实验知识培养实验能力提高实验素养 学习实验知识通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识(每一个实验都涉及到综合性的知识)和设计思想，掌握和理解物理理论。培养实验能力借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器；运用物理学理论对实验现象进行初步的分析判断(要充分注意理论与实际的不同！)；正确记录和处理实验数据，绘制实验曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告；能够根据实验目的和仪器设计出合理的实验。提高实验素养培养理论联系实际和实事求是的科学作风；严肃认真的工作态度（关键看态度！）；主动研究和创新的探索精神；遵守纪律、团结协作和爱护公共财产的优良品德。三 物理实验课的

8、基本程序预习用实验报告纸写预习报告操作和记录准备好一本实验记录本记录你所做的一切实验报告用实验报告纸写出完整的实验报告并按时交给任课老师姓名（每张报告纸上都要写姓名，包括所作的图纸上）、 （完整的）班级、（完整的）学号以及星期几第几节课（即选课的时间）绝不能遗漏！实验记录本必须在记录本里记录你所做的一切.每个实验的记录都应从新的一页开始.它应包括5个主要部分:实验标题和日期;观测数据;(绝不能用铅笔记录，也不能记录在零散纸张或书本上!)计算;实验方法的有关说明（必要时可画出图表,如电学实验要画出电路图）.包括：遇到的困难和其它现象，以及克服这些困难的方法；观察到不寻常的现象时，最好及时记录下来

9、，若一时无法解决，可供以后分析讨论.实验结果,包括标准不确定度.（特别注意给出的应当是有效数字！）用实验报告纸写出完整的实验报告完整的实验报告通常包括下列几个部分： 实验名称；实验目的；仪器设备；实验原理；实验步骤；实验数据表格；计算和作图；实验结果；小结或讨论。实验报告应在做完实验后一周内完成并交给任课老师！如未能完成实验,应写出中止实验的理由!凡未做实验或未交实验报告或抄袭别人数据者实验成绩记零分！四 适用于所有实验的注意事项1.仔细阅读实验标题,准确理解它的意思.教材中有的地方提示一些理论要点,但不作系统完整的讨论.如果你不熟悉实验涉及的理论,我们设想你在做实验之前会设法去掌握它.2.阅

10、读实验指导全文,对需要做的事情、需要注意的事项及需要做的记录,都能“心中有数”.3.检查要用的仪器,如果有疑问应请教老师.4.按给定的步骤进行实验操作.但要记住,实验教材并不是为不了解整个实验、只会盲目机械地从一个操作到下一个操作的人写的.5.把观察到的一切数据记在实验记录本上.6.做完实验后,把仪器物品放回原处.7.勿忘在实验前写预习报告和在实验后交实验报告!第1章 测量误差与不确定度评定及实验数据处理实验是在理论思想指导下,利用科学仪器设备,人为地控制或模拟自然现象,使它以比较纯粹和典型的形式表现出来,然后再通过观察与测量去探索自然界客观规律的过程.物理规律是用物理量之间的定量关系来表达的

11、.观察与测量不会永远在理想化的条件下进行,所谓“完善的测量”是做不到的.无论是实验的设计、操作，都要考虑误差对实验结果的影响。对实验结果的可靠性，既不能人为夸大而造成潜在的危害，也不能人为缩小而造成可能的浪费。应力求用最小的代价取得最好的结果，而不能片面地认为仪器越高级越好、环境条件越稳定越好等。可以说，实验过程的每一步都与测量误差理论密切相关。实验中获得的数据，必须经过认真的、正确的、有效的处理，才能得出合理的结论。3.误差分类2. 测量方法与测量分类 4. 精密度、正确度与准确度1.1.3 随机变量2. 用非统计的方法估计1.2.4 不确定度的合成与传递 1. 用统计方法估计1.2.1 不

12、确定度的由来1.3 有效数字及测量结果的表示1.4 列表、作图之要点及组合测量与最佳直线参数1.1 测量及误差1.2 不确定度1.1.1测量的基本概念1. 量、测量与单位1.1.2测量误差的基本概念1. 绝对误差2. 相对误差1.1.4 正态分布1.2.2 不确定度的概念及表征参数1.2.3 不确定度的估计1.1 测量及误差1.量、测量和单位量表征现象或实体，对现象或实体作定性区别或定量确定。测量定量获得量值（数值和单位）的过程。需要标准器具或仪器。单位基准（国际单位制）。由基准给出量值单位的真值（或约定真值）。1.1.1测量的基本概念不等精度测量： 在所有的测量条件下，只要有一个发生变化，所

13、进行的测量为不等精度测量。测量等精度测量直接测量(p.5)间接测量(p.5)单次测量多次测量不等精度测量2.测量分类等精度测量： 对某一物理量进行多次测量，且每次测量条件都相同。（如同一观察者，同一组仪器，同一测量方法和同样环境条件下测试等等。） 误差是观测值与真值之差。 上述定义的误差也称绝对误差。1.1.2 测量误差的基本概念 所谓“真值”是指被测量的客观真实值，它是在研究某量时所处的条件下通过完善的测量所得到或确定的量值，或者说是在某一时刻和某一位置或状态下某量的效应体现出的客观值。它通常是未知的，是个理想的概念。事实上，量子效应排除惟一真值的存在。 由于真值是未知的，这就使得用误差来表

14、示测量结果的准确度遇到了困难。 完整地阐述测量结果应包括测量的不确定度。根据误差理论提供的依据，可对测量的不确定度作出估计(pp.5-6)。测量的相对误差R：例：仪器的引用误差（p.7例1）指针式电表的量程为XF，准确度等级为a,则最大示值误差的绝对值为XFa%。若电表的示值为Xk，则相对误差为(XF/Xk)a%。为减小相对误差，使用时应使Xk尽量接近XF。绝对误差与被测量的（真）值a之比:R=/a或/Xk误差分类 误差就其性质和来源分为随机误差和系统误差两大类。 随机误差（p.7，亦称偶然误差）r=Xk-：包括判断误差、实验条件涨落及观测者所不能控制的干扰所引起的误差。其特点为： 测量结果变

15、化不定，其值与真值之差时正时负，时大时小，事实上有无穷多个取值，可以表示为一随机变量X。且分布于某一范围之内，服从于一定的统计规律。随机误差一般具有抵偿性(p.12)，故可把定义为对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值（即其“总体”的均值）。相当多的随机误差还有单峰性，随机误差分布绝大多数是“有界性”的。 这类误差无法避免，也无法直接消除与修正。它对测量结果的影响只能用统计的方法作出估计。 系统误差：包括仪器仪表校准的误差、个人习惯的误差、实验条件及不完善技术所产生的误差。系统误差表现在一系列测量中测量结果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值。系统误差可以通过检查改进实验方法或测量设备引进相应

16、的修正值，使之尽量减少。可在实验前，预见可能产生系统误差的来源，在实验中设法测量之，并在实验后从计算中消去之。说明:上述误差定义把不具有抵偿性的随机误差也归入了系统误差.但这类误差对测量结果的影响也只能用统计的方法作出估计. 还有一类误差，由于外界干扰、实验者的疏忽大意等原因而明显超出规定条件下的预期值，以前称为粗大误差。包含粗大误差的测得值或粗大误差称为异常值（outlier）。测量要避免高度显著的异常值。已被谨慎确定为异常值的个别数据要剔除。 总之，测量结果的误差是由多个随机影响和系统影响引起的。测量误差对测量结果的影响程度叫做测量的准确度。在数值上用“不确定度”表征。 精密度是指重复测量

17、的结果彼此接近的程度。彼此非常接近的，叫高精密度：彼此离散得大的，叫低精密度。因此，精密度描述实验重复性的好坏程度。 正确度是指测量值接近真值的程度。测量的精密度正确度与准确度精密度高正确度高精密度低正确度低精密度低正确度高精密度高正确度低相比较而言：准确度很高 准确度较高 准确度较低 准确度很低 准确度是对测量的系统误差和随机误差的综合评定。通俗地讲，测量的准确度高是指测量数据比较集中在真值附近。 测量结果的准确度在数值上以“不确定度”表征。是评价测量方法优劣的基本指标之一。不确定度的评定方法：统计的方法非统计的方法 注：无论对于随机误差影响还是系统误差影响的评定，都既可以用统计的方法，也可

18、以用非统计的方法。1.1.3 随机误差的统计规律在概率论中，把可以取特定的一组值中的任意值，即取值(所有取值为随机变量的值域)同其概率分布有关的变量称为随机变量。随机误差是一种随机变量。它的统计规律可由分布函数或分布密度给出完整的描述。测量结果是一个随机变量，其准确度如何用“不确定度”表征？1.1.3 随机误差的统计规律1.随机变量的分布函数和分布密度（pp.10-11）所谓分布函数即随机变量 小于或等于某任意实数x的概率，即F（x）称为总体的分布函数。分布函数的导数称为分布密度：而分布函数为分布密度的积分： 分布函数或分布密度给出了随机变量取值的概率分布，是对随机变量统计特征的完整描述。随机

19、变量X在xx+dx范围内取值的概率(当x时F(x)=1)2.随机变量的数字特征（描述总体特征的参数）期望（总体均值）： 总体均值： 若已知F（x）或f（x）则（总体）方差和标准差： 方差： 标准差：协方差和相关系数(p.13)： cov(X1,X2)=E(X1-1)(X2-2)平均误差(已很少用):随机误差绝对值的总体均值（P.13） 例(p.11)：把测量结果看作随机变量X，为其期望（总体均值），则X-的期望E（X-）=-=0 即由r=Xk-所定义的随机误差的数学期望为零。这一性质称为随机误差的抵偿性亦即：在相同条件下对同一物理量进行测量，其误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向零。即其中：

20、随机误差=测量值-期望（总体均值）记作：思考题1.掷一粒骰子，求所得点数的(总体)均值与(总体)方差。2.掷两粒骰子，求所得点数的(总体)均值与(总体)方差。提示：先求出每一点数的概率(频率)，再求出加权平均值(即期望)。*3.掷两粒骰子，令表示第一粒出现的点数，表示其中最大的点数，求二维随机变量（，）的(总体)协方差。提示：先罗列所有(,)的可能值，由此求出、分别取值1，2，3，4，5，6时的概率，再分别求出、的加权平均值(即期望)，最后由式(24)计算协方差。如何求以上各题的样本均值？样本方差？样本协方差？判断以下说法是否正确：(1) 由于正负随机误差 (k=1,2,n)互相抵消，所以当测

21、量次数趋向无限(即n)时，(2) 普朗克常数6.6260689610-34Js的标准不确定度为0.0000003310-34Js所以真值出现在(6.626068960.00000033)10-34Js之间的率为100%。(3) 某一电阻的标称值为3.9，现测得其阻值为3.93，所以测量的绝对误差是0.03。” 方差的传递（p.14）注：实际须用不确定度传递公式！1.1.4 正态分布随机误差的特点若随机变量XN（，2），则（数字特征）E（X）=p.15式(34)2（X）=2 p.15式(35)注意其中的两个参数和2！作变量替换：y=(x-)/2,则类似地：正态分布密度，即 其中， x-为随机误差

22、，f (x) 为随机误差出现的概率密度，曲线下面的面积等于1，即： 作正态分布函数从-到+的积分，即随机误差出现于-，+区间内的概率，可计算得(P.15例3)： 当小时，分布曲线陡峭，表示测量列中小误差出现的几率大，测量的精密度高。当大时，分布曲线平缓，表示该测量列中大误差出现的几率增加，测量的精密度较低，所以是反映测量精密度高低的表征参数。注：若随机变量X在区间a,b取值的概率为P，则称a,b为随机变量X的一个置信区间。正态分布随机变量在区间a,b取值的概率P为在不确定度评定中当k=1时，u=（一倍标准差，对应于标准不确定度）,表示-, (称为置信区间)覆盖真值的置信度为68.3% 。当k=

23、3时，u=3（三倍标准差，对应于扩展不确定度），表示-3, 3覆盖真值的置信度为99.7%。即扩大了置信区间，提高了置信度。一般把出现的概率不大于0.3%定义为仪器的误差限值（也称极限误差）。标准差和极限误差(参见p.15例3)可以计算出正态分布的随机误差出现在-3，+3范围内的概率为99.7%。即误差超过3的概率只有0.3%。在一般有限次测量中几乎是不可能出现的。因此，可以用的倍数标志测量值的可靠性程度，即u=k 。该倍数称为置信系数k。如果给定区间a,b，由分布可求出随机变量（例如X或X-）在这一区间取值的概率P(p.15例3 、p.16例4)如p.15例3：X-出现于、 2、 3之间的概

24、率P1、P2、P3，也是X出现于、 2、 3之间的概率，当样本未选定时，也是包含于随机区间X、 X2、 X3的概率。反过来，如果给定P，也可由分布求得随机变量(例如X或X-)的置信区间a,b 。但由于误差(作为随机变量)的具体数值是未知的，所以实际上总是对总体随机变量中的未知参数，估计其在给定的概率下的置信区间 (这在数理统计学中称为对参数的区间估计)。例如，对于正态分布中的未知参数期望(需先根据样本对其进行估计，即通过选定一个随机样本，确定样本均值，样本均值亦是一随机变量)来说，根据(若未知也需根据样本进行估计)可求得置信区间X、X2、等， 则以一定的概率P1、P2、 包含于这些(随机)区间

25、。但当样本已选定， X、X2、等就不再是随机区间而是确定的区间，这些区间或者包含，或者不包含，此时概率P的意义则是：由不同样本确定的置信区间中覆盖的区间所占百分比为P。因此，根据样本估计出未知参数和的最佳值(不一定知道分布)，就能确定的置信区间(若需确定概率，还须知道分布) 。置信区间(由样本确定)给出了总体均值(当系统误差为零时，总体均值即为真值)可能存在的范围的估计。 。补充思考题1.连掷一粒骰子20次，求所得点数的(样本)均值与(样本)方差。2.每次掷两粒骰子，共掷20次，求所得点数的(样本)均值与(样本)方差。*3.掷两粒骰子，令表示第一粒出现的点数，表示其中最大的点数，取掷20次所得

26、之(，)值的(样本)协方差。测量不确定度： 由于真值是未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度遇到了困难。由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度称为测量的不确定度。 定义：不确定度为表征被测量的真值所在的量值范围的评定，用来表述测量结果与被测量的真值之间的一致程度。1.2.2 不确定度的概念及表征参数1.2 不确定度评定1.2.1不确定度的由来关于表述不确定度的建议书:INC1(1980)测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）反映了测量值(看成随机变量)或随机误差的分散程度，或重复测量各测量值

27、的密集程度(即测量的精密度)。 大，表明误差取值的分散程度大；小，表明误差取值的分散程度小。但须注意，测量值密集（精密度高）并不表示其与真值的接近程度。因为由可确定测量结果这一随机变量的置信区间，所以是测量随机误差的表征参数，与误差值本身不同，可作为表达测量结果不确定度的参数。由于未知，一般可用统计的方法进行估计，即用估计的标准差s作为随机误差引起的不确定度的表征参数。这是估计不确定度的统计方法。但有时也不得不用非统计的方法估计不确定度(如对于某些系统误差)。也是用一个估计的标准差作为误差作用的表征参数，表达测量结果不确定度。这是估计不确定度的非统计方法。不确定度的分量：A类分量：用统计方法计

28、算的分量(用估计的标准差s或uA表示)；B类分量：用其他方法计算的分量（用估计的标准差u或uB表示）。不确定度的合成：由二类分量的方和根方法确定，即： 但需注意：A类、 B类的差别只是评定方法不同， A类与随机误差、 B类与系统误差并不存在简单的对应关系。 其中：si表示A类分量第i个误差因素产生的不确定度，uj表示B类分量第j个误差因素产生的不确定度，合成不确定度仍然是一个标准差。扩展不确定度：U=kuc（k为置信因子） 对于n次测量的测量列 ，测量值与其算术平均值之差可表示为 ，通常称其为残差。其对应的标准偏差为(p.19)： 在实际测量中，由于真值是不可知的，且测量次数也不可能是无限的，

29、通常用n次测量值的算术平均值 （样本均值）作为测量值的期望的最佳估计值。容易证明：1 多次直接测量的不确定度估计（统计方法）当n时， 。也就是说估计的标准差sX能反映有限测量列的离散程度。1.2.3 不确定度的估计算术平均误差定义为(不推荐使用) 显然，随着n的增大，测量列平均值的标准偏差 会越来越小。但是，其减少程度在n大于10后变得缓慢，如图所示。因此，在实际测量中，一般只测10-20次来减小随机误差。 由于 也是随机变量，因而也能求得其方差。可以证明它与测量列的方差的关系是时不服从正态（高斯）分布，而是过渡到t分布(分布密度见p.37)。理论证明，可由t分布提供一个系数因子，简称t因子，

30、用t因子乘上算术平均值的标准偏差来估计测量结果的置信度。测量次数很少时的置信区间的确定（t分布）不同置信度P下的t因子和测量次数n的关系在实验中，当测量次数很少时（例如当n10），总体服从正态分布的随机误差即随机变量 (因此的P=0.683的置信区间为 ) 当随机变量取 如用0.1分度的水银温度计测量水温t为28.30，温度计的误差限为 ， ，则温度表示为： 2 单次测量的不确定度估计（非统计方法）作为测量结果的不确定度的一个分量。U仪称为仪器误差限。在物理实验中，经常遇到一些不能多次测量的量，如测量热敏电阻的电阻温度特性实验中，温度的测量只能是一次性的，相应的电阻测量也只能是一次性的；又如仪

31、器的精度较低，或被测对象稳定，多次测量的结果并不能反映测量结果的随机性，即多次测量已经失去意义。在这些情况下，我们往往把测量值作为该物理量的值，而取(假设)(p.20) 仪器的误差限和灵敏度阈(第一章附录3) 测量仪器（量具仪表和标准器等）都有国家标准规定的准确度等级。依据所用仪器的等级和量程可以计算出仪器的基本误差限或示值误差.例：0-25mm的1级千分尺（螺旋测微器）的误差限为0.004mm；150mA的0.5级的电流表的误差限为0.75mA。仪器的误差限仪器的误差限也称仪器的最大允差或仪器误差 我们称足以使仪器示值可察觉的被测量最小变化值为仪器的灵敏阈值。仪器的灵敏度阈 一般来说，测量仪

32、器的灵敏阈值小于示值误差限，而示值误差限小于最小分度值。例如，一级千份卡的最小分度为0.01mm，示值误差限为0.004，灵敏阈值为0.002或0.001。 例如，有时会出现这样的情况：用精密的0.01秒表对单摆的周期测量时，发现每次测量值都不一样，而用0.1秒等级的秒表测量，多次测量的结果都一样。是不是低精度的仪表测量结果反而好呢？ 显然不是。原因是小于0.1s的时间变化用0.1级的秒表反映不出来。 仪器误差（限）的影响相当于对测量结果给出了一个附加的修正。当此误差界限为对称界限时，修正值的期望为0，但测量结果的（标准）不确定度（即标准差的估计）不为0，而是u仪。测量者的估读误差由估读引起的

33、不确定度分量u估读通常取最小刻度的十分之几。电桥、电位差计：式中S为灵敏度。一般取0.2格。数字仪器：若其指示装置的分辨力为d，则取u估读=0.5d/3。当估读误差较大时，作为一种简化，可以认为例千分尺测量一铜棒的直径d，所得的数据如下表： 千分尺的误差限 ，且有零点误差（恒定系统误差） 。求：测量结果；合成标准不确定度。序号12345678D(mm)22.80022.80922.81422.81522.81222.80822.81022.802解：(1)算术平均值 (2)误差分析：标准偏差千分尺的仪器误差引入的不确定度零位读数的估读误差引入的不确定度合成不确定度 注意，不确定度一般用一位有效

34、数字表示，测量结果的有效数字末位与不确定度末位对齐。测量结果表示：注意：作不确定度评定时，对各分量既不要遗漏，也不要重复。1.2.4 间接测量的标准差 不确定度的传递(p.25)设Y为间接测量量，且有： 仿照方差传递得到不确定度传递公式： 式中当各直接测量量互相独立，公式简化为(p.26)注：若测得值为均值式中的和应该用代入其中进行计算。常用函数（设自变量互相独立）标准偏差的传递公式(p.38)函数表达式标准偏差传递（合成）公式求间接测量标准差的步骤 对函数求全微分，或先取对数再求全微分（对乘除法）； 合并同一分量的系数，从而可以得到最简单形式； 将微分号以标准差或其估计不确定度代替，求平方和

35、(条件:各直接测量量相互独立)，然后再开方。例用流体静力称衡法测量固体的密度，其公式为： 。今测量9次，测得的数据如下，试计算密度。 解： 先计算直接测量量的平均值及其标准偏差 再用物理关系及其不确定度传递公式计算间接测量量及其标准偏差测量结果为1、有效数字的定义 可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的有效数字。2、与有效数字定义有关的几个概念 (1)有效数字位数与小数点和单位无关 用以表示小数点位置的“0”不是有效数字。 (2)当“0”不是表示小数点位置时，为有效数字，因此数据最后零不能随便加上，也不能随便减去。例如：0.02040米中，“2”前面的“0”不是有效数字，而中间和最后

36、的“0”为有效数字，最后的“0”不能省略。1.3 有效数字及测量结果的表示第一位非零数字前的“0”在确定有效位数时无意义，而在第一位非零数字后的“0”在确定有效位数时应计入有效位数。(3)有效数字反映仪器的精度。 读数时，必须读到估读的一位，即最后一位是估读的，是有误差的。例如：1.35cm，其中0.05为估读位。米尺的最小分度值为0.1cm，因此估读位为0.01cm。因而1.35cm很可能是用米尺测量的。而1.3500cm则一定不是用米尺测量的，而是用千分尺测量的。(4)有效数字的科学计数法(浮点书写规则) 将有效数字首位作个位，其余各位均位于小数点后，再乘以10的方幂.例如：25.46cm

37、=254.6mm=2.546105m 有效数字在运算的过程中，会出现很多位数，如果都给予保留，既繁琐又不合理，下面讨论如何合理地确定运算结果的有效数字的位数。 首先要确定几个运算规则：(1)有效数字相互运算后仍为有效数字，既最后一位可疑其它位数均可靠。(2)可疑数与可疑数相互运算后仍为可疑数，但其进位数可视为可靠数。(3)可疑数与可靠数相互运算后仍为可疑数。(4)可靠数与可靠数相互运算后仍为可靠数。3.运算后的有效数字下面讨论如何确定有效数字的运算法则。 在运算中，为了与可靠数字加以区别，可疑数字以红色数字表示。（1）有效数字的加减法则计算10.1+1.551=? 数字11.651的末两位已无

38、意义，根据舍入法则写为11.7。 有效数字经过加减运算后，得数的最后一位数应该与参与运算的诸数中可疑位数最高的位数一致。10.1+ 1.55111.651（2）有效数字的乘除运算法则计算12.3851.1=?93.50512=?舍入后13.6235变为14，所以12.3851.1=14。所以93.50512=7.8。 有效数字经过乘除运算后，得数的有效数字的位数与参与运算的各数中有效数字位数最少那个数的有效数字位数相同。12.3851.11.238512.38513.623593.504127.79284951108410824240（3）乘方、开方的有效数字运算后的有效数字位数与底数的有效数

39、字相同。（4）三角函数、对数的有效数字运算法则 可采用不确定度传递公式，先决定不确定度的有效位数，再将测量结果与不确定度的位数对齐。例如：求cos(7o26 1)的数值。解：由不确定度传递公式可得cos7o26的不确定度公式 s=（sin7o26）s (1)这里角度为直接测量量，其测量量具为角游标尺，其最小分度值为1。所以 s=1=(1/60)o=(1/60)(/180)(2) 将（2）代入（1）得s=（sin7o26）(1/60)(/180)=0.00004所以，cos(7o26 1) =0.99198 0.00004 。（5）特殊数的有效数字位数 参与运算的准确数字或常数，比如2，e等的有

40、效数字的位数可以认为有无限位。（6）有效数字截尾的舍入规则 大家通常熟悉四舍五入。4.测量结果的最终表达式 不确定度只取一位或二位有效数字，测量值的有效数字是到不确定度末位为止，即测量结果的有效数字的末位和不确定度末位对齐。例如g=(979.41.8)cm/s2 。 根据实验后计算的不确定度来确定被测量值的有效数字是正确决定有效数字的根本依据。必须强调指出：四则运算的位数定则仅仅是一种粗略的方法，常常与评定了不确定度后的结果有偏差，所以，由不确定度决定测量结果最终表达式中的有效位数才是根本的方法。对于所表达的测量结果，必要时，还要写出对测量结果有作用的影响量的值。练习题1.对一长度测量10次数

41、据为1.58，1.57，1.55，1.56，1.59，1.56，1.55，1.54，1.57，1.57，试求其标准偏差和算术平均值的标准偏差，并应用正确的表达式予以表示。练习题 2.计算以下各式的结果及其误差（指标准差）：(1)y = A + 2B + C - 2D，其中 A = (38.206 0.001)cm， B = (13.2487 0.0001)cm， C = (161.25 0.01)cm， D = 1.3242cm。(2)三角形边a = (10.000.01)cm，b = (15.000.02)cm，夹角： = 30.00.5。由其面积公式 ，求S及其误差（指标准差） 。练习题

42、3.写出下列各函数的标准差传递公式（1）圆柱体的体积：（2）密度测量：（3）转动惯量：（4）金属线的原始长度： 1、列表法 把数据按一定的规律列成表格，可以使物理量之间的一一对应关系简明，醒目，也有助于发现其间的规律，比如递增或递减。 列表法要点：(1)表格设计力求合理、简明、便于观察。(2)各栏目中的物理量均应标注其名称和单位。(3)各量排列顺序尽量与测量顺序一致，以便寻规律。 1.4 列表、作图与组合测量与最佳直线参数2、作图法 作图是指将自变测量量作为横坐标，因变测量量作为纵坐标在坐标纸上一一找出对应点，称为实验点，再把这些实验点连成曲线，从而发现两个测量量之间的关系。坐标纸分为方格纸、

43、单对数纸、双对数纸、概率纸等多种，使用时，可根据需要选择。 统一用25 X 20毫米方格纸 例设用一实验方法测出Y与X对应数据如下表，试用作图法求其经验公式。 从数据表上看出Y对均匀变化的X较为均匀地变化，所以可估计X-Y曲线为直线，令Y=aX+b，如图可求得a=0.040，b=1.5。 所以经验公式为Y=0.040X+1.5 某些函数关系是非线性关系，图线常常不易画，而且也难判断实验结果的特点，但若能通过某些坐标的变换来处理，就可以把曲线变换成直线，从而获得许多好处。 例在热敏电阻温度测量实验中，所得实验数据记录如下表： 在转换测量中，常将被测量量经某种方法转换为另一种物理量显示，于是利用读

44、出的量与被测量之间的固定关系，由读出的量找出相应的被测量值。作变换用lnR1/T作图，且用单对数坐标作出，就变为一条直线。从图中求出斜率，即可得到与的关系。但从图上却得不到。 例在热敏电阻温度测量实验中，所得实验数据记录如下表：关于图像上实际点的描绘的提示（）对观测值的分布有一定了解（获得必要的数据）后才描点，原点不一定取（，）；为避免点子密集在一块，选择适当单位尺度使图像与坐标轴所成的实际斜度（不一定是斜率）在度至度之间。（）用小点在图纸上标定各点的正确位置，并用小圆圈圈上各点。除校正曲线外，实验点应对称分布于直线（曲线）两侧。（）标明坐标轴并沿着坐标轴标明数字和测量单位。（）给出图像的标题

45、。（）如需要从图上读取数值进行计算时，应在图上用记号标出读数的点，标明该点坐标值（标出正确的有效数字位数）。若欲求斜率，应在图上取较远的两点，而不应取相邻点或实验点。（）最后在图纸的空白处写上制作者和制作日期。实验数据列表如下： 作图举例：伏安法测电阻I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00B(7.00,18.58)A(1.00,2.76)由图上A、B两点可得被测电阻R为：电阻伏安特性曲线作者：xx不当图例展示：n(nm)1.650050

46、0.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：图2I (mA)U (V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分

47、度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。I (mA)U (V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：计算机作图的例子（ORIGIN）3、 最小二乘法(pp.33-35)在直接测量与间接测量中,测量目的只有一个,而当测量目的有数个时,则需要通过组合测量解联立方程式，求得被测量的值。实验中，经常遇到二物理量x、间存在b0线性关系的情况，b0、为此线性函数的参数，测出若干组x、值同时求出未知参数b0、的过程，是最简单的

48、组合测量(如热敏电阻温度测量)。设拟合的最佳直线形式：实际测量值 与回归值 之差为:为使则有求和的最佳值yi与y偏差平方和为：忽略i的测量误差解得：其中：b0和的标准偏差：其中 附：物理实验常用仪器的有关知识游标卡尺螺旋测微器秒表电表电阻箱电源磁电式仪表数字式仪表1.游标卡尺外径量爪内径量爪深度量尺游标主尺固定螺钉数显游标卡尺校零电源开关公制英制转换 为了提高米尺的测量精度，通常在米尺（主尺）上附带一个可以沿尺身移动的小尺（游标）。游标上的分度值x与主尺分度值y之间有一定关系，一般使游标上p个分度格的长度与主尺上（p1）个分度格的长度相等，即使得 p X（p1）y 主尺与游标上每个最小分格之差

49、为：=y-x=y/p 差值称为游标尺的精度，它表示了游标尺能读准的最小值，也就是游标的最小分度值。 常用的游标 =0.1mm =0.05mm=0.02mm=游标尺的准确度，即仪器的误差限1卡尺的指示值为37.02测量结果：用误差限表达：D=(37.020.02)mm用不确定度表达： D=(37.020.02)mm测量结果：d=(3.100.02)mm卡尺的指示值为3.1测量结果：用误差限表达： D=(指示值仪)mm用不确定度表达：D=(指示值仪/3)mm卡尺的指示值为3.102.螺旋测微器尺架锁紧装置测砧微动螺杆固定套筒微分套筒棘轮旋柄纠正零点误差：0.005mm指示值：0.465mm刻度间的

50、估读方法：1/2估读，1/5估读，1/10估读细丝直径的测量值：0.460mm3. 秒表启动，停止按钮日期时间，秒表按钮照明，清零按钮仪器误差：仪=0.01s/3=0.0058s人操作所产生的测量误差：0.2s测量结果t=（12.80.2）s参见例94. 电表 电测仪表的种类很多，根据结构原理不同，分磁电系仪表、电磁系仪表、电动系仪表等，其用途各不相同。 在物理实验室中常用的绝大多数电表是磁电系仪表。它不但可直接用于对直流电参量的测量，而且与附加整流器结合用来测量交流电参量，或加上换能器，还可以对非电量进行电测。 当动圈中有电流通过时，动圈与磁场相互作用，产生一定大小的磁力矩，使线圈发生偏转。

51、与此同时，与动圈固定在一起的游丝因动圈偏转而发生形变，产生恢复力矩，且随动圈的偏转角的增加而增大。当恢复力矩增加到与磁力矩相等时，动圈则停止运动，与动圈固定在一起的仪表指针在标度尺上指示出测量数值来。 磁电系仪表是利用永久磁铁的磁场和载流线圈的相互作用的原理制成的。其内部结构如上左图所示。1为强磁力的永久磁铁；2是接在永久磁铁两端的半圆形“极掌”；3是圆柱形铁心，它与两极掌间形成较小的气隙，以便减小磁阻，增强磁感应强度，并使磁场形成均匀的辐射状，如上右图所示；4是处于气隙中的活动线圈（简称动圈），它是在一个铝框上用很细的绝缘铜线绕制成的；5是装在转轴上的指针；6是产生反作用力矩的两个螺旋方向相

52、反的“游丝”，“游丝”的一端固定在仪表内部的支架上，另一端固定在转轴上，并兼作电流的引线；7是固定在动圈两端的“半轴”，其轴尖支持在宝石轴承里，可以自由转动。式中D是游丝的弹性恢复系数，它的大小与游丝材料的性质和尺寸有关。当磁力矩与弹性恢复力矩达到平衡时，即 M =Mm ，可得若线圈偏转的角度为，则游丝产生的恢复力矩为M，它与偏转角度成正比，故这里系数K的大小仅与电表的结构有关。故上式表明在电表结构确定的情况下，线圈的偏转角度与线圈通过的电流强度成正比。由此可见，磁电系仪表的标度尺的刻度是均匀的。系数K在数值上等于线圈中通以单位电流所引起的偏转角度值，故称K为电表的灵敏度。 设I为通入动圈中的电流强度，N为动圈的匝数，S为动圈的截面积，B为气隙中的磁感应强度，则动圈所受的电磁力矩为名称符号名称符号指示测量仪表的一般符号（举例）负端钮-检流计正端钮+安培表A公共端钮*毫安表mA接地端钮