基于冗余偏好关系的决策方法探讨

1、PAGE PAGE 9科研项目：国家杰出青年科学基金（70525004）；国家自然科学基金（70121001，70471035） 基于广义Fuzzy偏好关系的决策方法探讨董玉成11，徐寅寅峰1,2（1.西西安交通通大学管管理学院院； 22.机械械制造系系统工程程国家重重点实验验室）摘要：本本文提出出了广义义模糊偏偏好关系系的概念念。设计计了互补补化排序序和加性性一致化化排序两两种排序序方法，讨论了了两种排排序方法法的相关关性质。基于这这两种排排序方法法，定义义了冗余余一致性性指标和和加性一一致性指指标，并并讨论了了采用加加权算术术平均算算子（算算子）或或有序加加权平均均算子（算子）对广义义模糊

2、偏偏好关系系进行集集结，其其群体偏偏好一致致性（包包括冗余余一致性性和加性性一致性性）的相相关性质质。本文文结果对对进一步步完善基基于模糊糊偏好关关系的群群决策模模型具有有理论和和现实意意义。关键词：广义模模糊偏好好关系；排序方方法；冗冗余一致致；加性性一致；信息集集成算子子中图分类类号：CC9344 文献标标识码：AStuddy oon ddeciisioon mmakinngusinng ggeneerallizeed ffuzzzy preffereencee relaatioonsAbsttracct: Thhis papper firrst inttrodducees tthe co

3、nnceppt oof ggeneerallizeed ffuzzzy ppreffereencee reelattionns aand dessignns ttwo metthodds tto oobtaain thee prriorritiies vecctorr frrom theem. Moreeoveer, we disscusssdeesirred prooperrtiees oon tthesse ttwo priioriity metthodds. At lasst, we givve ssomee reesullts on reddunddanccy cconssistten

4、ccy aand addditiive connsisstenncy of thee coolleectiive preeferrencce rrelaatioon aaggrregaatedd byy weeighhtedd avveraaginng ooperratoor oor oordeeredd weeighhtedd avveraaginng ooperratoor. Theese ressultts aare verry iimpoortaant forr GDDM wwithh fuuzzyy prrefeerennce rellatiionss.Keywwordds: gen

5、neraalizzed fuzzzy preeferrencce rrelaatioons; prriorrityy meethood; reddunddanccy cconssisttenccy;aaddiitivve cconssisttenccy; infformmatiion agggreggatiion opeerattor.1 引言言偏好关系系又称判判断矩阵阵，在多多属性决决策中被被广泛研研究。模模糊互补补偏好关关系是最最常见的的偏好关关系11-8。当决策策者在某某准则下下对个方方案进行行两两比比较构造造一个典典型的模模糊互补补偏好关关系时，一般需需要经过过次判断断。然而而决策者者

6、有时可可能对某某些比较较判断缺缺少把握握或不想想发表意意见，这这样就会会使偏好好关系中中的某些些项出现现空缺，对这类类偏好关关系一般般称为残残缺互补补偏好关关系88-9。另一一方面，决策者者也可能能作出多多达次比比较判断断，这样样就出现现了冗余余判断，使模糊糊互补偏偏好关系系失去互互补性,我们称称这种偏偏好关系系为广义义模糊偏偏好关系系。这一一新概念念引入是是基于如如下理由由：1）有些些学者10-11在AHHP的研研究中，认为放放弃乘性性偏好关关系的互互反性是是合理的的，比如如在一场场球赛中中，球队队击败了了球队，但是球球队同样样可以击击败了球球队，这这种情形形在现实实生活中中的成对对比较判判

7、断里很很常见。这些研研究和分分析也完完全适合合模糊互互补偏好好关系，它为我我们引入入广义模模糊偏好好关系提提供了理理论支持持。2）在采采用一些些最常见见信息集集成算子子对模糊糊互补偏偏好关系系进行集集成时，无法保保证集成成的群体体偏好关关系的互互补性。比如采采用有序序加权平平均算子子（）122对模模糊互补补偏好关关系进行行集成后后，无法法保证集集成的群群体偏好好关系是是互补的的133。因因此，讨讨论从广广义模糊糊偏好关关系中发发展权向向量就有有了必要要性，而而这些排排序方法法也能应应用于CChicclanna等提提出的模模糊多人人决策模模型113-116。本文的主主要目的的是对基基于广义义模糊

8、偏偏好关系系的决策策方法进进行探讨讨。文章章给出了了广义模模糊偏好好关系排排序的两两种方法法；定义义了广义义模糊偏偏好关系系的冗余余一致性性和加性性一致性性，并研研究采用用加权算算术平均均算子（）或有有序加权权平均算算子（）对广义义模糊偏偏好关系系进行集集成，其其群体偏偏好一致致性（包包括冗余余一致性性和加性性一致性性）的相相关性质质。本文文研究对对进一步步完善基基于模糊糊偏好关关系的群群决策模模型具有有理论和和现实意意义。2 广义义模糊偏偏好关系系排序方方法2.1 广义模模糊偏好好关系的的互补化化排序为了叙述述方便先先给出几几个定义义：定义 11 令 是是一矩阵阵，若对对任意有有，则称称为模

9、糊糊矩阵17。本文文定义为为广义模模糊偏好好关系。定义 226，7令令 是一一矩阵，若对任任意有，则称称为模糊糊互补偏偏好关系系(或称称为互补补模糊偏偏好关系系)。令是阶广广义模糊糊偏好关关系集合合，是阶模糊糊互补偏偏好关系系集合，由定义义知。为为了通过过广义模模糊偏好好关系对对方案进进行排序序，从中中发展权权向量，一个直直观的方方法是采采用模糊糊互补偏偏好关系系去贴近近广义模模糊偏好好关系，然后借借助有关关模糊互互补偏好好关系的的排序方方法66-8，最终终获取权权向量。本文采采用欧氏氏距离定定义两矩矩阵和的贴近近程度，即：。那么这这种方法法可归纳纳为寻找找一最贴贴近的模模糊互补补偏好关关系。

10、数数学模型型如下：设，。令 （11）其中，即即为最贴贴近模糊糊互补偏偏好关系系。通过过模糊互互补偏好好关系的的排序方方法66-8（本文文采用最最小方差差法，具具体见文文献77）对进行排排序，其其排序向向量可以以近似作作为的排排序向量量。定理 11 设，为最贴近近模糊互互补偏好好关系，那么。证明：（1）等等价如下下优化问问题 （2）（2）等等价于（3） （33）令得 ，化简简得 （44）令，令为为采用最最小方差差法排序序公式7对对进行排排序的权权向量，那么 （5）把（4）代入（5）得得 （66）把近似作作为的排排序权向向量，我我们称该该排序方方法为广广义模糊糊偏好关关系互补补化排序序。2.2广广

11、义模糊糊偏好关关系的加加性一致致化排序序定义 33 令令是一模模糊互补补偏好关关系，若若对任意意有，则称A是加性性一致模模糊互补补偏好关关系。令是阶加加性一致致模糊互互补偏好好关系集集合，由由定义知知。在这这一节，我们考考虑通过过寻找一一个最贴贴近广义义模糊偏偏好关系系的加性性一致模模糊互补补偏好关关系，从从而直接接获取权权向量。数学模型型如下：设，令 （77）称为的最最贴近加加性一致致模糊互互补偏好好关系。令，记记为对应的的权向量量。因为为是模糊糊加性一一致偏好好关系，我们有有6-8 （88）由（8）代入（7）有有 （9） 称称为的排序序向量。定理 22设。为的最贴贴近模糊糊互补偏偏好关系系

12、，为采采用加性性一致化化排序方方法获取取的权向向量。那那么，。证明：（9）等等价如下下优化问问题 （110）构造拉格格朗日函函数，令令，得 （111） （112）联立（111）（12）得 （13）联立（88）（113）得得 （144）3进一步步讨论3.1 两种排排序方法法的相关关性质一种广义义模糊偏偏好关系系的排序序方法可可以看作作由到的一个个映射, 记为为。并称是广义模模糊偏好好关系的的排序向向量。下下面讨论论两种排排序方法法的一些些性质。定理 33 当当是模糊互互补偏好好关系（即）时时，本文文两种排排序方法法（公式式（6）和公式式（133）等等价于模模糊互补补偏好关关系排序序的最小小方差法

13、法。证明：因因为，所所以 ，把这这两式分分别代入入（6）和（113），都可得得，这即即为模糊糊互补偏偏好关系系的最小小方差法法排序公公式。得得证。定理3显显示本文文两种排排序方法法是广义义最小方方差排序序法。定义 44 一种种排序方方法称为为强条件件下保序序的，如如果对任任意，有有和，则, 且当前前者所有有等式成成立时, 有。定义4 推广了了模糊互互补偏好好关系强强条件保保序的概概念。定定理4将将证明两两种排序序方法是是强条件件保序的的。定理 44 广义义模糊偏偏好关系系互补化化排序方方法（公公式（66）和和加性一一致化排排序方法法（公式式（133）是是强条件件下保序序的。证明：对对任意，有和

14、，将其其代入（6）或或者（113），有, 且当前前者所有有等式成成立时, 有。所以以得证。类似模糊糊互补偏偏好关系系，定义义广义模模糊偏好好关系排排序方法法的置换换不变性性。定义 55 设是一种种排序方方法，是任一一个给定定的广义义模糊偏偏好关系系，记的排排序权向向量为。如果对对于任一一置换不不变矩阵阵,均有，则称这这种排序序方法是是置换不不变的。定理 55广义模模糊偏好好关系互互补化排排序（公公式（66）和和加性一一致化排排序（公公式（113）是置换换不变的的。证明：设设，且设设是置换换不变矩矩阵，。令，分别是是A 和B 在公式（6）下下的排序序向量, 经置置换后, 的第第行成了了的第行,的

15、第列成成了的第第列, 因此此类似若，分别是是和在公式（9）下下的排序序向量，则有所以两种种排序方方法具有有置换不不变性。3.2群群决策与与一致性性偏好关系系一致性性测量一一般包括括两个问问题33：（1）什什么时候候决策者者提供的的个体偏偏好关系系是一致致的；（2）什什么时候候，一群群人提供供的偏好好关系是是一致的的。对于于第（22）个问问题一般般讨论两两个方面面：（aa）群体体偏好关关系的一一致性13, 188-199；（b）群群体决策策的共识识测量 200。基基于本文文两种排排序方法法，我们们给出广广义模糊糊偏好关关系的冗冗余一致致性指标标和加性性一致性性指标（）（见见定义66）。基基于这些

16、些一致性性指标，集中讨讨论一致致性测量量的第（2）个个问题的的第（aa）方面面（注：广义模模糊偏好好关系一一致性测测量的其其它相关关问题我我们在今今后的研研究中讨讨论），即采用用算子和和算子对对广义模模糊偏好好关系进进行群集集成后群群体偏好好关系的的一致性性问题。关于无无冗余判判断的乘乘性偏好好关系和和模糊互互补偏好好关系的的群体一一致性问问题，文文献113，118-119作作过一些些讨论，本节研研究可以以认为是是这些讨讨论的继继续。定义 66设。定义为的冗余一一致性指指标。定定义为的加性一一致性指指标。由互补化化排序方方法原理理（公式式（4）可知知 （115）由加性一一致化排排序方法法原理（

17、公式（14）可知知 （16）显然越大大，则中中冗余判判断越多多，当，则认认为是冗余一一致的（即是模模糊互补补偏好关关系）。同样越越大，则则加性一一致性越越差，当，则认认为是加性一一致的（即是加加性一致致模糊互互补偏好好关系）。可以以分别为为和设定临临界值和和。当则认认为广义义模糊偏偏好关系系是冗余一一致可接接受；当当可认为为是加性一一致可接接受。当当和同时成成立，则则认为是是一致可可接受，此时从从中发展展的权向向量才认认为是可可靠和有有效的。对临界界值的设设定，AAHP的的一致性性检验可可以给我我们启示示： (1)类类似Saaatyy211在AAHP中中使用的的方法，通过使使用平均均随机一一致

18、性指指标对一一致性指指标标准准化，然然后经验验性的去去设定临临界值；(2) 也可可类似采采用P.Jonng 22 的统统计方法法，把临临界值设设定归结结为卡方方检验。限于本本文篇幅幅，作者者在今后后研究中中详细讨论论该问题题。用算子进进行群决决策设为决策策者给出出的个广义模模糊偏好好关系。采用加加权算术术平均算算子（算算子）对对进行集集成，得得到群体体模糊偏偏好关系系记为。其其中，为专家家的权重重且。定理 66设。（aa）若，那么；（b）若，那么么。证明：我我们仅证证明（aa）。（b）可可以完全全类似证证明，限限于篇幅幅省略。因为，所以 （17）（18）联立（117）和和（188）得 （119

19、）从定理66可得：采用算算子进行行集成，若个体体广义模模糊偏好好关系的的一致性性水平（包括冗冗余一致致性和加加性一致致性）都都是可接接受的，那么群群体偏好好必然是是一致可可接受的的。（2）用用算子进进行群决决策采用有序序加权算算术平均均算子（算子）对进行行集成，得到群群体广义义模糊偏偏好关系系记为。其其中，且且为中第大的的元素。为 算子子相关联联的加权权向量，其中。定义 77 设是一组组广义模模糊偏好好关系，定义为为其第次次序广义义模糊偏偏好关系系。定理 77设。（aa）若，那么；（b）若，那么么。证明：由由定理66和定义义7可直直接得证证。从定理77可知：采用算算子进行行集成，若次序序广义模

20、模糊偏好好关系的的一致性性水平（包括冗冗余一致致性和加加性一致致性）都都是可接接受的，那么群群体偏好好必然是是一致可可接受的的。4 算例例为了叙述述方便，记，为采用用本文第第一种排排序方法法（公式式6）和和第二种种排序方方法（公公式133）从广广义模糊糊偏好关关系中获获取的权权向量。记, 为的冗余一一致性指指标和加加性一致致性指标标的值。现考虑虑有两个个决策者者对四个个方案进进行评估估，分别别给出自自己的广广义模糊糊偏好关关系。按照本文文方法计计算出，的值，具体如如下。,，, , , 如按算子子对进行行集成，加权向向量设为为，得到到群体偏偏好关系系为。并并计算出出，。可以以看出，这与与定理66

21、相符合合。，如按算子子对进行行集成，加权向向量不妨妨设为，得到群群体偏好好关系为为。为的次序序广义模模糊偏好好关系。并计算算出，的值。可以看看出，这与与定理77相符合合。，5 结论论本文主要要做了如如下工作作：（11）提出出了广义义模糊偏偏好关系系的概念念，并设设计了互互补化排排序和加加性一致致化排序序两种排排序方法法；（22）讨论论了两种种排序方方法的一一些相关关性质；（3）给出了了冗余一一致性指指标和加加性一致致性指标标的公式式，并讨讨论了采采用加权权算术平平均算子子（算子子）和有有序加权权平均算算子（算算子）对对广义模模糊偏好好关系进进行集结结，其群群体偏好好一致性性（包括括冗余一一致性

22、和和加性一一致性）的一些些性质。本文结结果对完完善基于于模糊偏偏好关系系的群决决策模型型具有理理论和现现实意义义。在今今后的研研究中，我们将将进一步步探讨这这些问题题。参考文献献1 Orllorsski S AA. DDeciisioon-mmakiing witth aa fuuzzyy prrefeerennce rellatiion J. FFuzzzy SSetss annd SSysttemss, 33(19978) 1555-1167.2 Tanninoo T. Fuuzzyy prrefeerennce ordderiingss inn grroupp deecissionn m

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