不等式的证明方法及其推广

1、 几个著著名不等等式的推推广及应应用3.1关于于绝对值值不等式式1441163111三角形形不等式式三角不等式式定理：3122三角形形不等式式的变形形（1）设则则有，即即（2），特特别地，当当时容易易给出不不等式的的几何解解释。当时，不等等式表示示直角三三角形两两直角边边之和大大于它的的斜边： 。当时，不等等式表示示以线段段为棱长长作成的的长方体体，它的的对角线线的长小小于这些些线段的的长的和和： （3）（4）（5）设AA，B，CC为平面面上任意意三点，坐坐标分别别为，则则由及距距离公式式得： 通常也称之之为平面面三角不不等式。32平均均值不等等式1163211算术平平均数与与几何平平均数（1

2、）我们们知道两两个正数数的算术术平均数数大于等等于它们们的几何何平均数数，即，对对于三个个正数的的算术平平均数与与它们的的几何平平均数的的关系，也也曾作为为探究性性问题提提出过。你你有没有有认真考考虑过：对于三三个正数数、四个个正数、甚至n个正数，都有类似的结果出现呢？下面我们就来研究这个问题。例：设为正正数。证证明。（说明：该该问题我我们曾采采用比较较法解决决过，为为让同学学们加深深对该不不等式的的认识和和理解，此此处换一一个角度度来考虑虑。）证明：同理，三式相加得得，。又 所以于是结论成成立。当当且仅当当时，等等号成立立。在上例中，将将换成得到到。即三三个正数数的算术术平均数数大于等等于它

3、们们的几何何平均数数。更一般地，可可以证明明n个正数数的算术术平均数数大于等等于它们们的几何何平均数数。即 设为个实数数，则有有，即几几何平均均值不超超过算术术平均值值。当且且仅当这这n个数相相等时，等等号成立立。这就就是关于于n个正数数的算术术平均数数与几何何平均数数的著名名不等式式，通常常称为平平均不等等式。它它有相当当广泛的的应用。（2）命题题：若皆皆为正数数，且=1，则则，并且且式中的的等号当当且仅当当时成立立。3222几个平平均数的的关系平均的概念念，在人人们的日日常生活活和生产产实践中中是经常常遇到的的。除了了上述谈谈到的算算术平均均数和几几何平均均数之外外，还常常会用到到另外两两

4、种平均均数，即即平方平平均数和和调和平平均数。设为正数，则则这个数数的平方方和的算算术平均均数的算算术平方方根为 .称为这个数数的平方方平均数数。平方方平均数数在概率率统计及及误差分分析中有有着重要要的作用用。而个正数的的倒数的的算术平平均数的的倒数为为.称为这个数数的调和和平均数数。调和和平均数数在物理理学中的的光学及及电路分分析中有有着较多多的应用用。通常又记则,四个个平均数数的关系系为：。其中等号当当且仅当当时成立立。注：这是一一组十分分重要的的不等式式，应用用很广。在在解决初初等极值值问题中中，也提提供了一一种重要要方法。在在应用不不等式求求极值时时，必须须考虑不不等式中中等号成成立的

5、条条件，因因为极值值一般正正是在等等号成立立的时候候达到。为为了便于于以后应应用，我我们把上上述不等等式改写写成便于于求极值值的形式式。3.2.33平均值值不等式式的应用用例44：已已知，求求证：。证明：由知知同理：相加得：33贝努努利（BBernnoullli）不不等式163.3.11贝努利利（Beernooullli）不不等式定定理：设，则不等等式成立立。3.3.22贝努利利（Beernooullli）不不等式的的应用：例：设。证证明不等等式：等号当且仅仅当时成成立。证明：=即34排序序不等式式7166先来看一个个问题：设有110个人人各拿一一只水桶桶去接水水，若水水龙头注注满第个个人的水

6、水桶需要要分钟，且且这些各各不相同同。那么么，只有有一个水水龙头时时，应如如何安排排10个个人接水水的顺序序，才能能使它们们等待的的总时间间最少？这个最最少的总总时间等等于多少少？解决这一问问题，就就需要用用到排序序不等式式的有关关内容。在在没有找找到合理理的解决决办法之之前，同同学们可可以猜测测一下，怎怎样安排排才是最最优的接接水顺序序？为了了解决这这一问题题，先来来了解排排序不等等式。一般地，设设有两组组正数与与，且，。 若若将两组组中的数数一对一一相乘后后再相加加，则其其和同序序时最大大，倒序序时最小小。即：其中是的任任一个排排列，等等号当且且仅当或或时成立立。以上上排序不不等式也也可简

7、记记为：反反序和乱乱序和同同序和注：这个不不等式在在不等式式证明中中占有重重要地位位，它使使不少困困难问题题迎刃而而解。例：请思考考：怎样样用排序序不等式式解决上上述最优优接水问问题？解：设是不不同于的的一个排排列。若若第一个个接水的的人拿的的是需要要分钟才才能注满满的水桶桶，则接接这桶水水10人人共需等等待100分钟；第二个个接水的的人拿的的是需要要分钟才才能注满满的水桶桶，则接接这桶水水9人共共需等待待9分钟钟；如此继继续下去去，到第第10人人接水时时，只有有它一人人在等，需需要分钟钟。按这这样的顺顺序，110人都都接满水水所需总总时间为为10+9+2+不访设 ，而而，由排排序不等等式得这

8、就是说，按按水桶的的大小由由小到大大依次接接水，110人等等待的总总时间最最少，这这个最少少的时间间就是。例47 、求求证：。证明：因为为有序，所所以根据据排序不不等式同同序和最最大，即即。35柯西西不等式式5177柯西不等式式是一个个非常重重要不等等式，它它在数学学和物理理方面，尤尤其是在在解决不不等式证证明的有有关问题题中有着着十分广广泛的应应用。与与柯西不不等式有有关的竞竞赛题也也频频出出现，这这充分显显示了它它在不等等式中的的独特地地位。3511柯西不不等式的的几种不不同的表表达形式式（1） （向量量形式）（2）任给给；当且且仅当时时等号成成立。 （代数数形式） 一般地，对对于实数数,

9、i=1,2,n,有；当且且仅当= = = 等号成成立。 （推推广形式式）（3） （几何何形式）下面我们一一起来进进一步感感受柯西西不等式式的和谐谐统一性性，从不不同角度度体验它它的协调调一致性性。3522柯西不不等式的的推广（下下面出现现的都表表示实数数）（1），则则（2）（3）3533由柯西西不等式式导出的的几个著著名不等等式(1)设AA，B，CC为平面面上任意意三点，坐坐标分别别为，则则由及距距离公式式得 通常也称之之为平面面三角不不等式。如果将推广广1推广广到一般般的形式式，则得得到：(2)（闵闵可夫斯斯基不等等式）设设是实数数，则(3)（赫赫尔德（HHoldder）不不等式）已已知是个

10、实数数，则则(4)（赫赫尔德不不等式一一个极好好的变式式）设或或，则有有，当且且仅当时时等号成成立。(5)设则则。 将推广广4不等等式中的的个正数数排成行列矩阵阵：则推广4可可叙述为为一个矩矩阵各行行元素的的乘积之之和的次次幂不超超过其各各列元素素的次幂幂之和的的乘积。注：以上所所介绍的的柯西不不等式的的推广都都有着极极为广泛泛的应用用，特别别是后三三个推广广之间有有着密切切的联系系。应用用推广的的柯西不不等式，许许多不等等式的证证明问题题就能够够轻而易易举的解解决，并并且某些些特殊结结论的不不等式，也也能够很很自然地地推广到到一般性性的结论论。3544柯西不不等式的的特殊化化1、二维形形式中

11、取取，得。2、维形式式中取；则有。3、维形式式中取，则则有。取，有。我们从中可可进一步步观察体体验柯西西不等式式所蕴含含的形式式上的对对称美，简简洁美及及和谐性性。3555柯西不不等式的的应用1、柯西不不等式在在几何上上的应用用例1：用柯柯西不等等式证明明点到平平面的距距离：已已知平面面为，求求证点到到平面的的距离为为。证明：设为为平面上上任意一一点，有有，且构造造两数组组和；由柯柯西不等等式得：于是有当且仅当时时，等号号成立。由由垂线段段最短可可知。同理令再利利用柯西西不等式式可得点点到直线线的距离离为。2、柯西不不等式在在代数上上的应用用（求最最值）例2：已知知正数满满足，且且不等式式恒成

12、立立，求的的取值范范围。证明：由二二元均值值不等式式和柯西西不等式式得： 故参数的取取值范围围是。3.6闵可可夫斯基基不等式式155116设是两组正正数，则则或 当且仅当时时等号成成立。闵可夫斯基基不等式式是用某某种长度度度量下下的三角角形不等等式的推推广，当当时得到到平面上上的三角角形不等等式：上图给出了了对上式式的一个个直观理理解。若记，则上上式为3.7赫尔尔德不等等式5511517赫尔德（HHoldder）不不等式是是数学分分析的一一条不等等式，取取名自奥奥图.赫赫尔德（Ottto Hollderr）3.7.11赫尔德德（Hollderr）不等式式已知是个实实数，则则上式中若令令，则此赫

13、赫尔德不不等式即即为柯西西不等式式。3.7.22赫尔德德（Hooldeer）不不等式的的推广设：，,则则有：。等号成立立当且仅仅当3.8契比比雪夫不不等式153.8.11契比雪雪夫不等等式的表表达形式式若，则；当且仅当当时等号号成立。下面给出一一个时的契比比雪夫不不等式的的直观理理解。如图，矩形形中，显显然阴影影部分的的矩形的的面积之之和不小小于空白白部分的的矩形的的面积之之和，（这这可沿图图中线段段MN向上上翻折比比较即知知）。于于是有也即。3.8.22契比雪雪夫不等等式的应应用例：设全是是正数，且且（，），且且，求证：（1）；（2）。证明：不妨妨设，于于是，。由切比比雪夫不不等式得得（*）

14、又由均值不不等式知知；又，所所以，而，代入入（*）后整整理可得得（1）成立立。另一方面，。由切比比雪夫不不等式得得。（*）由均值不等等式：，故。又，代入（*）整理后可得（2）成立。3.9琴生生不等式式1553.9.11琴生不不等式首先来了解解凸函数数的定义义:一般的，设设f(x)是定定义在(a,b)内的的函数如如果对于于定义域域内的任任意两数数都有则称称f(x)是(a,b)内的的下凸函函数，一一般说的的凸函数数，也就就是下凸凸函数，例例如，从从图像上上即可看看出是下下凸函数数，也不不难证明明其满足足上述不不等式。如如果对于于某一函函数上述述不等式式的等号号总是不不能成立立，则称称此函数数为严格

15、格凸函数数。注：凸函数数的定义义为我们们提供了了极为方方便地证证明一个个函数为为凸函数数的方法法。这个个方法经经常使用用。此外外利用二二阶求导导也可以以判断一一个函数数为凸函函数，凸凸函数的的二阶导导数是非非负数。琴生不等式式的定义义：设是是内的凸函函数，则则对于内内任意的的几个实实数有当且仅仅当时等号成成立。琴生不等式式是丹麦麦数学家家琴生于于19005年到到19006年间间建立的的。利用用琴生不不等式我我们可以以得到一一系列不不等式，比比如“幂平均均不等式式”，“加权的的琴生不不等式”等等。3.9.11.1幂幂平均不不等式设为正有理理数，则则有，当当且仅当当时等号号成立。3.9.11.2加

16、加权的琴琴生不等等式对于(a,b)内的的凸函数数，若，则则注：加权琴琴生不等等式很重重要，当当时，即即为原始始的琴生生不等式式。另外外，对于于上面有有关凸函函数和琴琴生不等等式的部部分，如如果将不不等号全全部反向向，则得得到的便便是凹函函数，以以及凹函函数的琴琴生不等等式。3.9.22琴生不不等式的的应用例：若（，）为正正实数，求求证：。证明：考查查函数，由于于，故其其为凸函函数。由由琴生不不等式得得：。整理后即得得：参考文献1许小小华，不不等式证证明的常常用方法法J，数学学通讯，220055年第222期2陈初初良，不不等式证证明的两两种巧法法J，高中中语数外外，20005.103周再再禹，不

17、不等式证证题中调调整法的的应用J，兰兰州教育育学院报报，20005年年第4期期4董琳琳，几种种证明不不等式的的妙法J，创创新篇发发散思维维训练，220055年第99期5刘兴兴祥，罗罗云庵，王王海娟，柯柯西施瓦兹兹不等式式的应用用J，延安安大学学学报（自自然科学学版），220055年第44期6刘海海燕，利利用微分分学证明明不等式式J，牡丹丹江教育育学院学学报，220055 年第第3 期7于鸿鸿丽，排排序定理理的推广广及应用用J，西安安文理学学院学报报(自然科科学版)，20005年年第3期期8魏全全顺，微微分在不不等式证证明中的的应用J，湖湖南第一一师范学学报20006年年第1 期9孟利利忠，以以数列为为载体的的不等式式证明的的放缩技技巧JJ10叶叶殷，何何志树，用用高等数数学证明明不等式式的若干干种方法法J，西昌昌师范高高等专科科学校学学报，220044年第44期11翁翁耀明，运运用概率率方法证证明某些些数学不不等式J，数数学的实实践与认认识，220055年第111