高考数学必考知识点 空间线面位置关系的推理与证明

1、2013年高考数学必考知识点13 空间线面位置关系的推理与证明(2012江苏)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC

2、1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性

3、质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述必备知识平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(4)平行于同一条直线的两条直线平行(5)平行于同一个

4、平面的两个平面平行(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化必备方法1证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑2证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题4正向思维受阻时，可考虑使用反证法5计算题应在计算中融入论

5、证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨eq avs4alco1(空间点、线、平面之间的位置关系)此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档【例1】 如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綉eq f(1,2)AD，BE綉eq f(1,2)AF，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？审题视点 听课记录审题视点 要证明四边形B

6、CHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可(1)证明由题意知，FGGA，FHHD，所以GH綉eq f(1,2)AD.又BC綉eq f(1,2)AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)解C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綉eq f(1,2)AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面法二由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，

7、以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.(1)证明设ABa，BCb，BEc，则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)所以eq o(GH,sup6()(0，b,0)，eq o(BC,sup6()(0，b,0)，于是eq o(GH,sup6()eq o(BC,sup6().又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形(2)解C，D，F，E四点共面理由如下：由题设知F(0,0,2c)，所以eq o(EF,sup6()(a,0，c)，eq o(CH,sup6()(a,

8、0，c)，eq o(EF,sup6()eq o(CH,sup6()，又CEF，HFD，故C，D，E，F四点共面 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择【突破训练1】 给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面，的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题

9、的是_(填序号)解析中lm或l，m异面，所以错误，其他正确答案eq avs4alco1(线线、线面位置关系)此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力【例2】 如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BCeq r(2)BB1，设B1DBC1F.求证：(1)A1C平面AB1D；(2)BC1平面AB1D.审题视点 听课记录审题视点 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂

10、直”来证“线面垂直”证明(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.点D是BC中点，点E是A1B中点，DEA1C，A1C平面AB1D，DE平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)ABC是正三角形，点D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC，AD平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，ADBC1.点D是BC的中点，BCeq r(2)BB1，BDeq f(r(2),2)BB1.eq f(BD,BB1)eq f(CC1,BC)eq f(r(2),2)，RtB1BDRtBCC1.BDB1BC1C.FBDBDFC1BCBC1C90.B

11、C1B1D.因为B1DADD，BC1平面AB1D. 将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提【突破训练2】 (2011山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.证明：(1)AA1BD；(2)CC1平面A1BD.证明(1)因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D，取AB的中点G，连接DG，在ABD中，由AB2AD得，AGAD，又BAD60，所以ADG为等边三角形因此GD

12、GB，故DBGGDB，又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(2)连接AC，A1C1，设ACBDE，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECeq f(1,2)AC，由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.eq avs4alco1(面面位置关系)此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强

13、，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力【例3】 如图所示，在四棱锥PABCD中，PAB为正三角形，且面PAB面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且ADBC，BCDeq f(,4)，AD1，BC2，E为棱PC的中点(1)求证：DE平面PAB；(2)求证：平面PAB平面PBC.审题视点 听课记录审题视点 (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线(1)证明如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.在PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，EFPB.在直角梯

14、形ABCD中，F为CB的中点，BFeq f(1,2)BC1.又ADBC，且AD1，AD綉BF.四边形ABFD是平行四边形，FDAB.又EFFDF，PBBAB，平面EFD平面PAB.又DE平面EFD，DE平面PAB.(2)证明在直角梯形中，CBAB，又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，CB平面PAB.CB平面PBC，平面PBC平面PAB. 解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系【突破训练3】 (2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60

15、，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.eq avs4alco1(平面图形的折叠问题)此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关

16、计算考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大【例4】 (2012临沂二模)如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCeq f(1,2)AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG.审题视点 听课记录审题视点 (1)转化为证EF平面PAD；(2)转化为证平面PAB平面EFG.证明(1)在直角梯形ABCP中，BCAP，BCeq f(1,2)AP，D为AP的中点，BC綉AD，又ABAP，ABBC，四边形ABCD为正方形CDAP，CD

17、AD，CDPD.在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC、PD的中点，EFCD、EFAD，EFPD.又PDADD、PD面PAD、AD面PAD.EF面PAD.又EF面EFG，面EFG面PAD.(2)法一G、F分别为BC和PC中点，GFBP，GF面PAB，BP面PAB，GF面PAB.由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB，EF面PAB，AB面PAB，EF面PAB.EFGFF，EF面EFG，GF面EFG.面EFG面PAB.PA面PAB，PA面EFG.法二取AD中点H，连接GH、HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形，又G、H分别为BC、AD的中点，GHCD.由(1)知，EFCD，EFGH.四点E

18、、F、G、H共面E、H分别为PD、AD的中点，EHPA.PA面EFGH，EH面EFGH，PA面EFGH，即PA面EFG. (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【突破训练4】 如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积(1)证明在ABD中，AB2，AD4，DAB6

19、0，BDeq r(AB2AD22ABADcosDAB)2eq r(3).AB2BD2AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.又DE平面EBD，ABDE.(2)解由(1)知ABBD.CDAB，CDBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB2eq r(3)，DEDCAB2，SDBEeq f(1,2)DBDE2eq r(3).又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEeq f(1,2)ABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SADEeq f(1,2)ADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积S82eq r(3).证明线面关系，严禁跳步作答证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的【示例】 (2012北京东城一模)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C.满分解答(1)连接BD1，如图所示，在DD1B中，E、F分别