拉冬变换数学基础课件

1、 拉东（Radon）变换 Radon变换是数学上的一种变换。本章先介绍拉东（Radon）变换（RT）及其反变换（IRT）;介绍以Radon变换为理论基础的CT（Computer Tomography）技术，以及它们在地球物理勘探中的一些应用。Radon变换原理一个二维函数的Radon变换（RT）是由沿多条直线的积分所组成的，这个运算同医学、结晶学、地球物理学等诸多领域中的大量物理实验相对应，一般将它们称之为投影试验。在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限上可以这样近似地讲）累加

2、起来构成了模型的某些性质如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。Radon变换原理若 是二维位置矢量，那么函数 的Radon变换定义为: 式中直线 所对应的方程表达式为: 其中 分别为直角坐标和极坐标的表达。Radon变换原理直射线投影中的几何分布与变量。直角坐标和极坐标 定义了模型中的位置矢量投影角决定了坐标系。投影试验是在S坐标的方向上沿着线L对模型做积分，它给出了坐标系中的投影数据。 Radon变换原理2.1 拉当变换的数学原理自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、物理学、天文学等许多领域都已得到了广

3、泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t)满足可积,则定义： (2.1)为拉当正变换的连续公式, (2.2)为拉当反变换的连续公式。 Radon变换原理其中是d(x,t)拉当反变换的结果， ， 称为Hilbert算符。根据g(x)的不同,可以把Radon变换分为线性拉东变换和非线性拉当变换：如果g(x)=x，则我们定义的拉当变换就是线性Radon变换，既-变换，该变换把t-x域中的一条直线映射成-域中的一个点；如果g(x)是其它的非线性函数，则我们定义的拉当变换就是非线性Radon变换,或称为广义Radon变换。 Radon变换原理在二维连续空间-时间域的Rad

4、on正反变换对： 2.3Radon变换原理 在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样，不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用最小平方法计算离-变换。二维离散时间、空间域的拉当正反变换对： 2.4Radon变换原理2.2 F_X域拉当变换的数学原理 由于在t-x域中直接运算时间是非常大的，为了降低运算时间，可以将t-x域中求逆转换到F-X域中。 在F-X域拉当变换对为： （2.5）即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到-域去噪的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-域去噪。 Radon变换原理F-X域拉当变换中

5、斜率参数采样率应该满足的条件为： 2.12Radon变换原理由此我们可以知道F-X域拉当变换中斜率参数的临界采样率c为： 2.13 模型测试与分析5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理 在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系，经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们就设定一个阈值，在-域中将能量大于这个阈值的保

6、留，而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。模型测试与分析5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程图二 在f-域滤波流程图模型测试与分析5.3 测试F-X域拉当正反变换我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四所示。图四 原始信号图模型测试与分析对此地震资料进行傅立叶变换我们可以得到此地震数据的频谱如图五所示。图五 原始信号频谱图在图五中我们可以看到此地震数据是一个频率10赫兹到30赫兹之间的信号。模型测试与分析对这个地震数据进

7、行F-X域Radon变换，变换后的信号在f-域如图六所示。图六 原始信号F-X域Radon变换 在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发散效应，变换到f-域是一个能量团，这与理论是一致的。 模型测试与分析我们把f-域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。 图七 f-域映射到F-X域的频谱图 图八 F-X域Radon变换后返回到t-x域 的信号图 模型测试与分析从图九我们可以看到F-X域Radon变换前后两信号重叠，同样，图四

8、与图八、图五与图七也表明了F-X域Radon变换前后信号的一致性，因此，返回到t-x域，保持了波的形态，说明该算法是稳定的。模型测试与分析54 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N）的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十所示，它的频谱如图十一所示。图十 信噪比为4分贝的地震信号图十一 被白噪声污染的地震信号的频谱模型测试与分析将去噪后的信号从f-域返回到F-X域，得到频率、空间F-X 域的频谱，如图十四所示。再通过反傅立叶变换将F-X域的信号返回到t-x域，得到时间、空间t-x域的信号，如图十五所

9、示。 图十四 去噪后F-X域信号频谱图十五 去噪后t-x域的信号模型测试与分析为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比较，结果如图十七所示。 图十七 去噪前后信号的比较 模型测试与分析从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。图十八 没加噪信号与加噪滤波后信号的相对误差 模型测试与分析在图十八中，没有加噪的t-x域信号与加噪后通过Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差几乎为零，只有少数点存在较大的相对误差，因此，我们可以说明这种F-X域Radon变换是一种很好的去噪方法，值得推广及利用。结束语在本文我们利用F-X域拉当变换去除噪声，这种方法不同于以往所用的去噪方法。这种方法是利用在同一频段，各地震道有效波的频段经过线性积分后能量会相对于噪声频段增强，而噪声频段的能量相对消弱，我们就通过设定阀值来去除噪声。这种去噪