高优指导2021数学理人教B版一轮考点规范练15导数的综合应用

1、考点规范练15导数的综合应用考点规范练A册第10页基础稳固组1.若0 xx21,则()1?21?-e?21A.e2-e1B.e21xe2D.xe10且x趋近于0时,xex-10,因此在(0,1)上必定存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确;设g(x)=e?1时,g(x)=(?-1)e?,当0 x212.应选C.)g(x),即?,因此xexe122.(2021广东湛江一模)若函数f(x)=x+?(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在以下区间上单一递加的是()?A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,+)D.(-,-2)答案:D剖析:由题意知?(1,2)上有零点

2、,f(x)=1-2,函数f(x)=x+(bR)的导函数在区间?当1-时,b=x2,又x(1,2),2=0?b(1,4),令f(x)0,解得x?,即f(x)的单一递加区间为(-,-?),(?,+),b(1,4),(-,-2)切合题意,应选D.3.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒建立,则实数a的取值范围是()9A.-5,-3B.-6,-8C.-6,-2D.-4,-3?导学号92950443?答案:C剖析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒建立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒建立.(1)当x=0时,aR.2-4?-3143?(2)当0 x1时,由(

3、*)得a3=-2-3恒建立.143?设f(x)=-2-3,?2189-(?-9)(?+1)-?+8?+9.则f(x)=-2+3+4=4=4?当0 x1时,x-90,f(x)0,f(x)在(0,1上单一递加.当0 x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x0时,由(*)得a14-3-23.?令f(x)=0,得x=-1或x=9(舍).当-2x-1时,f(x)0,当-1x0,f(x)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递加.x-2,0)时,f(x)min可知af(x)min=-2.=f(-1)=-1-4+3=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.应选C.4

4、.(2021河南洛阳统考)若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a碰巧有两个不同样的零点,则a可能的值为()A.4B.6C.7D.8答案:A剖析:由题意得f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由f(x)0得x2,由f(x)0得1x1,011,k1.?6.(2021河南开封一模)已知函数f(x)=ax3-3x+1对x(0,1总有f(x)0建立,则实数a的取值范围是.?导学号92950444?答案:4,+)3?-1,设g(x)=3?-1剖析:当x(0,1时不等式ax3-3x+10可化为a,x(0,1,26(?-1)?33?-(3?-1)3?2.g(x)=6=-?g(x)与g(x

5、)随x的变化状况以下表:11x1(0,)(,1)222g(x)+0-g(x)4因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是4,+).7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2与x=1处都获取极值.3求a,b的值及函数f(x)的单一区间;若对于x-1,2,不等式f(x)c2恒建立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.f(x)在x=-2与x=1处都获取极值,3f(-32)=129-34a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-1,b=-2,2f(x)=x3-1x2-2x+c,2f(x)=3x2-x-2=(3x+2)

6、(x-1),令f(x)=0,得x1=-2,x2=1,3当x变化时,f(x),f(x)的变化状况以下表:222x(-,-)-3(-,1)1(1,+)33f(x)+0-0+f(x)极大渺小值值2函数f(x)的递加区间为(-,-3)与(1,+);递减区间为(-23,1).(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,当x=-2时,f(-22233)=27+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范围为(-,-1)(2,+).?导学号92950445?8.(2021江苏连云港一模)已知函数f(x)=lnx-1ax2+x,aR.

7、2若f(1)=0,求函数f(x)的单一递减区间;若对于x的不等式f(x)ax-1恒建立,求整数a的最小值;5-1121212122.(3)若a=-2,正实数x,x知足f(x)+f(x)+xx=0,证明:x+x?解:(1)由于f(1)=1-=0,因此a=2,2此时f(x)=lnx-x2+x,x0,由于h(1)=ln2-10,h(1)=-10,12412因此2x01,此时1?0.2+x由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1+?121+lnx2+?+x2+x1x2=0212-2?+?+1f(x)=-2x+1=?(x0),?由f(x)0,又x0,因此x1.因此f(x)的单一减区间为(1,+

8、).(2)解法一:令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-1ax2+(1-a)x+1,212因此g(x)=-?+(1-?)?+1-ax+(1-a)=?.?当a0时,由于x0,因此g(x)0.因此g(x)在(0,+)上是递加函数,又由于g(1)=ln1-1a12+(1-a)+1=-3a+20,22因此对于x的不等式f(x)ax-1不能够恒建立.2(1)(?+1)-?当a0时,g(x)=,?=-?令g(x)=0,得x=1.?因此当x(0,1)时,g(x)0;当x(1,+)时,g(x)0,h(2)=1-ln20,24又由于h(a)在(0,+)是减函数.因此当a2时,h(a)0.因此整数a的最小值

9、为2.解法二:由f(x)ax-1恒建立,得lnx-1ax2+xax-1在(0,+)上恒建立,ln?+?+12问题等价于a12在(0,+)上恒建立.2?+?ln?+?+1令g(x)=12,只需ag(x)max,2?+?(?+1)(-1?-ln?)由于g(x)=22,(12)2?+?令g(x)=0,得-1x-lnx=0.2设h(x)=-12x-lnx,由于h(x)=-1-10;当x(x0,+)时,g(x)0.设g(x)是f(x)的导函数,争辩g(x)的单一性;证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒建立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.?(1)解:由已知,函数f(x)的

10、定义域为(0,+),g(x)=f(x)=2(x-a)-2lnx-2(1+),22?因此g(x)=2-+22?11)2(?-)+2(?-=224.?11+当0a0,(e)=-1+e-1-2(1+e-1)0.故存在x0(1,e),使得(x0)=0.-1令a0=01+?-010,u(x)=x-1-lnx(x1).-ln?由u(x)=1-10知,函数u(x)在区间(1,+)上单一递加.?(?)?(e)e-2因此0=?(1)0-1=a01+e-1=1+e-11.1+11+?0即a0(0,1).当a=a0时,有f(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.由(1)知,f(x)在区间(1,+)上单一递加,故当x

11、(1,x0)时,f(x)f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,进而f(x)f(x0)=0.因此,当x(1,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒建立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.?导学号92950447?力量提升组10.(2021江南十校联考)已知函数f(x)=?(1)ex-f(0)x+1x2(e是自然对数的底数).e2求函数f(x)的剖析式和单一区间;(2)若函数g(x)=12,求实数a的取值范围.2x+a与函数f(x)的图象在区间-1,2上恰有两个不同样的交点解:(1)由已知得f(x)=?(1)ex-f(0)+x,e令x=

12、1,得f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.f(0)=?(1)e,f(1)=e.进而f(x)=ex-x+12x2.显然f(x)=ex-1+x在R上单一递加且f(0)=0,故当x(-,0)时,f(x)0.f(x)的单一递减区间是(-,0),单一递加区间是(0,+).(2)由f(x)=g(x)得a=ex-x.综上c=1.12.(2021天津,理20)已知函数f(x)=nx-xn,xR,其中(1)争辩f(x)的单一性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点f(x)g(x);若对于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根解:由f(x)=nx-xn,可得f(x)=n-

13、nxn-1=n(1-xn-1),其中当n为奇数时,令f(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时,f(x),f(x)的变化状况以下表:?导学号92950449?nN+,且n2.P处的切线方程为y=g(x),求证:对于随意的正实数x,都有x,x,求证:|x-x|?12211-?nN+,且n2.下面分两种状况争辩:令h(x)=ex-x,则h(x)=ex-1.由h(x)=0得x=0.因此当x(-1,0)时,h(x)0.h(x)在(-1,0)上单一递减,在(0,2)上单一递加.又h(0)=1,h(-1)=1+1,eh(2)=e2-2且h(-1)0(x0),因此函数f(x)在(-,+)上单一递加;2

14、?2?时,f(x)0时,x(-,-)(0,+)时,f(x)0,x(-3,0)32?2?因此函数f(x)在(-,-,0)上单一递减;3),(0,+)上单一递加,在(-3当a0,x(0,-3)时,f(x)0,因此函数f(x)在(-,0),(-2?上单一递加,在2?上单一递减.(03)3)2?4(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-3)=27a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f(-2?43?)0,?0,进而43或43-27?00?0时,4343427a-a+c0或当a0时,27a-a+c0.33设g(a)=27a3-a+c,由于函数f(x)有三个零点时,a的取值

15、范围碰巧是(-,-3)(1,2)(2,+),则在(-,-3)上g(a)0均恒建立,进而g(-3)=c-10,且g(23)=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,因此=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3)(1,32)(32,+).(-,-(-x1)1,1)(1,+)f(x)-+-f(x)因此,f(x)在(-,-1),(1,+)上单一递减,在(-1,1)内单一递加.当n为偶数时,当f(x)0,即x1时

16、,函数f(x)单一递加;当f(x)1时,函数f(x)单一递减.因此,f(x)在(-,1)上单一递加,在(1,+)上单一递减.12(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=?y=f(x0)(x-x0),即?-1g(x)=f(x)(x-x).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f(x)(x-x),则F(x)=f(x)-f(x).00000由于f(x)=-nxn-1+n在(0,+)上单一递减,故F(x)在(0,+)上单一递减.又由于F(x0)=0,因此当x(0,x0)时,F(x)0,当x(x0,+)时,F(x)0,因此F(x)在(0,x0)内单一递加,在(x0,+)上单一递减,因此对于随意的正实数x,都有F(x)F(x0)=0,即对于随意的正实数2x,都有f(x)g(x).).120设方程g(x)=a的根为x2,可得x2=?2+x0.?-?当n2时,g(x)在(-,+)上单一递减.又由(2)知g(x2)f(x2)=a=g(x2),可得x