高中数学考点15正弦定理和余弦定理(含2016高考试题)-1563

1、学必求其心得，业必贵于专精考点15正弦定理和余弦定理一、选择题1。(2016全国卷高考文科T4)ABC的内角，C的对边分别为a，c。已知a=5，c=2，cosA=23，则b=（）。2。3C.2D.3【剖析】选。由余弦定理a2=b2+c-2bccosA,得2+222b2cosA，即3b5=b28b-3=0，解得b=13(舍)或b=3。2。（2016全国卷理科T8）在ABC中，B=，BC边上的高等于413BC,则cosA=(）。31010。1010C.-1010D.31010【解题指南】依照正弦定理求解。【剖析】选。设ABC中角A,B，C所对的边分别为a,b，c,则由题意得ABC=1213a=12

2、acsinB。c=23a。由余弦定理得b22+c2-2accosB=a22+c2-2accosB=a2+29a2a2322=59a2。b=52。b=53。cosA=52222aaa222bca99102bc10522aa33。3.（2016全国卷文科T9）在ABC中,B=,BC边上的高等于413BC，则sinA=(）。310。1010C.55D.31010【解题指南】依照正弦定理求解。【剖析】选D.设BC边上的高为AD，且AD=m，因为B=，则BD=m，AB=2，又因为413AD=BC,因此DC=2m,AC=5，由正弦定理ACBC=得sinsinBsinBACBCsinB310BAC=AC10

3、.4.(2016山东高考文科T8）ABC中，角A,B，C的对边分别是a,b，c,已知b=c，a2=2b2（sinA），则A=（）。4B.3。4。61学必求其心得，业必贵于专精【解题指南】变形后，利用余弦定理巧妙求解.【剖析】选C.由题意1sinA=2a22b,因此sinA=1-2a22b=222bca2bc=cosA,因此A=.45.（2016T3ABCAB=13,BC=3,C=120,则AC=（)A.1B。2C.3D。4【解题指南】利用余弦定理得出C与三边的关系，尔后求解.【剖析】选A.设AC=x，由余弦定理得：cosC=2x91312x32,得x2+3x4=0。2+3x4=0。解得x=1或

4、4（舍),因此AC=1。二、填空题6.（2016全国卷文科T15)同(2016全国卷理科T13)ABC的内角，B，C的对边分别为a，b,c，若cosA=45,cosC=513，a=1,则b=。【解题指南】已知cosA,cosC，可求sinB，又a=1，可利用正弦定理求解。【剖析】因为cosA=45，cosC=513,因此sinA=35,sinC=1213,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365,由正弦定理得ba=sinBsinA,解得b=asinB63521=.sinA65313答案:21137.(2016全国卷高考理科T17)ABC的内角A,B,C的对边分别

5、为a，c,已知2cosC（acosB+bcosA)=c。(1）求C.(2)若c=3,ABC的面积为332，求ABC的周长.【剖析】(1）2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin（A+B)=sinC.因为A+B+C=,A,B，（0,),因此sin（A+B）=sinC0，因此2cosC=1,cosC=12。因为（0，），2学必求其心得，业必贵于专精因此C=3.(2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，227=a+b-2ab12，（a+b)23ab=7，S=12absinC=34ab=332，因此a

6、b=6，因此（a+b）-18=7,a+b=5，因此ABC的周长为a+b+c=5+7.8。(2016浙江高考文科T16）在ABC中,内角A，C所对的边分别为a,b，c.已知b+c=2acosB。（1)证明:A=2B。（2）若cosB=23,求cosC的值。【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin=sin（-）,再判断-的取值范围，进而可证=2（2)由cosB的值能够求出A的三角函数值,又由C=(A+B）的关系求cosC的值.【剖析】（1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsin

7、B,于是，sinB=sin（AB）,又A,B(0,），故0A-B，因此-(A-B)或B=A-B，因此,A=（舍去)或A=2B,因此，A=2B.(2）由cosB=23,得sinB=53，cos2B=2cos2B-1=-19，故cosA=19，sinA=459,cosC=cos(A+B）=cosAcosB+sinAsinB=2227。9.(2016山东高考理科T16)在ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知2(tanA+tanB）=tanAtanBcosBcosA.（1）证明:a+b=2c.(2）求cosC的最小值。【解题指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解.【剖析】（1)由题意得

8、,2（sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB，即2sin（A+B）=sinA+sinB,又A+B+C=,3学必求其心得，业必贵于专精因此，sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c。(2)由(1）知,c=ab2,由余弦定理得，cosC=2ab22ab222abc23ab112ab2ab8ba42。因此cosC的最小值为12。10.(2016四川高考文科T18)同（四川高考理科T17）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且cosAcosBcosCabc.（1)证明:sinAsinB=sinC.2(2）若b+c2-a2=65bc,求tanB.【解题指南

9、】（1)利用正弦定理，将边角进行转变，联合引诱公式进行证明.(2）利用余弦定理解出cosA=35，再依照平方关系解出sinA,代入已知中，解出tanB的值。【剖析】(1）由正弦定理cosAcosBcosCabc,可知原式能够化解为cosAcosBcosCabc=1，因为A和B为三角形内角，因此sinAsinB0,则两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB,由和角公式可知,sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B）=sin（-C）=sinC,原式得证.（2）由题b2+c2a2+c2a2=65bc，依照余弦定理可知，cosA=222bca32

10、bc5.因为A为三角形内角，（0,),sinA0,则sinA=123455,即cosAsinA=34，由（1)可知cosAcosBcosCabc，因此cosB11sinBtanB4，因此tanB=4。11。（2016天津高考文科T15）（本小题满分13分）在ABC中,内角，C所对应的边分别为a，b,c,已知asin2B=3bsinA。（1)求B.(2)若cosA=13，求sinC的值。【解题指南】（1)利用正弦定理实现边化角，化简获得cosB,联合B的范围得出B.（2）利用三角形内角和为,将所求角化为两已知角的和，再依照两角和的正弦公式求解。【剖析】（1)在ABC中,由absinAsinB可得asinB=bsinA，又由asin2B=3bsinA得2asinBcosB=3bsinA，整理得cosB=32，因为B为ABC的内角,因此B=。64学必求其心得，业必贵于专精（2ABC中，sinC=sin