借对称求最短距离

1、关于借对称求最短距离第1页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四最短距离问题考查知识点：“两点之间线段最短”,“点关于轴对称”。生活中的原型：“建奶站问题”，“牧马人饮马问题”等。出题背景变式：有角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴、双曲线、抛物线等。解题总思路：（不变的“宗”）： 找点关于轴的对称点，实现“折”转“直”. 第2页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四在北师版七年级数学（下）的第123页上：如图，要在街道旁修建一个奶站，分别向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和 最短？数学模型1第3页，共29页，2022年，5月2

2、0日，8点43分，星期四 数学问题1 已知：直线L和L的同侧两点A、B求作：点C，使C在直线L上，并且ACCB最小。第4页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四 BC+AC BC +AC ，即AC+BC最小LBACAC 直线L是点A、A的对称轴， 点C、C在对称轴上，AC=AC，AC=AC 在BA C中，BA BC+A C， BC+AC = AC+BC = ABAC +BC = AC +BC 做法：作点A关于直线L的对称点A，连接 A B 与直线L相交于点C，连接AC，则AC+BC最短。则点C就是奶站 的位置依据？：以此题为“宗”的题目可以说层出不穷，如：第5页，共29页，20

3、22年，5月20日，8点43分，星期四1.在正方形中探求线段和的最小值例1：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一动点，DNMN的最小值为 N连接BM交AC于N，连接DN，可得BN=DN，因此DN+MN=BN+MN=BM.第6页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式1：如图所示，正方形ABCD的面积为36，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为 ( ) 面积为36，所以AB=BE=6第7页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式2：如图，在ABC中，ACBC2，A

4、CB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_第8页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四2.在圆背景下探求线段和的最小值例2：如图，AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在AC上,弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是 .PADCOB第9页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式：已知O的直径CD为4，AOD的度数为60，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值2.在圆背景下探求线段和的最小值第10页，共29页，2022年，5月20日，8点4

5、3分，星期四3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例3： 在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_ 时,AC + BC的值最小第11页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四3.在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 变式1：一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4), O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点坐标第12页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四令X=0得，Y=1，所以P点（0.1）第13页，共29

6、页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于点C。且对称轴为直线X=-1，其中A点（-3,0），C点（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC 的周长最小请求出点P的坐标ACxyBO第14页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC 的周长最小请求出点P的坐标第15页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四4、在角的背景下探求线段和的最小值例4：已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形

7、，使三角形周长最小.第16页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式：如图，点P在AOB内部，且AOB=45,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？第17页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四第18页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四 数学模型2如图：C处为马棚，D处为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定所走的最短路线。第19页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四 数学问题2如图

8、：C、D在AOB的内部，在OA、OB上分别找点G、H，使得CG+GH+DH最短作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点F, 2.作点D关于直线OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH第20页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四例题：在直线m、n上分别求点M、N,使得四边形PQMN的周长最小第21页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式1:如图点A（a，1）、B（1，b）都在双曲线 (x0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（ ）.

9、 A.yx B.yx1 C.yx2 D.yx3第22页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四第23页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四变式2：(2016贵阳)25.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B. （1）求二次函数的表达式； （2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标. 第24页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四第25页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四我的收获：第26页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四课堂小结1、构建“对称模型”实现折转直PNPP2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决第27页，共29页，2022年，5月20日，8点43分，星期四 测试题：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB的中点. （1）若E为边