10.3极坐标下二重积分的计算_第1页
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1、第 3 节极坐标系下二重积分的计算 第10章 3.1 利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 除包含边界点的小区域外, 小区域的面积分划区域 D 为在极坐标变换有计算公式下, 证明(1)和射线用同心圆 = 常数 = 常数 ,所以因此, 在极坐标下面积元素(当很小时)在利用上述公式计算二重积分时,要将积分域 D 用极坐进而确定关于极坐标的二次积分的积分限.标表示, 设则特别, 当例 3.3 其中解 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.例 3.1, 例 3.2计算在极坐标系下p158利用例 3.3 可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式证明 设则由于因此另一方

2、面, 利用例 3.3 的结果有故 (1) 式变为令上式两端趋于同一极限因此一方面(1)例 3.4或求双纽线所围图形的面积.双纽线的方程为解由对称性, 第一象限部分 D1面积的 4 倍.所以由于所围图形的面积是其在补充例 被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解 由对称性,求球体圆柱面准线的方程为该部分在 x O y 平面上的该体积等于其在第一卦象部分体积的 4 倍.投影区域为所以3.2* 二重积分的换元法回顾定积分的换元法:设函数在函数并且则函数组设 是 uOv 平面上的有界闭区域 ,可以看成是 到 xOy 平面区域 的变换.则区间 上连续,上有连续导数,定理 3.1变换把 uOv 平

3、面上的区域的区域设函数在有界闭区域 上连续,并且满足(1) 在区域 上有一阶连续偏导数;(2) 雅可比行列式则证明略.一一对应地映射为 xOy 平面上例3.6由于D 的证明记则相应的因此令于是证四条边界的方程为由于所以例3.7区域 D 的面积.所求区域的面积求由曲线解与 所围的令故是由uOv 平面上的曲线 和直线 围成的区由于容易算出所以则边界曲线变为和(因为当 时域.补充内容:称为下面的变换则因此若在广义极坐标变换下, 区域 D 对应的区域为广义极坐标变换这是一般换元法的特例.广义极坐标变换. 由于补充例计算其中 D 为椭圆所围的区域 .解作广义极坐标变换则椭圆的方程为所以因此区域 D 可以表示为3.3* 反常二重积分在二重积分的定义中,要求积分域 D 是有界的,并且被积函数 f 在 D 上有界.与定积分一样可以定义无界区域上的和无界函数的反常二重积分.二重积分的定义和收敛性判别法 略.其中 D 是第一象限中由计算例 3.8解的有界区域.y 轴和直线 所围的区域

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