第4章力学量随时间的演化和对称性课件

1、第 4 章力学量随时间的演化与对称性第 4 章力学量随时间的演化与对称性 经典力学中,处于一定状态下的体系的每一个力学量 ,作为时间的函数,在每一时刻都具有一个确定值.量子力学中,处于量子态 下的体系,在每一时刻,不是所有力学量都具有确定值,一般说来,只具有确定的概率分布和平均值.先讨论力学量的平均值如何随时间改变.引言: 量子力学中力学量随时间演化的问题与经典力学有所不同.4.1.1 守恒量 经典力学中,处于一定状态下的体系的每一个力学量 第四章 力学量随时间的演化与对称性 4.1 力学量随时间的演化在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为 (1) (2) 一、力学量平均值随时间的

2、变化 第四章 力学量随时间的演化与对称性 4.1 力学量 由薛定谔方程， 因为是厄密算符 (2) 由 (3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。如不显含t，即: (4)则有:若则 (5)即这种力学量在任何态 之下的平均值都不随时间改变。 (3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。如不显含t，力学量 的平均值为所以用标积表示力学量 的平均值为所以用标积表示 如 不显含时间 (以后如不特别声明,都是指这种力学量),即 ,则因此，若则即这种力学量在任何态 之下的平均值都不随时间改变。 如 不显含时间 (以后如不特别声明证明： 且任意态均可以用 来展开，即可取包含 和 在内的一组力学量完全集，其共

3、同的本征函数记为 ，则有，此式表明，在态 下，测量 得到 的几率为 。 二、 在任意态 下 的概率分布也不随时间改变.证明： 且任意态均可以用 来展开，即可取包含 而而按照上述定义，量子力学中的守恒量A是指 ：（1）力学量不显含时间，（2）力学量与对易（, =0）则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量或者运动恒量。守恒量有两个重要性质：(1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。按照上述定义，量子力学中的守恒量A是指 ：守恒量有两个重要性1、证明：若不显含时间

4、t,则为守恒量 不显含t又即为 守恒量（能量守恒）。三、举例证：1、证明：若不显含时间t,则为守恒量 不显含t又例2、证明自由粒子动量p和角动量为守恒量。自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量p和角动量是守恒量。可证： 可证：例2、证明自由粒子动量p和角动量为守恒量。自由粒子的哈密顿 例3 粒子在中心力场中运动：角动量是守恒量， 动量 p 不是守恒量。所以角动量是守恒量。可以证明：可见：但是由于 所以动量 p不是守恒量 例3 粒子在中心力场中运动：角动量是守恒量，所以第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件就不能写成 的形式

5、。 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 例如，自由粒子的动量是守恒量，但自由粒子的状态不一定是动量本征态。量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。 例如，在中心力场中，是守恒量，显然L2也是守恒量， 但这里所给出的波函数不一定是L2的本征态。 就不能写成 守恒量是否处于某本征态由初始条件确定:（1） 若初始时刻(t=0)为A的本征态，则体系保持在该 本征态；本征态对应的量子数称为好量子数（2） 若初始时刻(t=0)没有处于A的本征态，则以后 任意时刻也不会处于本征态，但是A的平均值和测

6、 值概率的分布不随时间变化。详见第十一章 教材第204页证明守恒量是否处于某本征态由初始条件确定:详见第十一章 (b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值，除非在同一个守恒量完全集中 。 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量 都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值。但特殊情况 ， 是它们的共同本征态 。因而此时它们同时有确定值0。 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量 守恒量与定态的异同：（1）概念不一样 a. 定态是能量取确定值的状态能量本征态 b.守恒量是特殊的力学量，不含时间 t，且和 Hamilton算符对易（2）性质不一样 a. 在定态

7、下，一切不含 t 的力学量，不管是否守恒量， 其平均值、概率分布都不随 t 改变。 b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、 概率分布都不随 t 改变。守恒量与定态的异同： 可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的概率分布不随时间变化问题。 所以，只有当体系在非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量的平均值和取值几率分布随时间的变化问题。 可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在4.1.2、能级简并与守恒量的关系定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，则：体系能级一般是简并的。 守恒量在能量本征值问题中的应用，要害是涉及能级简并，其中包括: (a)能级

8、是否简并？（b）在能级简并的情况下，如何标记各简并态？4.1.2、能级简并与守恒量的关系定理：设体系有两个彼此不对证明：证明：推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 征态），则 必为F的本征态。证明：推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级证明：位力(virial)定理 当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力（virial）定理. 设粒子处于势场 中，Hamilton量为 考虑 的平均值随时间的变化.按式 ，有位力(virial)定理 当体系处于定态下，关于对于定态， ，所以即式中 是粒子动能，上式即位力定理.

9、对于定态， ，所以即式中 位力定理详细证明同理因为位力定理详细证明同理因为第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件作业：本章课后习题第4.4、 4.5题作业：本章课后习题第4.4、 4.5题4. 5 全同粒子体系与波函数的交换对称性前面我们实际上学习了量子力学的四个基本原理：原理1 微观体系的状态可以用波函数完全描述原理2 力学量可以用厄米算符来描述原理3 体系状态的波函数可以用算符的本征函数来展开原理4 体系状态的波函数要满足Schrdinger方程。今

10、天我们开始学习第五个基本原理-全同性原理4. 5 全同粒子体系与波函数的交换对称性前面我们实际上学习 自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，介子等。 同一类粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自旋，磁矩，寿命等. 在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒子称为全同（identical）粒子.4.5.1 全同粒子的交换对称性 自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性.例如氦原子中两个电子组成的体系, Hamilton量为 当两个电子交换时， 显然

11、不变， 是两个电子交换的算符, 亦即全同粒子组成的多体系的基本特征是：例如氦原子中两个电子组成的故这说明， 是一个守恒量，即全同粒子系的交换对称性不随时间改变。因为故这说明， 是一个守恒量，即全同粒子系的交换对因为第4章力学量随时间的演化和对称性课件 全同粒子系的交换对称性，反映到描述量子态的波函数上就有了极深刻的内容。例如对于氦原子，当人们在某处测得一个电子时，由于两个电子的内禀属性完全相同因此不能（也不必）判断它究竟是两个电子中的哪一个。换言之，只能说测到了一个电子在那里，但不能说它是两个中的哪一个。 对于全同粒子多体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有

12、所改变。这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，即要求该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性. 全同粒子系的交换对称性，反映到描述量 对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数 描述, 表示每一个粒子的全部坐标 ( 例如包括空间坐标与自旋坐标) . 表示第 粒子与第 粒子的全部坐标的交换，即 由于所有粒子的内禀属性完全相同， 和 这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子 ,即 对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态用 再运算一次，得显然 ，所以 ，因而代入式（2），可看出， 有（而且只有）两个本征值，即 . 即全同粒子系的波函数

13、必须满足下列关系之一用 再运算一次，得显然 ，所以 注意，对于全同粒子系式中 .凡满足 的，称为对称波函数；满足 的, 称为反对称波函数.所有 都是守恒量. 所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称. 注意，对于全同粒子系式中 实验表明 凡自旋为 的整数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子.例如介子 ，光子 . 凡自旋为 的半奇数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子.例如电子，质子，中子等. 对于给定的一类全同粒子, 其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的, 而且与粒子的自旋有

14、确定的关系.实验表明 凡自旋为 的整数倍 设有两个全同粒子 (忽略它们的相互作用)，Hamilton 量表示为4.5.2 两个全同粒子组成的体系 表示单粒子的Hamilton 量. 与 形式上完全相同，只不过 互换而已.显然，设的本征方程为 设有两个全同粒子 (忽略它们的相互作用)，H 这种与交换相联系的简并, 称为交换简并.但这两个波函数还不一定具有交换对称性. 在上式中， 为单粒子能量, 为相应的归一化单粒子波函数, 代表一组完备的量子数. 设两个粒子中有一个处于 态,另一个处于 态,则 与 对应的能量都是 这种与交换相联系的简并, 称为交换简并.但这两个 对于Bose子，要求波函数对于交

15、换是对称的.这里要分两种情况： 是归一化因子（b ) ,归一化波函数为 （a） ，归一化的对称波函数可如下构成 对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的.这 对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成 对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称著名的Pauli不相容原理： 对全同费米子体系，不允许有两个或两个以上的粒子处于完全相同的量子态。这一结论称为Pauli不相容原理。 Pauli不相容原理对研究原子的结构和元素周期表等起着非常重要的作用。 在上式中, 若 ，则 ，即这样的状态是不存在的.著名的Pauli不相容原理： 在上式中, 若 对于玻色子体系，处于同

16、一量子态的粒子数目没有限制，在一般情况下，由于玻色子体系的各个粒子具有不同的动量它们不能处于完全相同的量子态。但在极低的温度下，由于体系的各个粒子的动量都趋于零，体系的大量粒子可以处于完全相同的量子态，这种现象叫做玻色-爱因斯坦凝聚。玻色爱因斯坦凝聚是玻色子原子在冷却到接近绝对零度所呈现出的一种气态的、超流性的物质状态（物态）。1995年，麻省理工学院的沃夫凯特利与科罗拉多大学鲍尔德分校的埃里克康奈尔和卡尔威曼使用气态的铷原子在170 nK的低温下首次获得了玻色-爱因斯坦凝聚。在这种状态下，几乎全部原子都聚集到能量最低的量子态，形成一个宏观的量子状态。 对于玻色子体系，处于同一量子态的粒子数目

17、没有限第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件第4章力学量随时间的演化和对称性课件这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间相对距离的几率分布，见下图。 这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间相对距离的几率分布，第4章力学量随时间的演化和对称性课件注意：全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交换对称性密切相关。这是可观测效应，尤其在电子-电子散射及介子-介子散射中，这种全同性效应可观测到。注意：全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交换对称性密切相关 先考虑三个无相互作用全同Fermi 子组成的体系. 设三个粒子处于三个不同的单粒

18、子态 , ,和 , 则反对称波函数可表示为4.5.3 N个全同Fermi子组成的体系 先考虑三个无相互作用全同Fermi 子组成的体其中称为反对称化算符.其中称为反对称化算符. 类似可以推广到N个全同Fermi子组成的体系.设N个Fermi子分别处于 态下，则反对称波函数可如下构成 类似可以推广到N个全同Fermi子组成的体系. P 代表N个粒子的一个置换 ( permutation) . N 个粒子分别排列在N个单粒子态上 , 共有N！个置换（包括恒等变换 I ）。在上式中称为反对称化算符. 从标准排列 经过各种可能的置换P，得到 一共得出N！项，即行列式展开后得出的N! 项. P 代表N个粒子的一个置换 ( permutati Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态. 设有 个Bose子处于 态上 ， ，这些 中，有些可以为0，有些可以大于1.此时，对称的多粒子波函数可以表示成 4.5.4 N个全同Bose子组成的体系 Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任注意： 这里的P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，式（13）的求和中的各项才彼此正