控制工程第五章-系统的稳定性

1、第五章第五章 系统的稳定性基本要求 1.2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在Nyquist图和Bode图上的表示法。本 章 难 点 Nyquist系统稳定的定义和条件1.几个例子o od o ob db deMa单摆倒立摆小球的稳定2.系统稳定的定义若系统零输入响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡 位置),则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响

2、应发散，则系统是不稳定的。3.稳定性条件对于线性微分方程(an panpn1 ap )xo(t) xi (t)n闭环传递函数为:nG (s) G(s)1B1G(s)H(s)1est特征方程为:1 G(s)H (s) 0其自由响应，即线性齐次方程的通解为: xon(t) (t) Aeii10稳定的条件：lim x (t) 0ot o系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点） 全部具有负实部（位于s左半平面），则系统稳定。稳定性的代数判据胡尔维茨(Hurwitz)稳定判据n1、系统的特征方程:1 G(s)H (s) ansnsn-1 a sa0102、系统稳定的充要条件：1012

3、3(1)特征方程的各项系数均为正。a n 1an an .0ai 0(i=0,1,2,n) (2)各项系数组成的胡尔维茨n式中各阶子行列式都大于零。nn2an aa0an1n aa0a0aa.0.0.0i 0 (i=0,1,2,n)nn00n 203、特例：0n2:0;a00122 aa012.a 01.a1n3:0,a -a a0;脚脚03212 13 0标标n4: 0,a 0,a 0,a 0,a a a -a a 2 -a 2a 0;递递43213 2 14 130增减劳斯(Routh)稳定判据11G(s)H(s) asn asn-1 a sa02、劳斯表：snsn-1nanan-2ana

4、nan-2an-4an-6an-1an-3an-5an-7b1b2b3n-1an110sn-2 ac b1an5 an1b32bsn-3cca112b3 1an11c b1an7 an1b43b130sd10ss s n sn -1 sn-sn -3s1s0anaan-2aan-4aan-6an -1n -3n -5n-7b1c1bc2b32de113、系统稳定的必要条件：各项系数均为正，ai0 (i=0,1,2,n)。4、劳斯稳定判据的充要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统 稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。例设单位反馈控

5、制系统的开环传递函数试判断系统稳定时K的范围。G(s) Ks(s 1)(s 2)解：其单位反馈系统的闭环传递函数为Xo (s) G(s)K特征方程式为: 劳斯阵列为:s3 3s2s31s232s 2KXi (s)1 G(s)s3 3s2 2s Ks16 K3s0KK 0由劳斯稳定条件得6 K 00 K 63稳定性的几何判据Nyquist稳定判据1.特征方程与开环、闭环传递函数的零点和极点的关系开环传递函数GK (s) G(s)H(s) G(s)( ( s)Xo ( s)闭环传递函数GB (s) 1 G(s)H (s)+B(s)-H (s)G (s)特征方程为F(s)1+B(s)-H (s)G

6、(s)特征函数的极点开环的极点特征函数的零点闭环的极点系统稳定的充要条件：GB (s)全部极点均须具有负实部，等价于F(s) 函数的全部零点均须具有负实部。2.幅角原理Im( F (s10Re当从变化时，特征函数F(j)的轨迹将绕原点O转N=P-Z圈。因Im( F (s10Re(1)P:开环右极点数。(2)Z:闭环右极点数。(3)N0:逆时针包围。N0:逆时针包围；N0dB的范围内，开环对数相频特性相对180o线。 0Re(正穿越次数-负穿越次数)=时，闭环系统稳定，否则不稳定。p2L( )线，图中b点(相角增加)。线，图中a点(相角减少)。向上。向下。0dBcbdBcba0-900-1800

7、-2700GH正半次穿越负半次穿越系统的相对稳定性1Im g1Im gKg0Rec)c1.相位裕量幅值交界频率c：开环频率特性的幅值cc等于1Gj)Hjcc。也称为幅值穿越频率、开环剪切频率。相位裕量 ：c处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附BBKg(dB)0cc0d )(180 ) )180cc0d-180幅值裕量Kg率相位交界频率og：开环频率特性的相位等于-180 时的频率，即G(j)H(j)=-180o ,也称为相位穿越频率。幅值裕量Kg：在相位交界频率g处开环频率特性幅值的倒数。G( jg G( jg )H( jg )1或k(dB) 20lg11ImK1ImKgg0Rec)cKg(dB)G( j )H ( j G( j )H ( j )ggj )H (j gg-1800gg相位裕量和幅值裕量在奈氏图、Bode图中的表示KgKgImg0Rekg0kg0dB-1800Kg(dB)Kg(dB) cKg(dB)gImR0ImR