控制工程第四章-频率特性分析

1、第四章频率特性分析基本要求掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求 法。掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的奈氏图和Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的奈氏图和Bode图的特点和绘制。掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。4.了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。本章重点1.频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2.频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统 频率特性的两种图形的绘制。3.频域中的性能指标。本章难点1.一般系统频率特性图的画法以及对图

2、形的分析。2.频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。频率特性的基本概念频率响应与频率特性Xixi(t)XXixi(t)Xoxo(t)设输入xi (t) Xi sintx(t)响应的特点(1)输出与输入为同频率的谐波信号；(2)输出响应中振幅和相位差都是输入信号频率的非线性函数，表示为xo (t) Xo()sin(t ()一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态 分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位， 而随着角频率的改变而改变。幅频特性输出信号与输入信号的幅值之比随变化的特性。)Xo )Xi相频特性:

3、输出信号与输入信号的相位差(或相移)随变化的特性。(1)(2)(0按顺时针方向旋转为负值表超前； 表滞后。频率特性:通常将幅频特性和相频特性统称为频率特性。A()e j)频率特性的求法用拉氏逆变换求取xi (t) Xi sin tX (s) Lx (t) sin tXiiiX(s) G(s)iXis2 2ox (t) s21G(s) 2Xios2 2根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。2.令s =j将传递函数中的sG(s) G( j)j j G( j)就是系统的频率特性。(1)幅频特性：A() X o ()XiG( j)(2)(3)实频特性:(4)虚频特性:() G( j)u()G

4、(j)ReG(j)ImG(j) G( j) u2u2)v2 () j() arctg)u()用试验方法求取io根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号io()的频率，并测出与此相应的稳态输出的幅值X (与相移x e 。然后，作出幅值比Xo(/Xi 对频率的函数曲线，此即幅频特性曲(对频率的函数曲线，此即相频特性曲线。最后，对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。00=0.10-2-4010 -110 010 1=0.1=0.1-90-18010 -110 0101频率特性的物理意义1频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。即 G( j) Fw(t。2频率特性分析通过分析

5、不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。3频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性性能的影响时，比较容易。微分p方程p系统s系统频率特性分析在实验建模和复杂系统分传递频率微分方程、传函、频率特性的关系如图。s特性典型环节的频率特性频率特性图概述奈奎斯特图G( j)平面上取Re及Im轴，以作参变量，当从0GjNyquist图。端点的轨迹为频率特性的极坐标图，称为Imjv(Imjv()G( j)u() =0()A()v() u()=G( j)1Bode图：以20 lg A() 和dBA( ) =20 lg G( j )4020dBA( ) =20 lg G( j )40200

6、-20-400.1110102( ) =A( )90045000-450-9000.1110102纵坐标单位为分贝，线性分度1dB 20lg G( j)横坐标单位为rad/s或1/s，度。(3) 10倍频程(dec)：若2=101，则称从1到2为10倍频程。每10倍频程对数差1。但习惯上仍标真数值，即横坐标按10倍频程均匀分度。典型环节的频率特性图1.比例环节传递函数： G(s) KIm( )Re频率特性： 实频特性： 虚频特性：G( j) Ku() Kv() 0( K , j0)奈氏图 K K0.11100.11100 ( s -1 )幅频特性：A() G( j) K0 ( s -1 )对数

7、幅频特性： L() 20 lg G( j) 20 lg K相频特性：G( j) 0Bode图ImImG ( j)-90( 0 , -j 1 )Re频率特性：实频特性：G(s) 1sG(j)1ju() 01 j 1奈氏图20 lg 20 lg G0.11 1040虚频特性：v() 20幅频特性：A() G( j) 1G-20G-20对数幅频特性：L(20lgGj)相频特性： G( j) 90o20lg90-90-180Bode图3.微分环节传递函数：G(s)sReIm( 0 Im( 0 ,90 G ( j ) j )G( j) ju() 0v() 20 lg20 lg G0.11 (s2020幅

8、频特性：A() G( j) - 20G-1 )L(20lgGj)20lg18090相频特性：G( j) 90o- 90 (s -1 )Bode图4.惯性环节传递函数：G(s) 1Im( Im( )KK 2频率特性：G(j)1(1 jT)实频特性：u() 1 jT11T 2虚频特性：1T2v()T1T 221奈氏图dB- 20 (s -1 )幅频特性：A() G( j) - 4011 T 22-20GTGL)20lgG( 201 (T)2-45-90 (s -1 )相频特性：G( j) argtg(T)Bode图5.一阶微分环节Im( )传递函数： 频率特性：G(s) Ts1G(j)1jT1Re

9、实频特性： 虚频特性：u() 1v() Ttg -1TdB 20lgG402020 dB dec1(T)21T 22幅频特性： 1(T)21T 22G10 (s-1 )T对数幅频特性：L(20lgGj)T20lg9045相频特性：G(j)argtg(T)0Bode图(s-1 )6.振荡环节G(s) 1T 2s2 2Ts 1Gj) 1(1T2)j2T实频特性：u() 1T 2(1T 2)2 (2T)2v(1T 22(1T 22)2 (2T)2A(G(j) 1(1T22)2(1T22)2T)2(1T22)2(2T)2相频特性：G( j) arg tg 1T 2 Im 0 1 2Re 0.7 0.5

10、n 0.310-0.5-1-1.5-2200-20-1-40-110 =0.7 =0.3 =0.1-90-180100 =0.3 =0.140- =0.740- =0.7-1-0.500.5110-1100奈氏图Bode图7.二阶微分环节G(s) T 2s2 Ts 1频率特性：G(j)(1T2)j2Tu() 1T 22(1T2)(1T2)2(2T)2幅频特性：A() G( j) (1T22)2(1T22)2T)2相频特性：G(j)argtg 1T 28.延时环节ImG(j )传递函数：G(s) es1Re频率特性： 实频特性：G( j) e ju() cosjsin很小奈氏图GG虚频特性：v(

11、)sin4020幅频特性：A() G( j) 10.1110G110100L( 0-20-40 (s-1)相频特性：G( j) -60Bode图系统的频率特性绘制系统奈氏图1.G(s) Xo (s)mmK(is i1传递函数形式：Xi (s)njs (T s 1)jm j1K (1 ji)n频率特性（标准形式）：G(j)inImjv (Imjv ()(j)= u () =0()A()v()u()G( j)=10型系统( j)(1Im=0 =ReIm=Re=0jTj)型系统型系统2.Nyquist图作图思路G(s) G(j（u() )G( j)G( j0),j )G(起点j)G( j,j )经历

12、的象限G( j),G终点例: 已知系统开环传递函数作系统的Nyquist图。1G(s) 1Im G ( j Im G ( j =Re=0解:G(j)j(1j)(1j2)G( j)311211121)21 2j (1 2 )(1 2 )G(j)特殊点：tg tg1(2)=0：G( j0) G( j0) 90o=： v()=0：G( j) 1 2G( j) 270odB40200-20-4020dB40200-20-4020lg GT1(s-1 )180oG90o 45o 0o-45o-90o18oT(s-1 )积分环节微分环节惯性环节一阶导前环节二阶振荡环节二阶导前环节Bode图作图思路1)叠加

13、法绘制系统频率特性图(1)将系统的传递函数G(s)转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式（常数项归一化）；(2)G (j) ；(3)确定各典型环节的特征参数（如：比例系数、转折频率、曲线特 ）；(4)作出各典型环节频率特性的Bode图，即分别在对数幅频特性图和对 数相频特性图中作出对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线；(5)如有必要,对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确 曲线；(6)对各环节的对数幅频特性图和对数相频特性图进行叠加； (7)有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上2)顺序斜率法绘制系统频率特性图2)顺序斜率法绘制系统频率特性图(1)将系统的传递函数G

14、(s)转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式（常数项归一化）；(2)G (j) ；(3)确定各典型环节的特征参数（如：比例系数、转折频率、曲线特 ）,并将转折频率由低到高依次标在横坐标轴上；(4)绘制对数幅频特性低频段渐近线。若系统为0型系统，低频段为一 水平线，高度为20lgK;若是I型以上系统，则低频段（或其延长线）在=1处的幅值也为20lgK，斜率为-20dB/dec； (5)按转折频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基础上，每遇到一个转折频率，根据环节的性质改变渐近线斜率，绘制渐近线，直 到绘出转折频率最高的环节为止。(6)如有必要,对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确

15、 曲线；(7)作出各典型环节频率特性的对数相频特性曲线；对各环节的对数相 (8)有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上例1：已知系统开环传递函数G(s)10(s s(s2)(s2 s2)绘制系统Bode图。解：1.将常数项变为1，写成标准形式，分析组成系统的典型环节10 3(1 1 s)G(s)32s(1 1 s)2(1s2 1 s1)2227.5(1 j 1 )2G(j)3222j (122j 1 )( 1222)2(j)2j2 1 1系统由比例、积分、一阶惯性、二阶振荡和一阶导前环节组成。 ，并从小到大排列:1TiT1TTi Ti i2，2，3，二阶，惯性，导前，依次作出各环

16、节Bode图：积分、二阶、惯性、一阶导前环节的B20 B20 lg G57.502202314-11)-203-20-402G8090450459043 -1)128070性如。d将各环节幅频特性曲线合成；将各环节对数相频特性曲线合成。1-1-23.由Bode图确定系统的传递函数由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得 的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而 建立起被测系统数学模型。3.1、频率响应实验对象信号源记录仪Asin对象信号源记录仪由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性, 对该频率特性进行处理，即可确定

17、系统的对数幅频特性曲线。3.2、传递函数确定对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环 节的转折频率。当斜率变化+20dB/dec时,可知处有一个一阶微分环节Ts+1; 若斜率变化+40dB/dec时，则处有一个二阶微分环节 (s2/2n+2s/n+1) 或一个二重一阶微分环节(Ts+1)2 若斜率变化 -20dB/dec 时,则处有一个惯性环节1/(Ts+1);若斜率变化-40dB/dec时，则处有一 个二阶振荡环节1/ (s2/ 2n+2s/n+1)或一个二重惯性环节1/(

18、Ts+1) 2；系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频段斜率为- 20dB/dec,则系统开环传递有个积分环节，系统为 型系统。开环增益K的确定由=1作垂线，此线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值=20lgK(dB),由此求处K值。低频段斜率为-20dB/dec时,此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于开环增益K值。当低频段斜 率为-40dB/dec时,此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于K1/2。其他几种常见情况如下表所示。几种常见系统Bode 图的K值G(s)K s G(s) K ssG(s) K ( s 1)w2s(1)w1s(1)(1)s( s 1)w1w2w3w wK cw1K cw1w2K 2c w14.5 最小相位系统和非最小相位系统1.定义若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在s平面的左半平面， 则称G(s)为“最小相位传递函数”，具有此传递函数的系统称为“最小相位系统”；反之，若G(s)有零点或极点在s平面的右半平面，则称其为“非最小相位传递函数”，相应的系统称为“非最小相位系 统”。2.性质（1）具有相同幅频特性的系统，最小相位系统相位变化范围最小。（2）最小相位系统一定是稳定系统，但稳定系统不一定是最小相位系