函数的单调性与最值 教案 高中数学新湘教版必修第一册（2022-2023学年）

1、3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性与最值最新课程标准学科核心素养1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解单调性的作用和实际意义.1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义.(数学抽象)2.能用单调性的定义证明函数的单调性.(逻辑推理)3.会利用函数的单调性求函数的最大(小)值.(数学运算)新知初探教材要点要点一函数最大(小)值设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集.(1)如果有aD，使得不等式f(x)f(a)对一切xD成立，就说f(x)在xa处取到最大值Mf(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；(2)如果有aD，使得不等

2、式f(x)f(a)对一切xD成立，就说f(x)在xa处取到最小值Mf(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点.状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.要点二增函数与减函数的定义状元随笔定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间.要点三单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)_，区间I叫作yf(x)的_.状元随笔一个

3、函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接.如函数y1x在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y1x在(，0)基础检测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数f(x)1恒成立，则f(x)的最大值是1.()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).()(3)函数y1x的单调递减区间是(，0)0，(4)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区间a，c上在xb处有最小值f(b).()2.函数y2x23x的单调递减区间是()A.0，) B.(，0)C.-，34D3.(多选)如

4、果函数f(x)在a，b上是增函数，对于任意x1，x2a，b(x1x2)，则下列结论中正确的是()A.fx1B.(x1x2)f(x1)f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.f(x1)f(x2)4.函数f(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_.题型探究题型1利用图象求函数的单调区间例1已知函数f(x)x24|x|3，xR.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间.方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易

5、作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪训练1(1)已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A.(3，1)B.(5，3)C.(3，1)，(1，4)D.(5，3)，(1，1)(2)函数yx22|x|3的单调递增区间是_，递减区间是_.题型2函数的单调性判断与证明例2用定义证明函数f(x)xkx(k0)在(0，)上的单调性方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键.跟踪训练2已知函数f(x)xx2+4，判断并用定义证明f(x)在(0，题型3函数单调性的应用角度

6、1比较大小例3已知函数yf(x)在0，)上是减函数，则()A.f34f(a2a1) B.f34f(a2aC.f34f(a2a1) D.f34f(a2a状元随笔利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.角度2解不等式例4f(x)是定义在(2，2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)，则实数m的取值范围是()A.m0B.0m3C.1m3D.12m状元随笔利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内.角度3利用函数的单调性求参数的取值范围例5若f(x)x24mx与g(x)2

7、mx+1在区间2，4上都是减函数，则m的取值范围是(A.(，0)C.(0，) D.(0，1方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义.角度4求函数的最值例6已知函数f(x)2x-1(x2，方法归纳1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)

8、函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练3(1)已知函数f(x)x2bxc图象的对称轴为直线x2，则下列关系式正确的是()A.f(1)f(1)f(2) B.f(1)f(2)f(1)C.f(2)f(1)f(1) D.f(1)f(1)f(2)(2)函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A.(，3) B.(0，)C.(3，) D.(，

9、3)(3)已知函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_.(4)已知函数f(x)32x-1，求函数f(x)在1，易错辨析忽视函数的定义例7已知函数f(x)-x2-ax-5xA.3a0B.a2C.a0D.3a2解析：函数f(x)-x2-ax-5x1，axx1，是R上的增函数，则f(x)x2ax5(x1)单调递增，故它的对称轴a21，即a2，此时f(x)ax(x1)也单调递增，所以a0，要保证在R上是增函数.还需在x1处满足12a答案：D易错警示易错原因纠错心得只考虑f(x)x2ax5(x1)单调递增与f(x)ax(x1)单调递增，即a2，忽视增函数的定义出错.分段函数如果都能单调

10、递增还需保证断点左侧的值小于或等于右侧的值.本题中：12a15a1课堂练习1.(多选)如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.函数在区间5，3上单调递增B.函数在区间1，4上单调递增C.函数在区间3，14D.函数在区间5，5上没有单调性2.函数y1x-1的单调减区间是A.(，1)，(1，) B.(，1)CxR|x1D.R3.函数y2x+1在2，3上的最小值为(A.1B.1C.23D.4.设关于x的函数y(k2)x1是R上的增函数，则实数k的取值范围是_.5.已知f(x)是定义在1，1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围.参

11、考答案新知初探要点二f(x1)f(x2)增函数减函数要点三单调性单调区间基础检测1.答案：(1)(2)(3)(4)2.解析：借助图象得y2x23x的单调减区间是34答案：D3.解析：由函数单调性的定义可知，若函数yf(x)在给定的区间上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确.故选AB.答案：AB4.解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(2，1)是最低点，ymax2，ymin1.答案：1，2题型探究例1解析：(1)f(x)x24|x|3x(2)如图.(3

12、)由图象可知单调递增区间为2，0)，2，)，单调递减区间为(，2)，0，2).跟踪训练1解析：(1)在某个区间上，若函数yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1，4).(2)yx22|x|3-画出函数图象如图，由图可知函数yx22|x|3的单调递增区间是：(，1，(0，1.递减区间是：1，0，1，).答案：(1)C(2)(，1，(0，11，0，1，)例2证明：设x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1+kx1-x2+kx2(x1x2)kx1-kx2(x1x2)kx2-x1x因为0 x1x2，所以x1x20.当

13、x1，x2(0，k时，x1x2k0，此时函数f(x)为减函数；当x1，x2(k，)时，x1x2k0f(x1)f(x2)0)在区间(0，k上为减函数，在区间(k，)上为增函数跟踪训练2解析：f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减.证明如下：x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x1x12+因为0 x12时，x1x2-40，x2-x1x1x2-4x12+4x22+40，f当0 x2时，x1x2-40，x2-x1x1x2-4x12+4x22+40，f所以，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减.例3解析：a2a1a-1223434.又函数yf(x)在0，)

14、是减函数，f(a2a答案：C例4解析：由题意知-2m-10，解得m0.综上可得m的取值范围是(0，1.答案：D例6解析：x1，x22，6，且x1x2，则f(x1)f(x2)2x1-1-由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以，函数f(x)2x-1在区间2，因此，函数f(x)2x-1在区间2，6的两个端点处分别取得最大值与最小值.在x2时取得最大值，最大值是2；在x跟踪训练3解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，所以f(x)在(，2上单调递减，因为211，所以f(2)f(1)f(m9)，所以2mm9，即m3.故选C.(3)f(x)|2xa|2x-所以f(x)|2xa|的单调递减区间是-，a2若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a23，解得a(4)先证明函数f(x)32x-1的单调性，设x1，x2是区间12，+上的任意两个实数，且xf(x1)f(x2)32x1由于x2x112，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)32x-1在区间12，+上是单调递减的，所以函数f(x)在1，5上是单调递减的，因此，函数f(x即最大值为f(1)3，最小值为f(5)13答案：(1)C(2)C(3)