新高考数学复习考点知识讲义课件43-等差数列及其前n项和

1、第六章数列6.2等差数列及其前n项和新高考数学复习考点知识讲义课件第六章数列6.2等差数列及其前n项和新高考数学复习考考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考试要求1.理解等差数列的概念.1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为_ 或 .(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a

2、与b的等差中项，且有A .知识梳理同一个常数2anan1d(常数)(n2，nN*)an1and(常数)(nN*)d1.等差数列的有关概念知识梳理同一个常数2anan1d2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an .(2)前n项和公式：Sn 或Sn .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 .(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 的等差数列.a1(n1)d(nm)dakalamanmd2.等差数列的有关公式a1(n1)d(nm)daka(4)数列Sm，S2mS

3、m，S3mS2m，也是等差数列.(5)S2n1(2n1)an.(6)等差数列an的前n项和为Sn， 为等差数列.(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列1.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？微思考提示不一定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数.2.若数列的前n项和为SnAn2BnC(A0)，则这个数列一定是等差数列吗？提示不一定.当C0时是等差数列. 1.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？微思考提示题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(2)若一个数列每一项与它的前一

4、项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中题组二教材改编2.已知在等差数列an中，a23，a35，则a9_.17解析da3a22，a9a36d56(2)17.题组二教材改编2.已知在等差数列an中，a23，a解析a4a820，a13da17d20，即a15d10，a7a16d12，得d2.3.已知在等差数列an中，a4a820，a712，则d_.2解析a4a820，3.

5、已知在等差数列an中，a44.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，若a32，且S630，则S9_.1264.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，若a32，且题组三易错自纠5.(多选)设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值题组三易错自纠解析S6S5a6S5，则a60，S7S6a7S6，则a70，则da7a60，S8S7a8S7，a80，则a9S9，由a70，a60知S6，S7是Sn中的最大值.从而ABD均正确.解析S6S5a6S5，解析|a3|a9|，|a12d|a18d|，可得a15d，a6a15d0，且a10，a50，

6、故Sn取最大值时n的值为5或6.6.在等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使数列an的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是_.5或6解析|a3|a9|，6.在等差数列an中，|a3TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 题型一等差数列基本量的运算自主演练1.(多选)(2019全国改编)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则下列选项正确的是A.a2a30 B.an2n5C.Snn(n4) D.d2题型一等差数列基本量的运算自主演练1.(多选)(2019a1a4a2a30，A正确；a5a14d5

7、，a1a4a1a13d0，an3(n1)22n5，B正确，D错误；a1a4a2a30，A正确；an3(n12.(2020全国)记Sn为等差数列an的前n项和.若a12，a2a62，则S10_.25解析设等差数列an的公差为d，则a2a62a16d2.因为a12，所以d1.2.(2020全国)记Sn为等差数列an的前n项和.3.(2020上海)已知an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则 _.解析a1a10a9，a1a19da18d，即a1d，a10a19d8d，3.(2020上海)已知an是公差不为零的等差数列，且4.(2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数

8、列an，则an的前n项和为_.3n22n4.(2020新高考全国)将数列2n1与3n2解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，；数列3n2的各项为1,4,7,10,13，.观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.解析方法一(观察归纳法)方法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数.令m2t1，则n3t2(t1,2,3，).atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同方法一.方法二(引入参变量法)思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式

9、共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a题型二等差数列的判定与证明师生共研例1(2020烟台模拟)已知在数列an中，a11，an2an11(n2，nN*).(1)记bnlog2(an1)，判断bn是否为等差数列，并说明理由；解bn是等差数列，理由如下：b1log2(a11)log221，当n2时，bnbn1log2(an1)log2(an11)bn是以1为首项，1为公差的等差数列.题型二等差数列的判定与证明师生共研例1(2

10、020烟台模(2)求数列an的通项公式.解由(1)知，bn1(n1)1n，an1 2n，an2n1.(2)求数列an的通项公式.解由(1)知，bn1(新高考数学复习考点知识讲义课件43-等差数列及其前n项和由已知得，(n2)an(n1)an12(n2)(n1)，由已知得，(n2)an(n1)an12(n2)(判断数列an是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数.(2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.(3)通项公式法：对任意nN*，都满足anpnq(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意nN*，都满足SnAn2Bn(A，B为常数).思维升

11、华判断数列an是等差数列的常用方法思维升华新高考数学复习考点知识讲义课件43-等差数列及其前n项和新高考数学复习考点知识讲义课件43-等差数列及其前n项和当n1时，上式不成立，(2)求数列an的通项公式.当n1时，上式不成立，(2)求数列an的通项公式.题型三等差数列性质的应用多维探究命题点1等差数列项的性质例2(1)(2021淄博模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，且4a5a6a4，则S9等于A.72 B.36 C.18 D.9解析a6a42a5，a54，题型三等差数列性质的应用多维探究命题点1等差数列项的性质(2)(2020临沂质检)在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7

12、 a8的值为A.4 B.6 C.8 D.10解析a2a4a6a8a105a680，a616，又a6a82a7，(2)(2020临沂质检)在等差数列an中，若a2a命题点2等差数列和的性质命题点2等差数列和的性质S2 0232 02324 046，故选C.S2 0232 02324 046，故选C.(2)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不

13、含天心石)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块(2)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，解析设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d9，首项为a19的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，解得n9，解析设每一层有n环，一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具.思维升华一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用新高考数学复习考点知识讲义课件43-等差数列及其前n项和(2)设

14、Sn为等差数列an的前n项和，若S61，S124，则S18_.9解析在等差数列中，S6，S12S6，S18S12成等差数列，S61，S124，1,3，S184成公差为2的等差数列，即S1845，S189.(2)设Sn为等差数列an的前n项和，若S61，S12KESHIJINGLIAN3课时精练KESHIJINGLIAN3课时精练12345678910111213141516基础保分练解析由等差数列的性质可得a2a5a8a112(a6a7)48，则a6a724，故选D.1.已知an是等差数列，且a2a5a8a1148，则a6a7等于A.12 B.16 C.20 D.241234567891011

15、1213141516基础保分练解析123456789101112131415162.数列an的前n项和Snn(2n1)，若kl4(k，lN*)，则akal等于A.4 B.8 C.16 D.32解析Snn(2n1)，数列an是公差为4的等差数列，kl4，akal4416.故选C.123456789101112131415162.数列an123456789101112131415163.已知数列an满足a11，an1ranr(nN*，rR，r0)，则“r1”是“数列an为等差数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12345678910111213141

16、5163.已知数列12345678910111213141516解析当r1时，an1ranran1an1，数列an为公差为1的等差数列，即充分性成立；an1ranr，a11，a22r，a32r2r，若数列an为等差数列，则4r12r2r，r1或r ，即必要性不成立，综上，“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件，故选A.12345678910111213141516解析当r1123456789101112131415164.我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次

17、更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金123456789101112131415164.我国南北朝解析设十等人得金从高到低依次为a1，a2，a10，则an为等差数列，12345678910111213141516解析设十等人得金从高到低依次为a1，a2，a10，12123456789101112131415165.(多选)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3a8a13是一个定值，则下列各数也为定值的有A.a7 B.a8 C.S15 D.S16解析由等差中项的性质可得a3a8a133a8为定值，123456789101

18、112131415165.(多选)等123456789101112131415166.(多选)已知an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a13a3S6，则以下结论正确的是A.a100 B.S10最小C.S7S12 D.S190123456789101112131415166.(多选)已12345678910111213141516解析2a13a3S6，2a13a16d6a115d，a19d0，即a100，A正确；当d5时，an0，则Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn12345678910111213141516解设数列a123456789101112

19、131415162(9525)(9nn2)n29n40；当n5时，an0，则Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2，123456789101112131415162(951234567891011121314151612.(2020沈阳模拟)已知Sn是等差数列an的前n项和，S22，S36.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；解S22，S36，an4(n1)(6)6n10，1234567891011121314151612.(20212345678910111213141516(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由.解假设

20、存在n，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列，则2(Sn22n)SnSn3，23(n2)27(n2)2n3n27n7(n3)3(n3)2，解得n5.12345678910111213141516(2)是否存在12345678910111213141516技能提升练13.已知数列an是等差数列，若a93a110，a10a110，且数列an的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于A.20 B.17 C.19 D.2112345678910111213141516技能提升练1312345678910111213141516解析因为a93a110，所以a9a112a11a9a11a10a122(a11a10)0 ，所以a10a110.因为a10a110，a110，而S2010(a10a11)0，进而可得Sn取得最小正值时n19.故选C.12345678910111213141516解析因为a91234567891011121314151614.已知数列an满足a12，a23，且an2an1(1)n，nN*，则该数列的前9项之和为_.34123456789