课标版高考文科数学总复习专题9.5 抛物线及其性质（讲解练）教学讲练

1、专题九平面解析几何9.5抛物线及其性质高考文数考点一抛物线的定义及标准方程考点清单考向基础平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴.在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2=2px,x2=2py,其中p0.考向一抛物线定义的应用考向突破例1设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心轨迹为()

2、A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆解析由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.答案A例2(2019广西梧州调研,6)若抛物线x2=2py(p0)上一点(1,m)到其准线的距离为,则抛物线的方程为()A.x2=y B.x2=2y或x2=4yC.x2=4yD.x2=y或x2=4y考向二求抛物线的标准方程解析由已知可得m=,则+=,化简得2p2-5p+2=0,解得p=或p=2,所以抛物线方程为x2=y或x2=4y.答案D考向基础1.抛物线的几何性质考点二抛物线的几

3、何性质2.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p0)的关系(1)P在抛物线内(含焦点区域)2px0.3.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称作焦半径,记作r=|PF|.(1)y2=2px(p0),r=x0+;(2)y2=-2px(p0),r=-x0+;(3)x2=2py(p0),r=y0+;(4)x2=-2py(p0),r=-y0+.考向抛物线几何性质的应用考向突破例3(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为

4、x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.答案B例4(2019陕西西安陕师大附中等八校联考,15)已知F是抛物线C:y=2x2的焦点,点P(x,y)在抛物线C上,且x=1,则|PF|=.解析由y=2x2,得x2=y,则p=.由x=1得y=2,所以|PF|=2+=2+=.答案 考向基础1.AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;(3)弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x22=p,当且仅当x1=x2时,弦长|AB|最短,最小长度为2p;(4)弦长|AB|=(为AB的倾斜角).(5)若直线AB

5、的倾斜角为,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=,考点三直线与抛物线的位置关系|BF|=;(6)SAOB=(其中为直线AB的倾斜角);(7)+=;(8)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;(9)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切.2.AB为抛物线y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设直线AB的斜率k存在,且k0.(1)弦长|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|;(2)k=;(3)直线AB的方程为y-y0=(x-x0);(4)弦AB的垂直平分线方程为y-y0=-(x-x0).【知识拓展】1.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p0)

6、的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:(1)点P的轨迹是一条直线,为抛物线的准线l:y=-;(2)两切线互相垂直,即PAPB;(3)PFAB;(4)点P的坐标为.2.非焦点弦性质(1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过定点(2p,0),反之亦成立;(2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称轴上一点,则|MN|min= 考向一直线与抛物线相交的弦长问题考向突破例5(2019河南商丘九校联考)已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中

7、点C的横坐标是()A.2B.C.D. 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C的横坐标为x0,则x0=,因为AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,所以|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,所以x1+x2=3,故x0=.故选B.答案B考向二与抛物线有关的弦中点问题例6(2019黑龙江哈三中期中,14)已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB的中点恰好是点P,则弦AB所在的直线方程为.解析易知直线AB的斜率存在且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k(k0),联立整理得k2x2+2k(1-2k)-4

8、x+(1-2k)2=0,所以x1+x2=-,因为弦AB的中点为点P(2,1),所以-=4,解得k=2,所以弦AB所在的直线方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.答案2x-y-3=0一题多解易知直线AB的斜率存在且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k(k0),由已知可得两式相减可得-=4(x1-x2),则k=,又知弦AB的中点是点P,y1+y2=2,k=2,所求直线的方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.方法1求抛物线的标准方程的方法1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨迹类型,从而

9、确定p的值,得到抛物线的标准方程.2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0).方法技巧例1(2019湖南衡阳二模,15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点(-1,0)的直线与C交于A,B两点,若4|FA|+|FB|的最小值为19,则抛物线C的标准方程为.解析设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,x20),由得k2x2+2k2x+k2=2px,即k2x2+(2k2-2p)x+k2=0,x1

10、x2=1.由抛物线的定义知 |AF|=x1+,|BF|=x2+,4|FA|+|FB|=4+x2+=4x1+x2+p2+p=4+p,当且仅当4x1=x2时取等号,此时4|FA|+|FB|的最小值为4+p,4+p=19,解得p=6,抛物线C的方程为y2=12x.答案y2=12x方法2抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.例2(2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交

11、C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.3解析如图,因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以MNF为等边三角形.过F作FHMN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60=4=2.故选C. 答案C方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法有:把直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,则:(1)若方程的判别式0,则直线与抛物线相交;(2)若方程的判别式=0,则直线与抛物线相切;(3)若方程的判别式0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点M.(1)求抛物线C的方程;(2)若l1l2,求MAB面积的最小值.解析(1)焦点到准线的距离为2,即p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2分)(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y=x.(3分)设A,B,则l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由l1l2,得=-1,即x1x2=-4.(5分)设直线l的方程