2021课标版理数高考总复习专题6.4数列求和、数列的综合应用（讲解练）理科数学教学讲练

1、6.4数列求和、数列的综合应用高考理数考点一数列求和考点清单考向基础1.公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解.2.分组求和法根据数列或数列通项公式的特征,将其分解为一些可以直接求和的数列(如等差数列、等比数列、常数列等),再分组求和.3.错位相减法在数列anbn中,an是等差数列,bn是等比数列,可用错位相减法求此数列的前n项和.如等比数列的前n项和公式就是用此方法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和,分式型数列的求和多用此法.常见的裂项方法:(1)=-;(2)=;(3)=-;(4)=-;(5)=;(6)若an为等差数列,公差为d(d0),

2、则=.5.倒序相加法已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写,然后对两个求和的式子进行相加,即可求出该数列的前n项和.如等差数列的前n项和公式就是用此方法推导的.6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n),可采用并项求和法.考向突破考向数列求和例(2020届江西临川一中第一次联考,17)已知数列an满足-=0,且a1=.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.解析(1)因为-=0,所以an+1=an,又a1=,所以数列an为等比数列,且首项为,公比为.故an=.(2)由(1)知=

3、2n,所以+2n=2n+2n.所以Sn=+=2n+1+n2+n-2.考点二数列的综合应用考向基础1.数列与函数综合问题(1)已知函数解决数列问题时,一般利用函数的性质、图象来解决.(2)已知数列解决函数问题时,一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.2.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性比较大小,或者借助数列对应函数的单调性比较大小,还可以作差或作商比较大小;(2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题时,可转化为函数的最值问题;(3)

4、考查与数列有关的不等式的证明问题时,常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.考向突破考向一数列与函数的综合应用例1(2018江西南昌莲塘一中质量检测,16)函数f(x)=,g(x)=f(x-1)+1,an=g+g+g+g,nN*,则数列an的通项公式为.解析由题意知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),函数f(x)=为奇函数.g(x)+g(2-x)=f(x-1)+1+f(2-x-1)+1=f(x-1)+f(1-x)+2,由f(x)=为奇函数,知f(x-1)+f(1-x)=0,g(x)+g(2-x)=2.an=g+g+g+g,nN*,an=g+g+g+g,nN*,由+得2an=+=

5、(2n-1)2,则数列an的通项公式为an=2n-1.答案an=2n-1考向二数列与不等式的综合应用例2(2019河南郑州一模,10)已知数列an满足2an+1+an=3(nN*),且a3=,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是()A.8B.9C.10D.11解析由2an+1+an=3,得an+1-1=-(an-1),又a3=,a2-1=-2(a3-1)=-,a1-1=-2(a2-1)=9.an-1是首项为9,公比为-的等比数列,则an-1=9,an=1+9,则Sn=n+9=n+6-6,则|Sn-n-6|=3,|Sn-n-6|即39,满足不等式|Sn-n-6|的最小整

6、数n是10.故选C.答案C方法1错位相减法求和1.如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,常采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.方法技巧例1(2018河南、河北两省联考,18)已知数列an的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求证:数列为等差数列;(2)令bn=

7、2nan,求数列bn的前n项和Tn.解题导引 解析(1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得-=1,又=5,所以数列是首项为5,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(nN*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=52+722+923+(2n+3)2n,2Tn=522+723+924+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,所以-得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+2n+1)=(2n+3)2n+1-10

8、-=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.方法2裂项相消法求和1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式型数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例2(2019全国卷高三五省优创名校联考,17)设数列an的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求bn的前n项和Tn.解析(1)当n=1时,a2-a1=2;当n2时,由Sn=nan+