北京版高考数学总复习专题9.6直线与圆锥曲线的位置关系（讲解练）教学讲练

1、9.6直线与圆锥曲线的位置关系数学 北京专用考点直线与圆锥曲线的位置关系考点清单考向基础1.直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)=0中,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即消去y后得ax2+bx+c=0.(1)当a0时,若0,则直线l与曲线r相交;若=0,则直线l与曲线r相切;若0,x1、x2是方程ax2+bx+c=0的解.由根与系数的关系求出x1+x2=-,x1x2=,所以A、B两点间的距离|AB|=|x1-x2|,此即为弦长公式.也可以写成关于y的形

2、式,弦长公式为|AB|=|y1-y2|(k0).3.弦中点问题(1)已知AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,点A,B都在椭圆上,2.弦长公式直线l: f(x,y)=0,曲线r:F(x,y)=0,l与r的两个不同的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则两式相减得+=0,+=0,=-=-,故kAB=-.(2)已知AB是双曲线-=1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则kAB=.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦

3、,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中点M(x0,y0),则两式相减得-=2p(x1-x2),(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), =,即kAB=.【知识拓展】1.直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的主要内容之一,也是高考的一个热点问题,常利用一元二次方程根与系数的关系直接得到两交点的坐标之和与坐标之积,也可用平方差找到两交点的坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求弦中点所在直线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求弦中点的坐标.2.解答曲线关于直线对称的问题时,只需注意两点关于一条直线对称的条件:(1)两点

4、连线与该直线垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数);(2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合直线方程).考向直线与圆锥曲线的位置关系考向突破例(2019北京房山期末,19)已知椭圆M:+=1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1),焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)将|AB|表示为关于m的函数,并求OAB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意可知,c=,b=1,由a2=b2+c2,得a=,因此,椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),联立直线与椭圆的方程消去y得,4x2+6mx

5、+3m2-3=0,由直线与椭圆相交得=36m2-16(3m2-3)0,即m24,解得-2m2,由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=,|AB|=|x1-x2|=,因为点O到直线l的距离d=,所以,SOAB=|AB|d=(-2mb0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q共线,求k.解题导引解析(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x

6、1,y1),B(x2,y2).由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|AB|=.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得+3=3,+3=3.直线PA的方程为y=(x+2).由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC).所以xC+x1=.所以xC=-x1=.所以yC=(xC+2)=.设D(xD,yD).同理得xD=,yD=.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=-=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.

7、故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=1.方法2圆锥曲线中弦中点问题的求法1.点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式子中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.2.根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.例2(2019北京房山期末,17)已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)若P是抛物线C上一点,点A的坐标为,求|PA|+|PF|的最小值;(3)若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M,N两点,求线段MN的中点坐标.解析(1)由抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点,可得F,即=,所以p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.(2)P是抛物线C上一点,点A的坐标为,如图,过A作AB准线l,垂足为B,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|AB|=+=4,当且仅当A,P,B三点共线时,取得最小值4.(3)由题意可得直线MN的方程为y=x-,代入抛物线方程y2=2x,可得x2-3x+=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),