北京版高考数学总复习专题6.3等比数列（讲解练）教学讲练

1、6.3等比数列数学 北京专用考点一等比数列的有关概念及运算考点清单考向基础1.等比数列的通项公式2.等比数列an的前n项和公式(1)当q=1时,Sn=na1.(2)当q1时,Sn=.通项公式通项公式的推广an=a1qn-1(揭示首末两项的关系)an=amqn-m(揭示任意两项之间的关系)(2)同号的两个数才有等比中项.如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项,即G=(a,b同号).(1)a,G,b成等比数列G2=ab(ab0).3.等比中项考向突破考向一等比数列中的基本量运算例1(2019北京门头沟一模,11)等比数列an中,S3=21,2a2=a

2、3,则an=.解析设等比数列an的公比为q,由2a2=a3得q=2,因为S3=21,所以a1=3,所以an=32n-1.答案an=32n-1 考向二等比中项的运用例2(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列an的首项为a1,公差d0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由a1,a3,a9成等比数列,得=a1a9,从而(a1+2d)2=a1(a1+8d),因为d0,所以a1=d;若a1=d,则a3=3a1,a9=9a1,从而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比数列.综上,“a1,a3,a9成等比

3、数列”是“a1=d”的充要条件,故选C.答案C考点二等比数列的性质及应用考向基础1.等比数列an满足或时,an是递增数列;满足或时,an是递减数列.2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数为奇数时,还等于中间项的平方.3.等比数列的一些结论:(1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列.(2)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列;当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比数列.(3)若an是等比数列,则an,|an|皆为等比数列,公比分别为q和|q|(为

4、非零常数).(4)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.(5)an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn,成等比数列.(6)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与仍为等比数列,其中m是不为零的常数.(7)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则=q;若项数为2n+1,则=q.4.当q0且q1时,Sn=k-kqn(k0)是an为等比数列的充要条件,这时k=.考向突破5.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列an中,am,an,ap,aq的关系为aman=apaq.考向一判断数列是不是等比数列例3对任意等比数列an,下列

5、说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析不妨设公比为q,则=q4,a1a9=q8,a2a6=q6,当q1时,A、B均不正确;=q6,a2a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3a9=q10,知D正确.答案D考向二等比数列的性质及应用例4(2018北京海淀一模,15)已知等比数列an满足a1=1,a5=a2.(1)求数列an的通项公式;(2)试判断是否存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.解析(1)设an的公比为q,因为a5=a2,且a5=a2q3

6、,所以q3=,解得q=.所以an=a1qn-1=(n=1,2,). (2)不存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.因为a1=1,q=,所以Sn=2.解法一:令Sn=,则2=,得2n=-4,该方程无解.所以不存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.解法二:因为对任意的nN*,有1-1,所以Sn=22,所以不存在正整数n,使得an的前n项和Sn为.方法1等比数列的基本量运算解决等比数列有关问题的常用思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的

7、分类讨论,当q=1时,数列an的前n项和Sn=na1;当q1时,数列an的前n项和Sn=.方法技巧例1已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解题导引 解析(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的

8、前n项和为n(n+1),数列2n-1的前n项和为1=2n-1.所以数列bn的前n项和为n(n+1)+2n-1.方法2等比数列的判定方法1.定义法:若=q(q为非零常数,nN*)或=q(q为非零常数且n2,nN*),则数列an是等比数列.2.等比中项法:若数列an中,an0且=anan+2(nN*),则数列an是等比数列.3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列.4.前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=k-kqn(k为常数且k0,q0,1),则数列an是等比数列.其中前两种方法常用于证明等比数列,后两种方法常用于选择题和填空题中.若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.例2(2018北京通州期中,17改编)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4an-3