（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法课时闯关（含解析）

1、PAGE PAGE 9（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法课时闯关（含解析）一、选择题1(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(eq r(2)，eq r(5)，eq r(5)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90B60C45 D30解析：选D.coseq f(ab,|a|b|)eq f(r(3),2)，因此a与b的夹角为30.从而可得斜面与平面的夹角为30.2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为、，则

2、A120B60C75 D90解析：选D.建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则eq o(BA,sup6()(0,2,0)，eq o(GF,sup6()(1,1，1)，eq o(C1E,sup6()(1,2，1)，coseq o(BA,sup6()，eq o(GF,sup6()eq f(1,r(3)，coseq o(BA,sup6()，eq o(C1E,sup6()eq f(r(2),r(3)，coseq f(1,r(3)，sineq f(r(2),r(3)，coseq f(r(2),r

3、(3)，sineq f(1,r(3)，90，故选D.3(2010高考大纲全国卷)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.eq f(r(2),3)B.eq f(r(3),3)C.eq f(2,3) D.eq f(r(6),3)解析：选D.如图，连接BD交AC于O，连接D1O.由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DOeq f(r(2),2)，D1Oeq f(r(6),2)，cosDD1Oeq f(DD1,D1O)eq f(2,r(6)eq f(r(6),3).BB1与

4、平面ACD1所成角的余弦值为eq f(r(6),3).4直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1eq r(6)，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为()A60 B45C30 D90解析：选D.建立坐标系如图所示，易得M(0,0，eq f(r(6),2)，A1(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，eq r(6)，B1(1,0,0)，eq o(AB1,sup6()(1，eq r(3)，eq r(6)，eq o(A1M,sup6()(0，eq r(3)，eq f(r(6),2)eq o(AB1,sup6()eq o(A1M,sup6()103

5、eq f(6,2)0，eq o(AB1,sup6()eq o(A1M,sup6().即AB1A1M.5已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1A.eq f(8,3) B.eq f(3,8)C.eq f(4,3) D.eq f(3,4)解析：选C.如图建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，eq o(AD1,sup6()(2,0,4)，eq o(AB1,sup6()(0,2,4)，eq o(AA1,sup6()(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则eq bl

6、crc (avs4alco1(no(AD1,sup6()0，,no(AB1,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x4z0，,2y4z0，)解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则deq f(|o(AA1,sup6()n|,|n|)eq f(4,3)，故选C.二、填空题6(2012漳州调研)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，eq o(BC1,sup6()

7、(1,0,2)，eq o(AE,sup6()(1,2,1)，coseq o(BC1,sup6()，eq o(AE,sup6()eq f(o(BC1,sup6()o(AE,sup6(),|o(BC1,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(30),10).答案：eq f(r(30),10)7.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB则C(0,0,0)，A(eq r(3)，1,0)，B1(eq r(3)，1,2)，D(eq f(r(3

8、),2)，eq f(1,2)，2)，则eq o(CD,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，2)，eq o(CB1,sup6()(eq r(3)，1,2)设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由eq blcrc (avs4alco1(no(CD,sup6()0，,no(CB1,sup6()0，)解得n(eq r(3)，1,1)又eq o(DA,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，2)，sin|coseq o(DA,sup6()，n|eq f(4,5).答案：eq f(4,5)8.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，则二面角C

9、1ABC解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，eq o(AC1,sup6()(0,1,2)，eq o(AB,sup6()(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，0)设n(x，y，z)为平面ABC1的法向量，则eq blcrc (avs4alco1(f(r(3),2)xf(1,2)y0，,y2z0.)取n(eq f(2r(3),3)，2，1)，同理取m(0,0,1)作为平面ABC的法向量则cosm，neq f(1,r(f(19,3)eq f(r(57),19).二面角C1ABC的余弦值为eq f(r(57),19).答案：eq f(r(57),19)三、解答题9(2010高考

10、天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA112(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，eq f(3,2)，0)(1)易得eq o(EF,sup6()(0，eq f(1,2)，1)，eq o(A1D,sup6()(0,2，4)，于是coseq o(EF,sup6()，eq o(A1D,sup6()eq f(o(EF,sup6()o(A

11、1D,sup6(),|o(EF,sup6()|o(A1D,sup6()|)eq f(3,5).所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为eq f(3,5).(2)证明：易知eq o(AF,sup6()(1,2,1)，eq o(EA1,sup6()(1，eq f(3,2)，4)，eq o(ED,sup6()(1，eq f(1,2)，0)，于是eq o(AF,sup6()eq o(EA1,sup6()0，eq o(AF,sup6()eq o(ED,sup6()0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则eq blcrc (avs

12、4alco1(uo(EF,sup6()0，,uo(ED,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)yz0，,xf(1,2)y0.)不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，eq o(AF,sup6()为平面A1ED的一个法向量，于是cosu，eq o(AF,sup6()eq f(uo(AF,sup6(),|u|o(AF,sup6()|)eq f(2,3)，从而sinu，eq o(AF,sup6()eq f(r(5),3).所以二面角A1EDF的正弦值为eq f(r(5),3).10四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1)写出四棱锥PABCD

13、中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥PABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；(3)在四棱锥PABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为(090)，求cos的值解：(1)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD.CD平面PAC.(2)依题意AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如上图则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)E是PA的中点，点E的坐标为(0,0,1)，eq o(BE,sup6()(2,0,1)，eq o(PC,sup6()(2,2

14、，2)，eq o(PD,sup6()(0,4，2)设n1(x，y，z)是平面PCD的法向量由eq blcrc (avs4alco1(n1o(PC,sup6()，,n1o(PD,sup6()，)即eq blcrc (avs4alco1(2x2y2z0，,4y2z0，)取y1，得n1(1,1,2)为平面PCD的一个法向量eq o(BE,sup6()n12101120，eq o(BE,sup6()n1，eq o(BE,sup6()平面PCD.又BE平面PCD，BE平面PCD.(3)由(2)，平面PCD的一个法向量为n1(1,1,2)又AD平面PAB，平面PAB的一个法向量为n2(0,1,0)cos|

15、eq f(n1n2,|n1|n2|)|eq f(1,r(6)eq f(r(6),6).一、选择题1.如图所示，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1A.eq f(r(30),10) B.eq f(r(10),10)C.eq f(r(5),10) Deq f(r(30),10)解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,0)，B(0，2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0，2,2)D1、F1为A1B1、A1C1D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，eq o(BD

16、1,sup6()(1，1,2)，eq o(AF1,sup6()(1,0,2)，eq o(BD1,sup6()eq o(AF1,sup6()(1，1,2)(1,0,2)3，|eq o(BD1,sup6()|eq r(1122)eq r(6)，|eq o(AF1,sup6()|eq r(122)eq r(5)，coseq o(BD1,sup6()，eq o(AF1,sup6()eq f(3,r(6)r(5)eq f(3r(30),30)eq f(r(30),10).2.(2010高考北京卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若

17、EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A与x，y，z都有关B与x有关，与y，z无关C与y有关，与x，z无关D与z有关，与x，y无关答案：D二、填空题3已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2，则四面体ABCD的体积的最大值为_解析：过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCDeq f(1,3)2eq f(1,2)2heq f(2,3)h，当直径通过AB与CD的中点时，hmax2eq r(2212)2eq r(3)，故Vmaxeq f(4r(3),3).答案：eq f(4r(3),3)4.

18、(2011高考湖北卷)如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy(其中y轴与y轴重合)所在的平面为，xOx45.(1)已知平面内有一点P(2eq r(2)，2)，则点P在平面内的射影P的坐标为_；(2)已知平面内的曲线C的方程是(xeq r(2)22y220，则曲线C在平面内的射影C的方程是_解析：(1)设点P在平面内的射影P的坐标为x，y，则点P的纵坐标和P(2eq r(2)，2)纵坐标相同，所以y2，过点P作PHOy，垂足为H，连结PH，则PHP45，P横坐标xPHPHcos45xcos452eq r(2)eq f(r(2),2)2，所以点P在平面内的射影P的坐标为(2,2)；(

19、2)由(1)得xxcos45xeq f(r(2),2)，yy，所以eq blcrc (avs4alco1(xr(2)x,yy)代入曲线C的方程(xeq r(2)22y220，得(eq r(2)xeq r(2)22y220(x1)2y21，所以射影C的方程填(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答题5.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1平面A1DB，D为AC的中点(1)求证：平面A1ABB1平面BCC1B1；(2)求证：B1C平面A1DB(3)设E是CC1上一点，试确定点E的位置，使平面A1DB平面BDE，并说明理由

20、解：(1)证明：如图，连结AB1交A1B于O点，连结OD.AC1平面A1DB，A1B平面A1DB，AC1A1B.又在正方形A1ABB1中，A1BAB1，AC1AB1A.A1B面AC1B1.又B1C1面AC1B1A1BB1C1在正方形BCC1B1中有B1C1BB1又BB1A1BB，B1C1平面A1ABB1平面A1ABB1平面BCC1B1.(2)证明：由(1)知BC，BB1，BA两两垂直，如图以B为原点，BC，BB1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，设正方形边长为1，则C(1,0,0)，C1(1,1,0)，B1(0,1,0)，A1(0,1,1)，A(0,0,1)，D(eq f(1

21、,2)，0，eq f(1,2)由AC1平面A1DB，得平面A1DB的一个法向量为neq o(AC1,sup6()(1,1，1)eq o(B1C,sup6()(1，1,0)，eq o(B1C,sup6()n(1，1,0)(1,1，1)1100.又B1C平面A1DB，B1C平面A1(3)设点E(1，b,0)，平面BDE的法向量为m(x，y，z)，则由eq blcrc (avs4alco1(mo(BE,sup6()0，,m o(BD,sup6()0，)得eq blcrc (avs4alco1(xyb0，,f(1,2)xf(1,2)z0，)令y1，则m(b,1，b)，由mn(b,1，b)(1,1，1)

22、0，得beq f(1,2)，即当E为CC1中点时，平面A1DB平面BDE.6.(2011高考四川卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1eq blc(rc)(avs4alco1(1)求证：CDC1D；eq blc(rc)(avs4alco1(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；eq blc(rc)(avs4alco1(3)求点C到平面B1DP的距离解：法一：(1)证明：如图所示，连接AB1，与BA1交于点O，连接OD，PB1平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P平面B

23、DA1OD，ODPB1.又AOB1O，ADPD.又ACC1P，CDC1D.eq blc(rc)(avs4alco1(2)如图所示，过点A作AEDA1于点E，连接BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C由三垂线定理可知BEDA1，BEA为二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)212)eq f(r(5),2)，又SAA1Deq f(1,2)11eq f(1,2)eq f(r(5),2)AE，AEeq f(2r(5),5).在RtBAE中，BEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),

24、5)2)eq f(3r(5),5)，cosBEAeq f(AE,BE)eq f(2,3).故二面角AA1DB的平面角的余弦值为eq f(2,3).eq blc(rc)(avs4alco1(3)由题意知，点C到平面B1DP的距离是点C到平面DB1A的距离设此距离为h，VCAB1DVB1ACD，eq f(1,3)SDB1Aheq f(1,3)SACDB1A1.由已知可得APeq r(5)，PB1eq r(5)，AB1eq r(2)，在等腰AB1P中，SAB1Peq f(1,2)AB1eq r(AP2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AB1)2)eq f(3,2).SAB1Deq f(

25、1,2)SAB1Peq f(3,4).又SACDeq f(1,2)ACCDeq f(1,4)，heq f(SACDB1A1,SDB1A)eq f(1,3).故点C到平面B1DP的距离等于eq f(1,3).法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，0)，B1eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，0)，C1eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，0，1).eq blc(rc)(avs4alco1(1)证明：设C1Dx，ACPC1，eq f(C1P,AC)eq f(C1D,CD)eq f(x,1x).由此可得Deq blc(rc)(avs4alco1(0，1，x)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，1f(x,1x)，0).eq o(A1B,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，1)，eq o(A1D,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，x)，eq o(B1P,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，1f