统计学教案习题正态分布

1、2020/3/27第三章正态分布一、授课大纲领求(一)掌握内容1正态分布的看法和特色1）正态分布的看法和两个参数；2）正态曲线下面积分布规律。标准正态分布标准正态分布的看法和标准化变换。正态分布的应用1）估计频数分布；2）拟定参照值范围。(二)熟悉内容标准正态分布表。(三)认识内容1利用正态分布进行质量控制2正态分布是好多统计方法的基础二、授课内容精要(一)正态分布正态分布若X的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）f(X)1e(X)2(22)2X(3-1)则称X遵从正态分布，记号XN(,2)。其中、是两个不确定常数，是正态分布的参数，不相同的、不相同的对应不相同的正态分布。正态曲线呈钟型，两

2、头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。2正态分布的特色遵从正态分布的变量的频数分布由、完好决定。是正态分布的地址参数，描述正态分布的集中趋势地址。正态分布以态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。为对称轴，左右完好对称。正(2)描述正态分布资料数据分布的失散程度，越大，数据分布越分别，越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦高。(二)标准正态分布1标准正态分布是一种特其他正态分布，标准正态分布的0，21，平时用u（或Z）表示遵从标准正态分布的变量，记为uN（0，12）。2标准化变换：uX，此变换有特色：若X遵从正态分布N(,2)，则

3、u就遵从标准正态分布，故该变换被称为标准化变换。172020/3/27标准正态分布表标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-到u范围内的面积比率(u)。（三）正态曲线下面积分布1实质工作中，正态曲线下横轴上必然区间的面积反响该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不相同(X1,X2)范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算。X21(X)2(22)(u2)(u1)（3-2）DedxX12其中，u1X1，u2X2。2.几个重要的面积比率X轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间内的面积为%，横轴区间1.64内的面积为%，横轴区间1.96内的面积为%，横轴区间

4、2.58内的面积为%。（四）正态分布的应用某些医学现象，仿佛质集体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，表现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽遵从偏态分布，但经数据变换后的新变量可遵从正态或近似正态分布，可按正态分布规律办理。其中经对数变换后遵从正态分布的指标，被称为遵从对数正态分布。1.估计频数分布一个遵从正态分布的变量只要知道其均数与标准差即可依照公式（3-2）估计任意取值(X1,X2)范围内频数比率。拟定参照值范围1）正态分布法适用于遵从正态（或近似正态）分布指标以及能够经过变换后遵从正态分布的指标。（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单两侧界值

5、都应熟练掌握。表3-1常用参照值范围的拟定概率正态分布法百分位数法单侧单侧（%）两侧两侧下限上限限上限下90X1.64SX1.28SX1.28SP5P95P10P9095X1.96SX1.64SX1.64SP2.5P97.5P5P9599X2.58SX2.33SX2.33SP0.5P99.5P1P993.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以X2S作为上、下警戒值，以X3S作为上、下控制值。这样做的依照是：正常情况下测量（或实验）误差遵从正态分布。4.正态分布是好多统计方法的理论基础。t检验、方差解析、相关和回归解析等多种统计方法均要求解析的指标遵从正态分布。好多统计方法诚然不要求

6、解析指标遵从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，所以大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。三、典型试题解析1.正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。A95%B50%C%D不能够确定（与标准差的大小相关）答案：B评析本题考点：正态分布的对称性因为无论，取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于1，又正态曲线以X为对称轴呈对称分布，所以左右两侧面积相等，各为50%。2若X遵从以，为均数和标准差的正态分布，则X的第95百分位数等于()。182020/3/27A1.64B1.64C1.96D2.58答案：B评析本题考点：正态分布的对称性和面积分布规律正态分布曲线下1.64范围

7、内面积占90%，则1.64外的面积为10%，又据正态分布的对称性得，曲线下横轴上小于等于1.64范围的面积为95%，故X的第95百分位数等于1.64。3若正常成人的血铅含量X近似遵从对数正态分布，拟用300名正常人血铅值确定99%参照值范围，最好采用公式()计算。（其中Y=logX）A.X2.58SBX2.33SClog1(Y2.58SY)Dlog1(Y2.33SY)答案：D评析本题考点：对数正态分布资料应用正态分布法拟定参照值范围依照题意，正常成人的血铅含量X近似对数正态分布，则变量X经对数变换后所得新变量Y应近似遵从正态分布，所以能够应用正态分布法估计Y的99%参照值范围，再求反对数即得正

8、常成人血铅含量X的99%参照值范围。因血铅含量仅过大为异常，故相应的参照值范围应是只有上限的单侧范围。正态分布法99%范围单侧上限值是均数+倍标准差。4正常成年男子红细胞计数近似正态分布,95%参照值范围为(1012/L)。若一名成年男子测得红细胞计数为(1012/L)，则医生判断该男子必然有病。评析本题考点：参照值范围的涵义该成年男子不用然有病。因为参照值范围是指绝大多数正常人的指标值范围,故不在此范围内的对象也可能是正常人。5.假定正常成年女性红细胞数(1012/L)近似遵从均值为，标准差为的正态分布。令X代表随机抽取的一名正常成年女性的红细胞数，求：（1）变量X落在区间（，）内的概率；（

9、2）正常成年女性的红细胞数95%参照值范围。评析本题考点：正态分布的应用依照题意，变量X近似遵从正态分布，求变量X落在区间（，）内的概率，即是求此区间内正态曲线下的面积问题，所以，能够把变量X进行标准化变换后，借助标准正态分布表求其面积，详尽做法以下：P(4.00X4.50)P(4.004.18X)0.290.29P(0.62u1.10)1(1.10)(0.62)变量X落在区间,内的概率为。(2)问题属于求某个指标的参照值范围问题，因为正常成年女性红细胞数近似遵从正态分布，能够直接用正态分布法求参照值范围，又因该指标过高、过低都不正常，所以应求两侧参照值范围，详尽做法以下：下限为：X1.964

10、.181.96(0.29)3.61(1012/L)上限为：X1.964.181.96(0.29)4.75(1012/L)95%的正常成年女性红细胞数所在的范围是3.614.75(1012/L)。6.检查得成都市1979年996名女学生月经初潮年龄的分布以下，本资料宜用何法确定其两侧99%参照值范围试估计之。年龄1011121314151617181920合计192020/3/27人数7441532442691916116812996累计频率%评析本题考点：参照值范围的拟定解：本题所给资料明显属于偏态分布资料，所以宜用百分位数法估计其参照值范围。又所以指标过大、过小均属异常，故此参照值范围应是两

11、侧范围。（1）求P0.5第一要找到第百分位数所在组，依照累计频率序百分位数在第1组，所以得fL=0，LX10，fX=7，iX=1代入第二章百分位数的计算公式得：P0.5=10+1(4.980)=（岁）7（2）求先求第百分位数所在组为“18”组，所以得fL=985，LX18，fX=8，iX=1代入计算公式得：=18+1(991.02985)=（岁）899%参照值范围是（岁）。成都市女学生月经初潮年龄的两侧四、习题（一）单项选择题1.标准正态分布的均数与标准差分别为()。A0与1B1与0C0与0D1与12.正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A越大B越小C越大D越小3.对数正态分

12、布是一种()分布。A正态B近似正态C左偏态D右偏态4.正态曲线下、横轴上，从均数倍标准差到均数的面积为()。A95%B45%C%D%u的范围是()。5.标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度A到+B到+C到+D到+（二）名词讲解1正态曲线2正态分布标准正态分布标准化变换（三）简答题简述医学中参照值范围的涵义及拟定参照值范围的一般步骤。正态分布、标准正态分布与对数正态分布的联系与差异。3.对称分布在“XS标准差”的范围内，也包括95%的观察值吗（四）计算题1.假定5岁男童的体重遵从正态分布，平均体重=（kg），标准差=（kg）。随机抽查一5岁男童的体重，计算概率：其体重小于16.1k

13、g其体重要于22.9kg202020/3/27其体重在14.6kg到23.9kg之间试找出最重的5%、10%、%5岁男童的体重范围。2.某年某地测得200名正常成人的血铅含量（g/100g）以下，试确定该地正常成人血铅含量的95%参照值范围。3444445555555555666666677777777777778888151720242425252626262626272728282929303031313131603.测得某地300名正常人尿汞值，其频数表如表3-2，试用正态分布法和百分位数法估计该地正常人尿汞值的90%，95%，99%上限，谈论用何法估计较合适。表3-2300例正常人尿汞

14、值(g/l)频数表尿汞值例数尿汞值例数尿汞值例数049241648342728952-858329562125036460-164540564-202244-687214某市20岁男学生160人的脉搏数（次/分钟），经正态性检验遵从正态分布。求得X，S=。试估计脉搏数的95%、99%参照值范围。(g/g)从小到大排列，最后5.将测得的238例正常人发汞值14个发汞值以下，求95%单侧上限。发汞值：秩次：五、习题答题要点（一）单项选择题（二）名词讲解1正态曲线：正态曲线（normalcurve）是函数f(X)1e(X)2(22),X2对应的曲线。此曲线呈钟型，两头低中间高，左右对称。2正态分布：

15、若指标X的频率曲线对应于数学上的正态曲线，则称该指标遵从正态分布（normaldistribution）。平时用记号N(,2)表示均数为，标准差为的正态分布。3标准正态分布:均数为0、标准差为1的正态分布被称为标准正态分布（standardnormaldistribution），平时记为N(0,12)。4标准化变换：uX，此变换有特色：若X遵从正态分布N(,2)，则u就遵从标准正态分布，故该212020/3/27变换被称为标准化变换（standardizedtransformation）。（二）简答题1医学中常把绝大多数正常人的某指标范围称为该指标的参照值范围，也叫正常值范围。所谓“正常人”不

16、是指完好健康的人，而是指消除了所研究指标的疾病和相关因素的同质人群。拟定参照值范围的一般步骤：1）定义“正常人”，不相同的指标“正常人”的定义也不相同。2）选定足够数量的正常人作为研究对象。3）用一致和正确的方法测定相应的指标。（4）依照不相同的用途选定合适的百分界限，常用95%。5）依照此指标的实质意义，决定用单侧范围还是两侧范围。6）依照此指标的分布决定计算方法，常用的计算方法：正态分布法、百分位数法。三种分布均为连续型随机变量的分布。正态分布、标准正态分布均为对称分布，对数正态分布是不对称的，其峰值偏在左边。标准正态分布是一种特其他正态分布（均数为0，标准差为1）。一般正态分布变量经标准

17、化变换后的新变量遵从标准正态分布。对数正态分布不属于正态分布的范围，对数正态分布变量经对数变换后的新变量遵从正态分布。3.不用然。均数标准差范围内包括95%的变量值是正态分布的分布规律，不是对称分布的规律。对称分布不用然是正态分布。（三）计算题：解：（1）设该男童的体重为Xkg,则P(X16.1)P(X19.516.119.5)P(u1.48)(1.48)0.06942.32.3P(X22.9)1P(X22.9)X19.522.919.5P(u1.48)(1.48)0.06941P(2.3)12.3P(14.6X23.9)P(X23.9)P(X14.6)=P(X19.523.919.5)P(X

18、19.514.619.5)2.32.32.32.3P(u1.91)P(u2.13)=1(1.91)(2.13)（2）设最重的5%，10%，%男童体重的下限分别为x1kg，x2kg，x3kgP(Xx1)0.05x119.50.95P(u)2.3又P(u1.645)0.95x119.51.645x123.3（kg）P(Xx2)0.102.3因为正态分布关于均数对称，所以P(X19.5x219.5)P(X19.5x219.5)P(ux219.5)(x219.5)0.102.32.32.32.32.32.3查标准正态曲线下面积表x219.5故x222.4（kg）2.31.282同理x324.0（kg）解：正常成人的血铅含量近似对数正态分布，经对数变换后应近似遵从正态分布，所以对原始数据作对数变换，并编制频数表，再利用正态分布法求95%参照值范围。对数换算过程如表3-3所示。表3-3200名正常成人血铅含量（g/100g）对数值频数表对数组段真数组段频数222020/3/27314551062081192112291525183023202916368453571200依照表3-3，设x为对数组段的组中值，n=200，fx=230，fx2=fx279.04（mol/L）则X1.15n200fx2(fx)2n279.04(230)2/200mol/