全国初中数学竞赛习题

1、全国初中数学竞赛试题及参照答案一选择题（57=35）1.对正整数n，记n！=12.n,则1!+2!+3!+.+10!的末位数是()A0B1C3D5【解析】n5时，n！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3.本题选C2x5x532.已知关于x的不等式组x3tx2恰好有5个整数解，则t的取值范围是()A.6t1111C.6t1111B.6tD.6t22222x55x【解析】332tx20，则5个整数解是x19,18,17,16,15x3x2t1432t156t11注意到x15时，只有4个整数解所以2，本题选C3.已知关于x的方程xx2a2x恰好有一

2、个实根，则实数a的值有()个x2xx22xA1B2C3D4【解析】xx2a2xa2x22x4，下面先考虑增根：2xx22xx）令x0，则a4，当a4时，2x22x0,x11,x20（舍）；）令x2，则a8，当a8时，2x22x40,x11,x22（舍）；再考虑等根：）对2x22x4a0，48(4a)0a7，当a7,x1,21.故a4,8,71,1222，x1,共3个.本题选C224.如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为()A3B4C5D6【解析】设ABC底边BC上的高为h，则h48481212BC

3、4CFCFDE，SADESBDE1DEh1DEh1DE(hh)21222121DEh1DE126本题选D22DE5.在分别标有号码2,3,4,.,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是()1257A.B.C.D.491836C41C211182【解析】PC9236本题选B9二填空题（57=35）6.设a33，b是a2的小数部分，则（b2)3的值为【解析】考虑到a33，则a233239，238393273,b392,b239则2)3(39)39（b7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6掷这个正方体三次，则其向上的面的数的和为3

4、的倍数的概率是【解析】对第一次向上面为1时，后边两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；关于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后边两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有126，而总次数是666次，则其概率为P1261.66638.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为【解析】先消去c，再配方估计6a2ab216b26(a1)2(b8)26611224观察易知上式中a3，故a1,2,3，经试算，a1,2时，b均不是整数；当a3时

5、，b5,11，于是有(a,b,c)(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax3116120139.实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为根为c、d，则全部满足条件的数组（a、b、c、d）为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两【解析】由根与系数关系知abccda0bd,abd,cdb，尔后可得a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，忧如不慎重，希望官方答案10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天诚然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元

6、，则他最少卖出了支圆珠笔【解析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x7y2013,xy3504x7y20134x20128yy1x5032yy14令y1ky4k1，则x5032(4k1)k5057k，又xy350，即415057k4k1350k51kNk52，y4k145212073即他最少卖了207支圆珠笔三解答题（420=80）11如图，抛物线y=ax2+bx-3，极点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA直线y1x1与y轴交于点D，3求DBC-CBE【解析】易知yx22x3(x1)24，A(1,0),B(3,0)，C(0,3)，D(1,4)，作EFC于F

7、，连CE，易知OBC、CEF都是等腰直角三角形，则CBE是直角三角形分别在RtOBD、RtBCE中运用正切定义，即有OD1，CE21，则3BC323OB从而可得DBC-CBE=45o12如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点(不是端点)，满足CDAB，DECO，E为垂足，若CE=10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长【解析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，DE2CEOEDE210(r10)，又CD2CE2DE210210(r10)10r由订交弦定理（考虑垂径时）或连AC、BC用相似或三角函数，易知ADBDCD210r，而ADBD2r令ADx,

8、BDy，/即xy10r5yy0yx，xy2rx1，显然有5则0y1，即0y115y10，y为x5正整数，故y6,7,8,9，又x也为正整数，经逐一试算，仅当y6,x30这一组是正整数，故AD30.13设a、b、c是素数，记xbca,ycab,zabc，当z2y,xy2时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论ycabz2yz2118a【解析】yz2az2a0zzabc2a、b、c是素数，则abcz为整数，则18a2k1，k为正整数化简整理后，有k(k1)2ak1,k12a112a1(非质数）k2,k1a213z118aa3z3,22)z3,y9,x92x25,xz2bb11,b17,a

9、b3172017c不能够围成三角形;)z2,y4,x16,b9是合数综上所述，以a、b、c不能够围成三角形14若是将正整数M放在正整数m左侧，所获取的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（比方，把86放在415的左侧，获取的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)求正整数n的最小值，使得存在互不一样样的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都最少有一个为m的“魔术数”【解析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，an互不相等，不如设a1a2.an，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设ai7kit，（i1,2,3,.,n;t0,1,2,3,4,5,6），最少有一个为m的“魔术数”因为ai10km