新高考版数学高中总复习专题6.3等比数列（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 11学好数理化，走遍天下都不怕6.3等比数列基础篇固本夯基【基础集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.Sn是正项等比数列an的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案A2.在数列an中,满足a1=2,an2=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a6=64,则S7的值为(A.126B.256C.255D.254答案D3.已知an是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列1an的前n项和为Tn,则T5=(A.3116B.31C.158答案A4.已知正项等比数列an满足log2an+2-log2an=2,且a

2、3=8,则数列an的前n项和Sn=.答案2n+1-25.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.解析(1)证明:a1=1,Sn+1=4an+2,a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,b1=a2-2a1=3,当n2时,Sn=4an-1+2,Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1).又bn=an+1-2an,bn=2bn-1,n2,bn是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知:bn=an+1-2an=32n-1,a

3、n+12n+1数列an2n是首项为12,an2n=12+(n-1)34=34n-146.已知Sn为数列an的前n项和,且2Sn=3an-2(nN*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列b2n的前n项和Tn.解析(1)2Sn=3an-2,当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;当n2时,2Sn-1=3an-1-2,2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,2an=3an-3an-1,an=3an-1,数列an是首项为2,公比为3的等比数列,an=23n-1,Sn=2(2)由(1)知Sn=3n-1,bn=log3(Sn+1)=log33n=n,b2n=2n,Tn=2

4、+4+6+2n=n(2+2n7.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+(为常数).(1)试探究数列an+是不是等比数列,并求an;(2)当=1时,求数列n(an+)的前n项和Tn.解析(1)因为an+1=2an+,所以an+1+=2(an+).又a1=1,所以当=-1时,a1+=0,数列an+不是等比数列,此时an+=an-1=0,即an=1;当-1时,a1+0,所以an+0,所以数列an+是以1+为首项,2为公比的等比数列,此时an+=(1+)2n-1,即an=(1+)2n-1-.(2)当=1时,由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n2n,Tn=2+222+323+n2n,2

5、Tn=22+223+324+n2n+1,-得:-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=2n+1-2-n2n+1考点二等比数列的性质8.已知数列an为等比数列,且a1a13+2a72=4,则tan(a2a12)的值为(A.3B.-3C.3D.-3答案A9.在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16aA.2B.-2C.2D.-2或2答案D10.已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1答案A综合篇知能转换【综合集训】考法一等比数列基本量运算的解题技巧1.(2018湖

6、北荆州一模,9)已知数列an是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,则b3+b4A.12B.4C.2D.答案A2.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列an为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则an的前6A.15B.212C.6答案C3.(2018河南开封一模,5)已知等比数列an的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.12B.22C.2答案A4.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则3S3SA.134B.1312C.94答案C考法

7、二等比数列的判定与证明5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=50B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=50C.a,b,

8、c依次成公比为12的等比数列,且a=D.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且c=答案D6.(2019河南濮阳重点高中联考,17)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.解析(1)易知q0.当q=1时,Sn=na1.当q1时,Sn=a1+a2+an,qSn=a1q+a2q+anq=a2+a3+an+anq,(1-q)Sn=a1-anq,Sn=a1-a综上,Sn=n(2)证明:假设q1时,数列an+1是等比数列.则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),化为a1(q-1)2=0,易

9、知a10,解得q=1,与q1矛盾,因此假设不成立,故原结论成立,即q1时,数列an+1不是等比数列.【五年高考】考点一等比数列的有关概念及运算1.(2019课标,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B3.(2018北京,4,5分)“十二平

10、均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A.32fB.322fC.1225答案D4.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5答案1215.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2答案16.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项

11、和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=答案327.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案3n-18.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188

12、.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.9.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求解析(1)由题意得a1=

13、S1=1+a1,故1,a1=11-,a1由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1a因此an是首项为11-,公比为于是an=11-(2)由(1)得Sn=1-由S5=3132得1-15=3132解得=-1.(12分)方法指导(1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列an是等比数列,关键是得出an+1与an之比为常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出.考点二等比数列的性质10.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a

14、4=5,则a1a2an的最大值为.答案6411.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-1教师专用题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2013课标,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19答案C2.(2012课标,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D3.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则

15、q=.答案14.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3

16、q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=由e2=1+q2=53,解得因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-1q-15.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3

17、n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3(2)因为anbn=log3an,所以b1=13当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)3=23+1-31-n1所以Tn=1312-6n+34综上可得Tn=1312-6n+346.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=

18、3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求a(2)证明1a1+1a2+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=32,所以an+12是首项为an+12=3n2,因此an的通项公式为an(2)证明:由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1于是1a1+1a2+1an1+13+所以1a1+1a2+考点二等比数列的性质7.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B8.(2014大纲全国

19、,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列an的首项为a1,公差d0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2020届天津杨村一中第一次月考,2)等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12=()A.15B.30C.45D.60答案C3.(2020届山东济宁二中10月月考,11)九章算术第三章

20、“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为()A.20%;369B.80%;369C.40%;360D.60%;365答案A4.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列an中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=()A.14B.-14C.18答案A5.(2019湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案D6.(2019 53原创冲刺卷三,5)已知数列an为正项等比数列,a2=2,a3=2a1,则a1a2+a2a3+anan+1=()A.(2+2)1-(2)nB.(2+2)(2)n-1 C.2(2n-1)答案C7.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+,则=()A.-2B.-1C.1D.2答案A8.(2019 53原创冲刺卷八,5)已知等比数列an满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1a2an取到最大值时,n的值为()A.3B.4C.3或4D.5