北京版高考数学总复习专题8.2空间点、线、面的位置关系（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 13学好数理化，走遍天下都不怕8.2空间点、线、面的位置关系探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间点、线、面的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2019北京,12直线、平面的位置关系的判定分析解读1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题;会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本

2、节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,属中档题.破考点 练考向【考点集训】考点一点、线、面的位置关系1.(2020届北京朝阳期中,5)已知,是两个不同的平面,直线m,下列命题中正确的是()A.若,则mB.若,则mC.若m,则D.若m,则答案D2.(2019北京四中考前模拟,8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为23,动点P在对角线BD1上,过点P作垂直于BD1的平面,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设BP=x,则当x1,5时,函数y=f(x)的值域为()A.26,66B.26,18C.36,18D.36,66答案D考点二异面直线所成的角3.(2019北

3、京清华大学中学生标准学术能力测试文,10)已知正四面体ABCD,点E为棱AD的中点,O为BCD的中心,则异面直线EO与CD所成的角等于()A.30B.45C.60D.90答案C4.(2020届北京十四中期中,17(1)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,AB=AD=1,BC=2,又PB平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且DE=2PE.求异面直线PA与CD所成角的大小.解析取BC的中点F,连接AF,PF,则CF=AD,且CFAD,四边形ADCF是平行四边形,AFCD,PAF(或其补角)为异面直线PA与CD所成的角,PB平面ABCD,PBBA,PBB

4、F,PB=AB=BF=1,ABBC,PA=PF=AF=2,PAF是正三角形,PAF=60,即异面直线PA与CD所成的角等于60.炼技法 提能力【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判断方法1.(2020届北京清华大学中学生标准学术能力测试,2)已知空间中三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能答案D2.(2020届北京一七一中学月考,5)设,是两个不同的平面,m是直线且m,则“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B方法2异面直线所成角的求法3.

5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.52B.23C.25答案C4.在三棱锥P-ABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为A.58B.34C.78答案A5.已知P是ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=43,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90答案A【五年高考】A组自主命题北京卷题组(2019北京,12,5分)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l

6、.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案若lm,l,则m(答案不唯一)B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一空间点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请

7、将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH,因为EG平面EFGH,所以DHE

8、G.又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理,DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.考点二异面直线所成的角1.(2018课标全国,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为() A.22B.32C.52答案C2.(2016课标,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33答案A3.(2018课标,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1

9、,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.15B.56C.55答案C4.(2017课标,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105答案C5.(2018天津,17,13分)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解析本题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、

10、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.(1)证明:由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=AD2+因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=AD2+在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=12MNDM所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326(3)连接CM.因为ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMAB

11、,CM=3.又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=AC在RtCMD中,sinCDM=CMCD=3所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34C组教师专用题组1.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D2.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mn

12、B.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则答案D3.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析(1)证明:因为PD=PC,点E为DC的中点,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,交线为DC,所以PE平面ABCD.又FG平面ABCD,所以PEFG.(2)由(1)可知,PEAD.因为四边形ABCD为长方

13、形,所以ADDC.又因为PEDC=E,所以AD平面PDC.而PD平面PDC,所以ADPD.由二面角的平面角的定义,可知PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.在RtPDE中,PE=PD2-所以tanPDC=PEDE=73.从而二面角P-AD-C的正切值为(3)连接AC.因为FBAB=BGBC=13,所以易求得AC=35,PA=PD所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即PAC,在PAC中,cosPAC=PA2+所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为954.(2011北京文,17,14分)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,

14、PB的中点.(1)求证:DE平面BCP;(2)求证:四边形DEFG为矩形;(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.解析(1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DEPC.又因为DE平面BCP,PC平面BCP,所以DE平面BCP.(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DEPCFG,DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCAB,所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形.(3)存在点Q满足条件.理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG=12分别取PC,AB的中点M

15、,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=12EG,所以Q为满足条件的点评析本题考查线面平行、线线垂直、点到直线的距离等知识,考查空间想象力.第(3)问难度较大,利用(2)的结论作出恰当的辅助线是解题关键.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019北京人大附中调研理,3)已知m,n为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,一定能推出的是()A.mn,m,nB.mn,m,nC.mn,m,nD.mn,m,n答案B2.(2020届北京房山测试,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BD

16、,AD1的夹角是()A.30B.45C.60D.90答案C3.(2018北京海淀期末,8)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别是棱BC,C1D1的中点,点P在平面A1B1C1D1内,点Q在线段A1N上,若PM=5,则PQ长度的最小值为()A.2-1B.2C.355-1答案C4.(2019北京海淀练习,8)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是对角线AC1上的动点(点P与A,C1不重合),则下面结论中错误的是()A.存在点P,使得平面A1DP平面B1CD1B.存在点P,使得AC1平面A1DPC.S1,S2分别是A1DP在平面A1B1C1D1,平面BB

17、1C1C上的正投影图形的面积,对任意点P,S1S2D.对任意点P,A1DP的面积都不等于2答案C5.(2019北京人大附中调研文,6)如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且ABCD,若平面SAD平面SBC=l.现有以下四个结论:AD平面SBC;lAD;若E是底面圆周上的动点,则SAE的最大面积等于SAB的面积;l与平面SCD所成的角为45.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C6.(2020届北京高考模拟理,6)在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是()答案D7.(20

18、19 53原创冲刺卷)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1,D、E分别为棱BB1、AC的中点,AF=2BF,则直线C1D与EF的位置关系为()A.平行B.相交C.异面D.垂直答案B8.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,11)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则()A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9D.点C与点G到平面AEF的距离相等答案BC二、解答题(共25分)9.(2020届中学生标准学术能力基础性测试,16)如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AD=AC=BD=BC=3,点M为线段CD的中点.(1)求证:CD平面ABM;(2)若点P是线段CD上的动点(包括C、D两