2021课标版理数高考总复习专题11.5变量间的相关关系、统计案例试题练理科数学教学讲练

1、理科数学专项复习PAGE PAGE 18温故而知新，下笔如有神！11.5变量间的相关关系、统计案例探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程2018课标,18,12分 利用回归方程进行预测折线图2016课标,18,12分求线性回归方程和预测值折线图2015课标,19,12分求线性回归方程和预测值函数最值2.独立性检验了解一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)了解独立性检验(

2、只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用2018课标,18,12分独立性检验茎叶图2017课标,18,12分独立性检验频率分布直方图分析解读对于回归分析,高考考查较多,主要考查求线性回归方程、利用回归方程进行预测,一般以解答题的形式出现,难度中等,有时也会以小题的形式考查变量间的相关关系;对于独立性检验,一般以解答题的一问进行考查,常与概率知识交汇命题.考查学生的数据分析能力、逻辑推理能力.破考点 练考向【考点集训】考点一变量间的相关关系1.(2019安徽马鞍山二模,4)在一组样本数据(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)(n2,x

3、1、x2、xn互不相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线y=-2x+100上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.-1B.0C.12答案A2.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x,y之间的线性回归方程为y=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是(x681012y6m32A.变量x,y之间呈负相关关系B.可以预测,当x=20时,yC.m=4D.该回归直线必过点(9,4)答案C考点二独立性检验1.(2019广东湛江高考测试(二),5)有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性.这是真的吗?某社会调查机构与交警合作随机统

4、计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生,得到下面的列联表:男女合计无403575有151025合计5545100附:K2=nP(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706据此表,可得()A.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%B.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%C.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%D.认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%答案A2.(2018辽宁丹东期末教学质量监测,7)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运

5、用22列联表进行独立性检验,经计算K2=6.705,则所得到的统计学结论是:有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.()附:P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A.99.9%B.99%C.1%D.0.1%答案C炼技法 提能力【方法集训】方法1回归直线方程的求解与运用1.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月模拟,3)为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),根据收集到的数据可知x1+x2+

6、x3+x4+x5=100,由最小二乘法求得回归直线方程为y=0.67x+54.8,则y1+y2+y3+y4+y5的值为(A.68.2B.341C.355D.366.2答案B2.(2018河北石家庄二模,18)随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2017年18月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据:月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系,请建立y关于x的回归方程y=bx+a(2)已知6月份该购物网站为庆

7、祝成立1周年,特制订奖励制度:用Z(单位:件)表示日销量,若Z1 800,2 000),则每位员工每日奖励100元;若Z2 000,2 100),则每位员工每日奖励150元;若Z2 100,+),则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量Z服从正态分布N(2 000,10 000),请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位)参考数据:i=18xiyi=338.5,i=18xi2=1 308,其中x参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n若随机变量Z服从正

8、态分布N(,2),则P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5.解析(1)由题意可知x=18(2+3+6+10+13+21+15+18)=11,y=1b=i=18xia=y-bx=3-0.2211=0.58,y关于x(2)该网站6月份日销量Z服从正态分布N(2 000,10 000),P(1 800Z2 000)=0.954 P(2 000Z2 100)=0.682 P(Z2 100)=0.5-0.341 35=0.158 65,该员工当月的奖励金额总数为(0.477 25100+0.341 35150+0.158 65200)303 919.73(元).方法2独立性检验(

9、2020届广西玉林第二次月考,18)某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平考试成绩共同构成.该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.P(K2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879K2=n(ad-(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的22列联表,并判断能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”;赞成不赞成合计城镇居民农村居民合计(2)用样本的频率估计概率,

10、若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人,记这3位家长中是城镇户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X).解析(1)完成22列联表如下:赞成不赞成合计城镇居民301545农村居民451055合计7525100(2分)K2=100(300-没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.(5分)(2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6,抽中农村户口家长的概率为0.4,(6分)X的可能取值为0,1,2,3.(7分)P(X=0)=0.43=0.064,P(X=1)=C310.60.4P(X=2)=C320.6P(X=3)=C330.6

11、3=0.216,(9X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216(10分)E(X)=00.064+10.288+20.432+30.216=1.8.(12分)【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一变量间的相关关系1.(2018课标,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,

12、7)建立模型:y(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解析(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.

13、2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.方法总结利用直

14、线方程进行预测是对总体的估计,此估计值不是准确值;利用回归方程进行预测(把自变量代入回归直线方程)是对因变量的估计,此时,需要注意自变量的取值范围.2.(2015课标,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-i=18(wi-i=18(xi-x)(yii=18(wi-w)(yi46.65636.8289.81.61 469108.8表中(1)根据散点图判断,y=a+bx

15、与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui-u解析(1)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)(2)令w=

16、x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d=i=1c=y-d 所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(6(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.(9分(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x所以当x=13.即x=46.24时,z取得最大值故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)思路分析(1)根据散点图中点的分布趋势进行判断.(2)先设中间量w=x,建立y关于w的线

17、性回归方程,进而得y关于x的回归方程.(3)(i)将x=49代入回归方程求出y的预报值,进而得z的预报值,(ii)求出z关于x的回归方程,进而利用函数方法求最大值.考点二独立性检验1.(2018课标,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将

18、完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

19、钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产

20、任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于 K2=40(1515思路分析(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎,作出判断;(2)通过茎叶图确定数据的中位数,按要求完成22列联表;(3)根据(2)中的列联表,将有关数据代入公式计算得K2的值,查表作出统计推断.解后反思独立性检验问题的常见类型及解题策略(1)已知分类变量的数据,判断两个分类变量的相关性,可依据数据及公式计算K2,然后作出判断;(2)独立性检验与概率统计

21、的综合问题,关键是根据独立性检验的一般步骤,作出判断,再根据概率统计的相关知识求解.2.(2017课标,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到

22、0.01).附:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,K2=n(解析(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.(2

23、)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5解后反思解独立性检验问题的关注点:(1)两个明确:明确两类主体;明确研究的两个问题.(2)两个关键:准确画出22列联表;准确理解K2.B组自主命题省(区、市)卷题组1.(2017山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x

24、之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110 xi=225,i=110yi=1 A.160B.163C.166D.170答案C2.(2015福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元答案BC组教师专用题组1.(2016课标,18,12分)下图是

25、我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附:参考数据:i=17yi=9.32,i=17tiyi参考公式:相关系数r=i回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,i=17(ti-t)2i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyr2.890.因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性

26、回归模型拟合y与t的关系.(6分)(2)由y=9.3271.331及(1)得b=a=y-bt所以,y关于t的回归方程为y=0.93+0.10t.(10分将2016年对应的t=9代入回归方程得y所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)2.(2014课标,19,12分,0.311)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007

27、年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti解析(1)由所给数据计算得t=17y=17i=17(ti-ti=17(ti-t)(yib=i=1a=y-b所求回归方程为y(2)由(1)知,b=0.50,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.易错警示解题时容易出现计算错误,计算时一定要仔细.【三年模拟】一、选择题(每小题

28、5分,共15分)1.(2020届四川天府名校第一轮联合测评,6)根据最小二乘法,由一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,300)求得的回归方程是y=bx+a,则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线y=bx+B.若所有样本点都在回归直线y=bx+a上C.对所有的解释变量xi(i=1,2,300),bxi+a的值一定与yD.若回归直线y=bx+a的斜率b0,则变量答案D2.(2019山东第一次大联考,6)相关变量X,Y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程y=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数

29、据得到线性回归直线方程:y=b2x+a2A.0r1r21B.0r2r11C.-1r1r20D.-1r2r1b,an;直线l1过点A3;i=15(yi-bxi-a)2i=15(yi-mxi-n)2;i=15|yi-参考公式:b=正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B二、填空题(共5分)4.(2018湖南师大附中月考(三),14)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:感染未感染总计服用疫苗104050未服用疫苗203050总计3070100参照附表,在犯错误的概率不超过(填

30、百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”.参考公式:K2=n(ad-附表:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案5%三、解答题(共35分)5.(2020届山西大同开学学情调研,19)学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.(1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表:对教

31、师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关?(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的人数为随机变量X.求对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的人数X的分布列(概率用组合数算式表示);求X的数学期望和方差.附:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)解析(1)由题意可得关于教师教学水平

32、和教师管理水平评价的22列联表:对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评12060180对教师教学水平不满意10515120合计22575300由表中数据可得K2=300(12015-60105(2)对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的概率为25,且X的取值可以是0,1,2,3,4,P(X=0)=35P(X=1)=C412P(X=2)=C422P(X=3)=C432P(X=4)=25所以X的分布列为X01234P3C41C42C432由于XB4,25,则E(X)=425=85,D(X)=42名师点睛求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量

33、的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算,对于二项分布的均值和方差根据公式直接计算即可.6.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,19)随着智能手机的普及,手机计步软件迅速流行开来,这类软件能自动记载每个人每日健步的步数,从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况,从本市市民中随机抽取了2 000名市民(其中不超过40岁的市民恰好有1 000名),利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数,并将样本数据分为3,5),5,7),7,9),9,11),11,13),13,15),15,17),17,19),19,21九组(单位:千步),将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图:将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下,并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.分组(单位:千步)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13)13,15)15,17)17,19)19,21频数1020203040020020010020(1)现规定,日健步步数不低于13