新高考数学大一轮复习讲义专题11 导数中的同构问题（解析版）

1、专题11 导数中的同构问题 【考点预测】知识点一、常见的同构函数图像函数表达式图像函数表达式图像函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点过定点函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。指对各一边，参数是关键；常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；信手拈来凑同构，凑常数、参数；复合函数（

2、亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）（3）（4）（5）（6）再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为

3、例进行引申：（7）；（8）；【题型归纳目录】题型一：不等式同构题型二：同构变形题型三：零点同构题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构求最值题型六：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：不等式同构例1（2022陕西西安中学模拟预测（理）已知，且，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.【详解】设函数，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，得，因为，所以，则，且，所以.故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.例2（

4、2022河南焦作三模（理）设，则（）ABCD【答案】A【解析】【详解】因为，所以设，则，令，则当时，所以，所以当时，所以在上单调递增，从而，因此，即综上可得故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，可以作差进行比较大小，而的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.例3（2022四川广安二中模拟预测（理）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】构造，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.【详解】构造，

5、则恒成立，则，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，又，所以，D错误，因为，所以，所以，所以，A错误，B正确.令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，即，因为，所以因为，所以，因为在在单调递减，所以，即因为在上单调递减，所以，C错误故选：B【点睛】结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造进行求解.题型二：同构变形例4（2022全国高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)【答案】(1)，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.(6)，.(

6、7)，.(8)，.【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.(1)显然，则，.(2)显然，则，.(3)显然，则，.(4)显然，则，.(5)，.(6)，.(7)，.(8)，.题型三：零点同构例5（2022全国高三专题练习）已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（）A0B1C2D3【答案】C【解析】【分析】先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.【详解】，设，即函数在上单调递增，易得，于是问题

7、等价于函数在R上有两个零点，若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若，则时，单调递减，时，单调递增.因为函数在R上有两个零点，所以，而，限定 ，记，即在上单调递增，于是，则时 ，此时，因为，所以，于是时，.综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.故选：C.例6（2021全国模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式若关于的方程和关于的方程（，）可化为同构方程，则_，_ 【答案】 3 8【解析】【分析】两个方程分别取自然对数，转化后由同构的定义求得，然后利用新函数的单调性得关系，从而求

8、得的值【详解】对两边取自然对数得对两边取自然对数得，即因为方程，为两个同构方程，所以，解得设（），则，所以函数在上单调递增，所以方程的解只有一个，所以，所以，故故答案为：3；8例7（2021安徽安庆高三阶段练习（理）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.（1）求的值；（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据同构方程的定义，以及关于的方程和关于的方程可化为同构方程知，； 在 单调递增，所以方程的解只有

9、一个得，则可得；（2）将所要证明的转化为证明利用换元法将双变量化为单变量，故等价于证，通过证明和来达到证明原式的目的.【详解】（1）对两边取自然对数，得(1),对两边取自然对数，得即，因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，设 ，则 ,所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,所以 ，所以 ，故 .（2）由（1）知：所以要证，即证明等价于令 ，则只要证明 即可，由 知， ，故等价于证设 则 ，即 在 单调递增，故 ，即 .设则 ，即在单调递增，故，即 。由上可知成立，则.例8（2022辽宁大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若函数有两个零点

10、，求实数a的取值范围【答案】(1)单调递增区间为；单减区间为(2)【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围.(1)函数的定义域为，函数的单调递增区间为；单减区间为(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，即有两个实根即整理为，设函数，则上式为，因为恒成立，所以单调递增，所以所以只需使有两个根，设由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，故函数在处取得极大值，当时，；当时，要想有两个根，只需，解得：所以a的取值范围是题型四：利用同构解决不等式恒成立问题例

11、9（2022陕西长安一中模拟预测（理）若对任意，恒有，则实数的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.【详解】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，函数在上单调递增当时，函数在上单调递减则在上有且

12、只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.例10（2022河南高三期末（理）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先对不等式进行化简换元得到，结合，对进行分类讨论，得到不同情况下的单调性及极值，进而判断出结果.【详解】整理为：，其中，故，令，则，注意到：，其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，不合题意，舍去；故不满足题意，舍去；当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时

13、，不合题意，舍去；当时，故不合题意，舍去.综上：a的取值范围是.故答案为：【点睛】求解参数的取值范围，对于不容易参变分离的函数，处理方法，往往要结合函数解析式的特征，构造新函数，而在构造新函数的过程中，同构是针对于同时出现指数函数与对数函数的一种有效方法，要能灵活应用.例11（2022全国高三专题练习）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.【详解】对于任意，不等式恒成立对于任意，即恒成立当时，；当，设，则，所以在上单调递增，由，知

14、，即，即设，求导令，得当时，单调递减；当时，单调递增；在处取得极大值，且为最大值， 所以时，不等式恒成立故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.例12（2022全国高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】首先不等式变形为，经讨论不成立，当时，不等式变形为，通过设函数，转化为不等式恒成立，通过函数的单调性，和正负区间，讨

15、论求的取值范围.【详解】解：若，时，此时不恒成立，令，时，在单调递减，单调递增，时，原不等式恒成立； 时，令，时，时，在单调递减，在单调递增，即，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明 不恒成立，第二个关键是时，不等式的变形，构造函数，第三关键是证明.例13（2022全国高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，再分离参数转化为，然后求出函数的最大值，即解出【详解】可变为， 再变形可得，设，原不等式等价于，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，当时，所

16、以由可得，因为，所以设，所以函数在上递增，在上递减，所以，即当时，不等式在恒成立；当时，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数法的应用，利用函数的单调性解不等式，分离参数法的应用，导数在研究函数中的应用，解题关键是构造合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，转化能力和数学运算能力，属于难题例14（2022全国高三专题练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】化简得，从而，构造函数，有单调性得，再化简得，再构造函数，求得最大值即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，设函数，所以函数在为

17、增函数，所以所以，设函数，所以函数在为增函数，在为减函数，所以，所以的最大值为，故选：A.例15（2022全国高三专题练习）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，则，令，则，在单调递增，存在唯一零点，且，使得，在单调递减，在单调递增，即，令，显然在单调递增，则，即，则，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.例

18、16（2022河南高三阶段练习（文）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.【详解】依题意，令，则令，则，所以在上单调递减，则，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在单调递增，故所以，实数的取值范围是.故选：D【点睛】同构思想，在利用导函数求解参数的取值范围问题上，经常考察，通常题目特征为题干条件中同时出现了指数函数和对数函数，则可以考察同构的方法.例17（2022全国高三专题练习（理）已知函数，对，恒有，则实数a的

19、取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先求导确定在上单调递减，由得到，构造函数得在上单调递减，即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.【详解】由题意知，定义域为，又，故，在上单调递减，不妨设，对，恒有，即，令，由上可知在上单调递减，则在上恒成立，从而恒成立，设，当时，单减；当时，单增；，故.故选：D.【点睛】本题关键点在于由的单调性，将转化为，从而得到在上单调递减，即在上恒成立，参变分离后求出a的取值范围即可.例18（2022全国高三专题练习（理）已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】参变分离，构造函数，研究单调性，得到，再构造，研

20、究其单调性，得到有解，进而得到，求出结果.【详解】因为，所以，则当时，不等式恒成立等价于设，则当时，单调递增；当时，单调递减则，即，即，当且仅当时，等号成立设，则由，得；由，得则在上单调递减，在上单调递增因为，所以有解，则，当且仅当时，等号成立，从而，故故选：B【点睛】参变分离是一种求解参数取值范围的重要方法，参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂.例19（2022安徽亳州高三期末（理）已知，若时，恒成立，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递减，因为

21、，所以，因为，所以，两边取对数得，即，故，令，当时，当时，故在上取得最大值，故，综上：的最小值为.故选：C.【点睛】结合不等式特点，构造函数，结合函数不等式问题，要利用导函数研究其单调性，结合参变分离及最值问题处理恒成立问题.例20（2022安徽合肥高三期末（理）若不等式对恒成立（为自然对数的底数），则实数a的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题设易得，并将原不等式化为，构造结合导数研究单调性，可得，进而有在上恒成立，再构造，应用导数求其最小值，即可确定a的范围，即知最大值.【详解】由题设，在上恒成立，即，原不等式可化为，即，令，则，即在上递增，由上知：，则，即在上恒成立，令，则

22、，又，即，故在上递减，故，可得，综上，故a的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：将原不等式转化为，应用同构法构造，并确定其单调性得在上恒成立，进而构造中间函数应用导数求最值，可得参数范围.例21.（2022全国高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先利用同构变形得到，构造函数，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故

23、，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是当时，从四个选项均为负，考虑，此时有，两边取对数得：，所以令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，此时无解，综上：故a的最小值是故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.题型五：利用同构求最值例22（2022全国高三专题练习）已知函数，若，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.【详解】由题意，得，即，又，得在上单调递

24、增，综上知：，令，则，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.，故选：C【点睛】关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.例23（2022全国高三专题练习（理）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（）A7B9C11D12【答案】B【解析】【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.【详解】解：易知等价于令，则令得当时；当时所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值令，则当时不符合，舍去，所以则，当时；当时所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值若成立，只需，

25、即，即两边取自然对数可得当时等式成立；当时有令，本题即求的最大的正整数恒成立，则在上单调递减因为，所以的最大正整数为9故选：B题型六：利用同构证明不等式例24（2022福建南平三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，分和讨论单调性即可；（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.(1)定义域为，当时，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，

26、单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，又， ，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，即，因为，所以可化成，又因为，所以.例25（2022四川眉山三模（文）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；(2)详解

27、解析.【解析】【分析】（1）由题可得，构造函数，利用导数可得当或时，当时，进而即得；（2）由题可转化为证明，构造函数，利用导数可得，结合（1）即证.(1)，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，又，当或时，即单调递增，当时，即单调递减，综上，的单调增区间为，单调减区间为；(2)，要证，即证，也就是证，设，则，当时，单调递增，由（1）可知当时，即，当时，所以，当时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再

28、构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.例26（2022河北高三阶段练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导确定的单调性即可；（2）令，先证，构造函数，求导确定的单调性进而证得；再证，构造函数，求导确定单调性进而证得.(1)，定义域为，由，解得，由，解得，由，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为(2)a，b为两个不相等的正数，且，即，由（1）可知，且，时，则令，则为的两根，且，不妨设，则，先证，即证，即证，令，即证在上，则，在上单调递增，即，在上恒成立，即在上单调递减，即可得；再证，即证，由（1）单调性可得证，令，在上单调