勒让德猜想证明_第1页
勒让德猜想证明_第2页
勒让德猜想证明_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、勒让德猜想证明勒让德是法国数学家。1752年 9月 18日生于巴黎,1833年 1 月10日卒于巴黎。1770 年毕业于马萨林学院。1782年以外弹道方面的论文获柏林科学院奖。1783 年被选为巴黎科 学院助理院士,两年后升为院士。勒让德主要从事数学分析、几何学、数论以及天体力学研究,并且建立了许多重 要的定理,尤其是在数论和椭圆积分 ( Elliptic Integrals )方面,提出了对素数定理( Prime Number Theorem )和二次互反律( Quadratic Reciprocity )的猜测并发表了初等几何教 科书。1912年,爱德蒙兰道在国际数学家会议上列出了关于质数

2、的四个基本问题:第一问题 是哥德巴赫猜想;第二个问题是孪生质数猜想;第三个问题是勒让德猜想;第四个问题是是否存在无限多形如n2 +1的质数。那么什么是勒让德猜想呢?勒让德猜想:在平方数n2和(n +1)2之间至少有一个质数。这个问题从提出到现在一直没有证明出来。下面就让我 给大家证明一下。首先我们需要给出不超过正整数n的质数的个数。定理1:设n为正整数,p , p ,p为n的前部素数,那么1 2 m兀(n) = m + n n (1-丄)-1。证明:设 n为正整数,p , p ,p 为n的前部素数,若 12mk0,ki,kp 1,kr = pq + r|q为整数是p的剩余类。不难知道,所有整数

3、均匀分布在这p个剩余类中,若在1,2, ,n内任取一个整数a则p| a的概率定义为1/p,那么p不整除a的概率即为1-丄,若p n是素数,每一个p能否有p不整除a可视为独立事 p件,故在1,2, ,n内,任取一数b不能被p整除的概率为n (1-丄),在1,2,,pp nn内,不能被p整除的就是后部素数和1,因为前部素数p是能被p整除的,p|p。所以n n (1-丄) 等于后部质数的个数加1,又因为前部素数的个数为m,因此,,所以我们有。广 pp n (n)故无论n+1为合数或是素数,总有n (n+1)$n (n)所以n (n)是不减函数,所以n (n+1)n (n) $0做好了以上的准备工作,

4、下面我们就可以开始证明勒让德猜想了定理2:已知:对于任意的正整数n,n2和(n +1)2是平方数。求证:在平方数加和(n +1)2之间至少有一个质数,也即是兀G +1)2 兀(n 2)证明:用反证法,假设弓“使兀(n +1)2兀 (n2 )又因为n2 (n +1)2,由引理知兀(n +1)2卜兀C),根据假设可以得到兀(n +1)2=兀(n2)0当兀(n +1)=兀(n)时,也就是说n2和(n +1)2有相同的前部质数。根据质数的个数公式兀(n + 1匕=(n + 1匕 兀(n + 1匕=(n + 1匕 Hi =1(n +1)2 FIi=1(n +1)2 Hi=1r 1)1 + m 1 = n

5、2 I P.丿i丄I Pii1 )1 一 + m 1,兀IP.丿ir 1)1 + m 1, I P.丿i(n2 )= n2 冋i=1r 1)1 一 + m 1,所以 IP.丿i也就是=n 2 Hf1 丄1,又因为Hf1 丄1丿.=1I P.丿. =1I P.丿.i=1丰0,所以n2 = (n + 1匕故n +1 = 0,所以可以得到n = 1,这与n为正整数矛盾,故假设错误。当兀(n + 1)h兀(n)时,也就是说兀(n +1)=兀(n)+1,此时n+1必为质数。根据质数的个数公式r1 根据质数的个数公式r1 111 +i p.丿i兀(n +1)2 = (n + 1匕 H. =1(m +1) 1,兀(n2 )= n2H. =1r 1)1 + m 1, I P.丿i所以, (n+1)2Hm+11-丄1+(m+1)1 = n2H1-丄1. =11 P.丿. =11 P.丿.+ m -1,也就是(n + 1匕 Hi =1r (n + 1匕 Hi =1r 1)1 +1 = n2 IPi丿iHmi =11-丄又因为Hpi 丿ii =1r 1)1丰0,所以,I p.丿i(n +1)2+ -? = n(n +1)2+ -? = n2,也即是(n + 1)n +i=11=n 2,所以,1 - 11I p.丿ii=1综上所述,n =-(i=1设错误。nm 11 -pi 丿

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论