勒让德猜想证明

1、勒让德猜想证明勒让德是法国数学家。1752年 9月 18日生于巴黎，1833年 1 月10日卒于巴黎。1770 年毕业于马萨林学院。1782年以外弹道方面的论文获柏林科学院奖。1783 年被选为巴黎科 学院助理院士，两年后升为院士。勒让德主要从事数学分析、几何学、数论以及天体力学研究，并且建立了许多重 要的定理，尤其是在数论和椭圆积分 ( Elliptic Integrals )方面，提出了对素数定理( Prime Number Theorem )和二次互反律( Quadratic Reciprocity )的猜测并发表了初等几何教 科书。1912年，爱德蒙兰道在国际数学家会议上列出了关于质数

2、的四个基本问题：第一问题 是哥德巴赫猜想；第二个问题是孪生质数猜想；第三个问题是勒让德猜想；第四个问题是是否存在无限多形如n2 +1的质数。那么什么是勒让德猜想呢？勒让德猜想：在平方数n2和(n +1)2之间至少有一个质数。这个问题从提出到现在一直没有证明出来。下面就让我 给大家证明一下。首先我们需要给出不超过正整数n的质数的个数。定理1：设n为正整数，p , p ,p为n的前部素数，那么1 2 m兀(n) = m + n n (1-丄)-1。证明：设 n为正整数，p , p ,p 为n的前部素数，若 12mk0,ki，kp 1，kr = pq + r|q为整数是p的剩余类。不难知道，所有整数

3、均匀分布在这p个剩余类中，若在1，2， ，n内任取一个整数a则p| a的概率定义为1/p,那么p不整除a的概率即为1-丄，若p n是素数，每一个p能否有p不整除a可视为独立事 p件，故在1,2, ,n内，任取一数b不能被p整除的概率为n (1-丄)，在1,2,，pp nn内，不能被p整除的就是后部素数和1,因为前部素数p是能被p整除的，p|p。所以n n (1-丄) 等于后部质数的个数加1,又因为前部素数的个数为m,因此,，所以我们有。广 pp n (n)故无论n+1为合数或是素数，总有n (n+1)$n (n)所以n (n)是不减函数，所以n (n+1)n (n) $0做好了以上的准备工作，

4、下面我们就可以开始证明勒让德猜想了定理2:已知：对于任意的正整数n，n2和(n +1)2是平方数。求证：在平方数加和(n +1)2之间至少有一个质数，也即是兀G +1)2 兀(n 2)证明：用反证法，假设弓“使兀(n +1)2兀 (n2 )又因为n2 (n +1)2，由引理知兀(n +1)2卜兀C),根据假设可以得到兀(n +1)2=兀(n2)0当兀(n +1)=兀(n)时，也就是说n2和(n +1)2有相同的前部质数。根据质数的个数公式兀(n + 1匕=(n + 1匕 兀(n + 1匕=(n + 1匕 Hi =1(n +1)2 FIi=1(n +1)2 Hi=1r 1)1 + m 1 = n

5、2 I P.丿i丄I Pii1 )1 一 + m 1，兀IP.丿ir 1)1 + m 1， I P.丿i(n2 )= n2 冋i=1r 1)1 一 + m 1，所以 IP.丿i也就是=n 2 Hf1 丄1，又因为Hf1 丄1丿.=1I P.丿. =1I P.丿.i=1丰0，所以n2 = (n + 1匕故n +1 = 0，所以可以得到n = 1，这与n为正整数矛盾，故假设错误。当兀(n + 1)h兀(n)时，也就是说兀(n +1)=兀(n)+1，此时n+1必为质数。根据质数的个数公式r1 根据质数的个数公式r1 111 +i p.丿i兀(n +1)2 = (n + 1匕 H. =1(m +1) 1，兀(n2 )= n2H. =1r 1)1 + m 1， I P.丿i所以， (n+1)2Hm+11-丄1+(m+1)1 = n2H1-丄1. =11 P.丿. =11 P.丿.+ m -1，也就是(n + 1匕 Hi =1r (n + 1匕 Hi =1r 1)1 +1 = n2 IPi丿iHmi =11-丄又因为Hpi 丿ii =1r 1)1丰0，所以,I p.丿i(n +1)2+ -? = n(n +1)2+ -? = n2，也即是(n + 1)n +i=11=n 2，所以,1 - 11I p.丿ii=1综上所述，n =-(i=1设错误。nm 11 -pi 丿