多元积分cha12-4第一型曲线

1、二定Lxoy 平面内的一条光滑的曲线弧，函数 fx,y在曲A M二定Lxoy 平面内的一条光滑的曲线弧，函数 fx,y在曲A M0M1线弧上有定义且有界 . L 上任Mn BL划分成n个弧,M M ,M M01Mi1 Mi 的弧长为si . 在每个弧段 Mi1 Mi 上任取一n(i,ii1,2n作和式f(i,i)si si如果当 0和式lim f(i,i)si 存在时,且极限与曲线分割和取点的方式无关，则称此极限为fx, yL第一型曲线积分，记为 f(x, y)dsLf(x, y)ds lim f(i,f(x, y)ds lim f(i,i)si即其中 f ( x, y) 称为被积函L积分路径

2、，ds为弧长元素。注对弧长的曲线积分。第一型曲线积分又称为，积分与路径的方向无关f(x, y)dsf(x, y)ds3.fx, y1时 f(x, y)ds sL L 三性线性性质Lk1 f(x, y)k2g(三性线性性质Lk1 f(x, y)k2g(x, y)ds k1L f(x, y)dsk2 L g(x, 分域性质f(x, y)ds f(x, y)ds f(x, L1(3)比较性质若fx, y gx, y),f(x, y)ds g(x, LL | f(x, y)|也f(x, yLLmL f(x, y)ds 从这里M、m为f ( y)最大最小值。L(4) 中值定理f(4) 中值定理fx, y

3、)在L上连续，则 (,使 f(x,y)ds f(,L四计算及利用弧微分将曲线积分化为定积分。(1)L由参数方程给四计算及利用弧微分将曲线积分化为定积分。(1)L由参数方程给出：x x(t t y y(tds x(t)2 y(t)2 dt 则弧微f(x,y)ds f(x(t),y(t) x(t)2 y(tL其中定积分上下限必满足 2) 若L为y gxa x 2) 若L为y gxa x b x a xb是y g(3) 若L为极坐标 g( 则写成参数xcos g()是y sin g() f(x, y)ds f(g()cos,g()sing2()g(b f(x, y)ds f(x,g(12 g(分别计

4、算曲线积分ydst的上半椭圆弧； x 53(1L 为椭圆 y 4x(2分别计算曲线积分ydst的上半椭圆弧； x 53(1L 为椭圆 y 4x(2L 为抛物线(0 ,0 )(1,2 )间的一段弧。y3yds25sin2 t L0 2516cos2 05o 2516cos2 td(cost3x0 9 75 445为方便以y y 1 0y 4 ox1dx2dy为方便以y y 1 0y 4 ox1dx2dy1y2ds221 y20ydsy2 4 (2 13e2ydsL: y ln(1 x0 x1例求曲线L解：ds 1e2ydsL: y ln(1 x0 x1例求曲线L解：ds 1(y)2dx1 dx

5、1(1 x)2 1(1 1 112ln(1x) (1 2e=原积分1 01(1 (1 x)2 10 1523xa(t )0 t 例求摆线的一拱的弧长。ya(1cosxa(t )0 t 例求摆线的一拱的弧长。ya(1costyL 解弧长为d2x(t)2y(tx0o2a(1cost)2 a2dt022(1 cost)0 推广第一型空间曲线积分x x(tL推广第一型空间曲线积分x x(tL:y t 已知空y(tzz(tf(x, y,z)ds f(x(t),y(t),z(t) x(t)2 y(t)2 z(tL设Cx y z 1x zy例试计算下列曲线积分：(1)(x2 y2 z2(2)zzCC(3)(

6、xy yz (4)C解（1）原式设Cx y z 1x zy例试计算下列曲线积分：(1)(x2 y2 z2(2)zzCC(3)(xy yz (4)C解（1）原式CC要求C的周长，先求它的半径63Cds 6y3C(2)x2ds y2ds zxCCC1(x2 y2 z2 16 63393 (x yz)2 (x2 y2 z2)(3)(xy (x yz)2 (x2 y2 z2)(3)(xy yz2CC21ds 2C 1(x y 16 6(4)C3393柱利y 设(zfx, y的交线L和L1 z弧段柱利y 设(zfx, y的交线L和L1 z弧段，zf(yLS y f(1积(x,y)dsyLLMx例求圆柱面x2 ay (a 0)上介于平z 0于曲yz y2 (h例求圆柱面x2 ay (a 0