直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题知识点睛与圆的位置关系的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.设。O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr如下表所示：位置关系图形定义性质及

2、判定点在圆外点在圆的外部dr点P在。O的外部点在圆上CE)P点在圆周上dr点P在。O的外部点在圆内点在圆的内部dr点P在。O的外部确定圆的条件圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心定点，确定圆的位置；半径定长，确定圆的大小.只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定.过已知点作圆经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.经过两点4B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个.过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂

3、线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.过nn.4个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆;确定”一词的含义是有且只有，即”唯一存在”.三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，

4、即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合锐角三角形外接圆的圆心在它的内部;直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部二、直线与圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设。O的半径为，圆心O到直线/的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及判定相离d2直线与圆没有公共点.dr直线l与。0相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.dr直线l与。0相切相交J立i直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.dr直线l与。0相交从另一个角度，

5、直线和圆的位置关系还可以如下表示:直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关drdrdr系公共点名称交占八、切点无直线名称割线切线无二、切线的性质及判定.切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长和切线长定理：切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外

6、一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.切线的判定定理设为。的半径，过半径外端作1,则至U1的距离,1与。相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是。的切线.证明一直线是圆的切线有两个思路：（）连接半径，证直线与此半径垂直；（）作垂线，证垂足在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（）垂直于切线（）过切点（）过圆

7、心定理：过圆心，过切点垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则OAAT经过圆心，垂直于切线过切点b过圆心.一1:M为切点2BMT经过切点，垂直于切线过圆心mMTIIAM过圆心IM为切点|三、三角形内切圆i定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.3直角三角形的内切圆半径与三边关系图（）中，设a,b,c分别为IABC中A,B,C的对边，面积为S则内切圆半径（）T士，其中p1bcp2图（）中，C90则r1labc2八、：切线的判定定理；切线的性质

8、定理及其运用它们解决一些具体的题目.难点与关键：由点和圆的位置关系迁移到运动直线，导出直线和圆的位置关系的三个对应等价.易错点：圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间一、点与圆的位置关系【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7最小距离是5则该圆的半径是【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为.【例2】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，为半径作。，已知、三点的坐标分别为（3）,（一,一）,（4四10）。试判断、三点与。的位置关系。二、直线与圆的位置关系切线的证明【例3】如图，IABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于

9、点D。求证：AC是口O的切线。【例4】如图，已知AB是口O的直径，BC为口0的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA5（）求证：CD是口O的切线；（）求ADOC的值；（）若ADOC9r，求D勺长。2【巩固】如图，已知AB是口0的直径，BC是和口0相切于点B的切线，过口0上A点的直线ADOC，若OA2且ADOC6，则CD。【巩固】如图，是半圆（圆心为）的直径，是半径，切半圆于，与弦平行且交于C（）求证：是半圆的切线；（）若长为，点在半圆上运动，设长为，点到直线的距离为y，试求出y与%之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。【例】如图，AC为口0的直径，B是口O外一点，AB交口0于E点，过E点作

10、口O的切线，交BC于D点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点。（）求证：BC是口O的切线；（）EMFM。BB【例6】如图，割线ABC与口O相交于B、C两点，D为口O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，ADGAGD。（）求证：AD是口O的切线；（）如果AB2,AD4,EG2，求口O的半径。切线长定理及切线性质的应用【例7】在RtABC中，A90，点O在BC上，以O为圆心的口O分别与AB、AC相切于E、F，若ABa，ACb，则口0的半径为（）ab、ACb，则口0的半径为（）ab、abb、abababa9b2【例8】如图，ABBC，DCBC，BC与以AD为直径的DO相切于点

11、E，AB9，CD4，则四边形ABCD的面积为【例9】如图，过口O外一点P作口O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使ADBE，BDAF，连结DE、DF、EF，则EDF（）A90，PB901PC180PD451P22【例10】如图，已知IABC中，ACBC，CAB（定值），口O的圆心O在AB上，并分别与AC、BCDE与口O相切于点M，相切于点P、Q。（）求POQDE与口O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由。C【例11】如图，O为RtIBC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD6，BD4，则IABC的面

12、积为。【例12】正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF:FD（）【巩固】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G,GA8。（）求G的余弦值；（）求AE的长。【例3如图，AB是半口。的直径，点M是半径0A的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半口O上运动，且总保持PQPO，过点Q作口0的切线交BA的延长线于点C【例3（）当QPA60时，请你对*QCP的形状做出猜想，并给予证明；（）当QPAB时，QCP的形状是三角形;（）则（）（）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任

13、何位置时，BQCP一定是三角形。【巩固】如图，是。的直径，点在。的半径上运动，交。于，切。于，【巩固】5（）当正好是。的半径时，求。的半径；（）设PT2y,AC%，求出y与之间的函数关系式；（）能不能变为以为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出的面积；若不能，请说明理由。课后问题1.“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（1.A经过半径外端点的直线是圆的切线；B垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；c垂直于半径的直线是圆的切线；D经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。TOC o 1-5 h z两个圆的圆心都是，半径分别为广、厂，且一那么点在（）1212、。r内、。r外、。r外，。

14、r内、。r内，。r外121212一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（）、或、或三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不能确定已知外、PB是口O的切线，A、B是切点，APB8，点C是口O上异于A、B的任一点，则ACB如图，已知口O的直径为AB,BDOB，CAB30，请根据已知条件和所给图形写出个正确的结论（除OAOBBD外）：；。C若圆外切等腰梯形ABCDAd/BC的面积为0AD与BCC若圆外切等腰梯形ABCDAd/BC的面积为0AD与BC之和为，则圆的半径为已知四边形外切于。，四边形的面积为，周长，求。的半径;如图，在BABC中，ABC90-，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半