弹性力学应力状态理论求解器开发及应用研究

1、弹性力学应力状态理论求解器开发及应用研究1)摘要 论文基于吴家龙教授编著的弹性力学教材内容和课程“三难”特点，以应力状态理论部分常见 题型求解任意微分斜面应力矢量、正应力、切应力、主应力和应力主方向及最大切应力为例，应用Matlab-GUI 模块编制应力状态理论求解器，通过界面物理参数输入和结果显示过程，再现弹性力学求解思维，验证学生数 理求解结论；把繁琐抽象的力学公式和微分斜面结果进行图形可视化，使学生的抽象思维和力学思维得到兼容; 通过弹性力学应力状态理论求解器开发及应用，可为学生力学学习及力学同行教学提供借鉴。关键词 弹性力学，应力状态求解器，微分斜面，可视化DEVELOPMENT AN

2、D APPLICATION OF STRESS STATETHEORY SOLVER FOR ELASTICITY1)Abstract Based on the textbook Elasticity by Wu Jialong, and the “trilemma” characteristics of the course, taking the common questions in the stress state theory as examples, the stress vector, the normal stress, the shear stress, the princi

3、pal stress, the principal direction of the applied force and the maximum shear stress on any differential inclined plane are included. The Matlab-GUI module is used to compile the stress state theory solver, By processing the inputting physical parameters and displaying results, the thinking process

4、 of the elasticity is reproduced and the mathematical solution is verified, the complex abstract mechanical formulas and the differential slope results are clarified in graphic visualization, so that the students abstract thinking and mechanical thinking are linked. The stress state theory solver of

5、 elasticity can provide a reference for students mechanics learning and for mechanics teaching.Key words elasticity, stress state solver, differential slope, visualization弹性力学课程是普通高校力学类、土木类等理 工科本科专业核心课，是从力学基本理论过渡到工 程实际应用的桥梁；具有教师难教、学生难学、工程 思维和力学思维难兼容的“三难”课程特点。基于课 程重要性和特点，众多学者进行了弹性力学教学改 革，如张伟伟等1提出了弹性力

6、学三段式教学方法, 即围绕每一知识点，按照工程背景、数理基础、力学 原理进行划分，在教学实施中遵循先工程，后数理, 再力学的讲解顺序。潘东辉等2将MATLAB/PDE 工具箱引入弹性力学教学，实现弹性力学的可视化 教学。刘杨等3提出了 互联网项目指派式教 学模式在弹性力学及有限单元法的教学中的实践方式和考核办法。陈小亮等囹利用Maple软件探 索了弹性力学应力函数逆解法的计算机求解规范流 程。卢小雨等司利用Maple来求解弹性力学中的一 些具体问题。邢静忠I将MAPLE引入力学教学, 引导和培养学生利用数学工具的习惯和能力，强化 算法设计和程序的通用性和灵活性，为处理复杂问 题提供帮助。丁洲祥

7、等7】详细介绍了计算机代数系 统MAPLE在土力学与基础工程研究型教学中的具 体应用。本文基于吴家龙教授编著的弹性力学教材内 容和课程特点，以应力状态理论部分的求解斜面应 力分量及主应力和最大切应力为例，应用Matlab- GUI模块，通过编制程序把繁琐抽象的力学公式 结果进行图形可视化，从而提升学生学习弹性力学 兴趣。1应力状态理论8弹性力学的研究对象为三维弹性体，由于满足 连续性和均匀性假设，因此从微分单元体分析入手, 确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分 析。研究思路是首先确定应力状态描述方法，包括应 力矢量定义及其分解为正应力、切应力和应力坐标 轴分量，应力张量表示一点应力状态

8、；其次从静力学 观点出发，建立平衡微分方程和应力边界条件；任意 截面的应力分量确定；应力分量转轴公式；一点的特 殊应力确定：主应力和主平面、最大切应力。该部分 教学中学生和老师常见问题有：如何直观体现已知 方向余弦？如何确定应力主方向、最大切应力微分面 方位或已知微分面方程求方向余弦，同时可视化微 分斜面？2求解器运行原理(1)微分面三元一次方程系数与其方向余弦关系F(x； y； z) = Ax + By + Cz + Dn = .-7 A2 + B2 + C2l2 + m2 + n2 = 1(1)(3)式(1)式(3)中，F(x； y； z)为三元一次函数；A， B，C，D为方程系数；l,

9、m，n(1)(3)(2)斜面上应力分量(图1)图1微分斜面上应力分量fv x = lx + mxy + nTzxfv y = lxy + my + nTyzfV Z = lLx + mTyz(2)斜面上应力分量(图1)图1微分斜面上应力分量vlfvxmfvynfvz fv - v(4)(6)式(4)式(7)中，fvx，fvy，fvz为沿坐标轴投影应 力分量；l；m；n为方向余弦; bx，Oy，z，xy，yz，zx 为正应力和切应力分量；fv为斜面应力矢量；Ov为 斜面正应力；Tv(4)(6)(3)主应力、应力主方向和最大切应力及方位O3I1 O2 + I2 O I3 = 0(8)I1OxOyO

10、zIOx O3I1 O2 + I2 O I3 = 0(8)I1OxOyOzIOx OyOx OzOy Oz2 2 21xy1yz1zx(9)I3Ox Oy Oz Ox Tz Oy TzxOz TxyTxy TyzTzxl1 ox O1m1 Txyn1 Tzxl1 Txym1 (oy O1n1 TyzTzxm1 Tyzn1 oz O1(10)+ m1 + n1 = 1(10)式(10)中，11，mi，n1为第一主应力方向余弦；ax, y，Txy， ，yz，zx 为正应力和切应力分量；(J1为 第一主应力。l2 (x -。2)+ m2 丁xy + n 丁zx = 0l2 Txy + m2( -+

11、n Tyz = 0l2 Tzx + m2 Tyz + n (-二2)= 0l2 + m2 + n2 = 1(11)式(11)中，l2，m2，n2为第二主应力方向余弦；(Jx， y， Jz， Txy， Tyz， Tzx 为正应力和切应力分量；J2为 第二主应力。(11)l3 (Jx J3)+ m3 Txy + n Tzx = 0 l3Txy + m3 (Jy - J3)+ n Tyz = 0l3 Tzx + m3 Tyz + n (Jz - J3)= 0 l3+m3+n = 1(12)式(12)中，l3， m3，n 为第主应力方向余 弓玄；Jx，Jy，Jz， Txy， Tyz， Tzx 为正应力

12、和切应力 分量；J3为第三主应力。(12)3 Matlab-GUI模块应力状态理论求解器 及应用编制基于Matlab-GUI模块应力状态理论求解 器，程序流程如图2所示。通过该求解器(图3)可 显示应力状态图和微分斜面，通常遇到题型有两种: 一种题型为给出方向余弦可求出三元一次方程系数, 进而显示微分面方程和斜面图，另一种题型若直接 给出三元一次方程及系数也可求出方向余弦和显示 微分斜面，同时可求出三个主应力及主方向和最大 切应力及方向余弦，可通过主应力微分面按钮，如图 4和图5所示，分别显示主平面和最大切应力平面, 验证主应力所处面切应力是为零，应力矢量和正应 力相等，取得最大切应力微面，正

13、应力不一定为零等 结论。已知物体内一点的应力张量为100-100-1010MPa-101020求通过该点平面为x + V6y + 3z = 1的微面上沿x，y 与z轴的应力分量、总应力、正应力、剪应力和主应 力、应力主方向和最大切应力？4结论论文结合弹性力学课程特点，力求突破“三 难”瓶颈；以弹性力学应力状态理论常见题型为 例，Matlab-GUI模块编制应力状态理论求解器，通 过界面物理参数输入和结果显示过程，体现弹性力 学中数理求解思路，简化了繁杂的计算过程；同时 可形象直观再现和验证学生弹性力学数理计算结果, 使得数学力学公式可视化，学生的抽象思维和具象 思维达到兼容。最终达到提升学生学习弹性力学兴 趣的目的。图2应力状态理论求解器流程图图3应力状态理论求解器图4第一主应力微分斜面(1)应力服里I 呻 I第一王应力徽分面n2第二主应力微分面I第三主应力微分面0.936989-0.321