导数专题(四)恒成立问题教师版

1、导数专题(四)恒成立问题(2014西城一模理)18(本小题满分13分)(分段函数)xlnx,xa,已知函数f(x)其中a0.fX22x3,xiln/.(对数运算、用前问结论)1%(I)求曲线yfH在点,fI0般的切线方程；(II)求证：当，11时，f2:上:3(ni)设实数k使得fitk:%3!对，11恒成立，求k的最大值.318.解析(1)由题可知函数f电定义域是1,11则f,f.2,f.0,从而11%2曲线yf1在点，f处的切线方程为y2%.(2)构造辅助函数证明不等式.设g*f吗：则g1k0,g-1-2H%22%L,31%21%2当%,叫g一,即g1在,1I上单调递增，从而gg,即f2.

2、三i寸任意%1|恒成立.3I%3(3)构造函数P11.lnHk.一.1又P.0,若p.0对%,1I恒成立，则%|3p0。，又Pit%*_2_kH%22*k*%4,即p2Bk0,得k2，又当k2时,1%21%2f2;兰二寸%，1|恒成立，因此k的最大值为2.I3|(2015上学期期末东城文)(20)(本小题共14分)(双参数)已知函数f(%)aln%b%2,a,bP(I)若f(%)在%1处与直线y相切，求a,b的值;(II)在(I)的条件下，求f(x)在1,e上的最大值；e(III)若不等式f(x)x对所有的b(,0,x(e,e2都成立，求a的取值范围aTOC o 1-5 h z解：(I)f(x

3、)2bxx|f.)0,.2b0,由函数f(x)在x1处与直线yBB1相切，得1即12萨B2.1,解得1b.14分(II)由(I)得f(x)lnx1x2,定义域为(0,).1x2此时f妣)x=上x-.令f耽)0，解得0 x1，令f(x)0，得x1.xx所以f(x)在(1,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，e8分所以f(x)在1,e上的最大值为f(1)18分e2(I)若不等式f(x)x对所有的b(,0,x(e,e2都成立，即alnxbx2x对所有的b(,0,x(e,e2都成立，即aInxBxbx2对所有的b(,0,x(e,e2都成立，即aInxx0对x(e,e2恒成立.11分x即a-一对x(

4、e,e2恒成立，lnx即a大于或等于4在区间(e,e2上的最大值.lnxxlnx1令h(x)-一，则h(x)=，当x(e,e2时，h熟)0,h(x)单调递增，lnx(lnx)2xe2e2lnx22所以h(x)-,x(e,e2的最大值为h(e2).即alnx22e2所以a的取值范围是,).14分(2014海淀一模理)18.(本小题满分13分)(双参数)已知曲线C:yeax.(I)若曲线C在点(0,1)处的切线为y2xm，求实数a和m的值；(II)对任意实数a，曲线C总在直线l:yaxb的上方，求实数b的取值范围.18解TOC o 1-5 h z(I)yaea,2分xID因为曲线C在点(0,1)处

5、的切线为L：y2xm,所以120m且y2.4xID解得m1,a25分(II)法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于Vx,aR,都有eaxaxBb,即7x,ar,eaxBaxb0恒成立，6分令g(x)eaxaxb,7分若a=0,则g(x)1b,所以实数b的取值范围是b1；8分若a0,g喙)a(eax),由g(x)0得x0,9分g(x),g(x)的情况如下：x(-0)x(-0)g(x)g(x)0()0+极小值11分所以g(x)的最小值为g(0)1Bb,12分所以实数b的取值范围是b1；综上，实数b的取值范围是b1.13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于都有ea%a%b，即TOC o 1-5 h zV%,aR,bea%Max恒成立，6分令tmax，则等价于VtR,beti恒成立，令g(t)etHr，则g)et*,7分由g(t)0得t0,9分g(t),g(