华大新高校联盟2022届高三3月教学质量评测数学试题

1、 PAGE 7 6 页华大新高校联盟 2022 届高三 3 月教学质量评测数学试题学:姓名班级考号 评卷人得分评卷人得分已知复数z 2im i，其中,nR，若z为纯虚数，则（Am0，nCm 0 ，n Bm 2 ，n 0Dm 2 ，n 02A x 3x 5 B m x A B 3 x 数m的取值范围为（A3, C3,5B3,5 D3,56个科目中选择3 个科目进行研修，已知某班级a 名学生对科目的选择如下所示，则a 、b 的一组值可以是（科目）国际金融统计学市场管理二战历史市场营销会计学人数2428141519bAa40，b10 Ca37，b Ba 40 ，b Da 37 ，b 已知圆锥的表面积

2、为90，母线与底面所成角为 ，若cos 2 ，则圆锥的体积为3（A108B365C363D函数f x4x 4x2 的零点个数为（A0B1C2D3“”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰 A”如图所示，已知五角星是由5 “A”1 个正五边形组成，其中sin18 51，则阴影部分面积与五角形面积的比值为4（5A 51B54C 5 16D 3 520已知下表所示的数据的回归直线为 x，则（ii12345xi357911yiy1y2y3y4y5n x xy yii bx b i1ni1x xi， y bx 参考数据：x y 686，y 80 B4.15C2.25i iii1iD1.

3、25已知双曲线Cx2 y2 1a0,b0的左、右焦点分别为F F，点M N 均在a2b212双曲线C 的右支上，其中点M M N F2三点共线，且cosMF F 1 ，若MF N MNF，则双曲线C 的渐近线方程为（2 1411A y 5xCy 3xBy xDy 2x评卷人得分评卷人得分l，m，n是空间中三条不同的直线， 是空间中两个不同的平面，则下列说法错误的是（A若l m l n m n ，则n l，B若 l l m m l，C若 ，m n m l ，则m nD若l m ， n l ，则mn十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的明万历十二年（公元1584年他写成律学新说1 2

4、11 1 2 13 11 个数之和为M 11 13 个数之和为N ，则依此规则，下列说法正确的是（28 个数为22插入的第5 个数是插入的第1 个数的倍2M 3N 7已知函数f xsincosxcosx，则下列说法正确的是（x f x图象的一条对称轴f x在上单调递增f x在上单调递增DxR，f x16 2242已知三棱锥SABCSAABCSA ABBC ， AC 2 ，点 E，F分别是线段AB，BC 的中点，直线AF，CE 相交于点G，则过点G 的平面 与截三棱锥S ABC的外接球O所得截面面积可以是（A2 3CB8 9D3 2评卷人得分评卷人得分x18x132 的展开式中x3 项的系数 5

5、 x35 x32a 14已知平面向量a b c b c b c 2 ，若a b a c 8 ，则a 15抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对C : y2 2pxp 0F y a，b A，B 两点反射，已知两32x 60FA FB ，则p3f xRf xx 0时f xxlnx f x0，则不等式4x f x4f x的解集评卷人得分评卷人得分已知首项为1 的数列n 项和为，且S3a a a S 3n11记b ，求证：数列n为等差数列；n1n n1nnnaann1n求的值热爱电子竞技对电子竞技无感男性20050女性100182021 11 7 S11 的总决赛中，中

6、国电子竞技俱乐部EDG 完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮为了调查A 热爱电子竞技对电子竞技无感男性20050女性100判断是否有99.9%A 25 度有关？15人，再从这15 人中任取3 人，记抽到的男性人数为 X，求 X 的分布列以及数学期望EXnad bc2附： K 2 d，其中n a b c d 0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828P K 2 k 0k0如图所示，四棱锥S ABCD ABCDBDOE 在SD上，且OESAB，二面角SABCS P K 2 k 0k0SEDE；320SA A

7、D2ABEC的余弦值为32020，求 AB 的值已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC 2sinB，C 2A，c 2 求证： ABC是等腰直角三角形；P在 ABC的内部，且PBPCPA AC，求cosPAB已知椭圆C: x2 y2 1a b 0，且过点 1, 3 a2b2222C的标准方程；过点0,1k l C M，N 两点，且Gt 3GNG x 轴，求证：存在实数 t，使得直线 MG 过 y 轴上的定点完成下列问题：f x2exxcosxsinxx0,f x的最小值；x的方程mxsinxx ex1x0,m的取值范围 PAGE 17 17 页参考答案：1A【解析】【分

8、析】先化简复数，再根据纯虚数的概念可得答案.【详解】z 2imni2，故m 0n . 2D【解析】【分析】先化简集合 A，再依据并集运算规则去求实数m 的取值范围即可.【详解】A x x 3x 5 0 x 3 x 5；A B 3 x 3 m 5 3D【解析】【分析】由已知可得出3a 100 b ，观察各选项可得结果.【详解】2428141519b，故100b，观察可知， 4B【解析】【分析】先求得圆锥的母线长、底面半径长，再代入圆锥体积公式即可解决.【详解】cos r 22，故rl ；l33102而rl rl990，解得l 9，则r l 6，381 36故圆锥的体积V 1Sh 16281 36

9、33365，故选：B5D【解析】【分析】将f x4x 4x2 的零点问题转化为函数y 4x1，与函数yx2 的焦点个.【详解】f x 0 ，得4x x2 ；在同一直角坐标系中分别作出y 4x1，yx2 的大致图象如图所示；观察可知，两个函数的图象有3 个交点（其中1个交点的横坐标介于1 到0 交点分别为2,4 f x 4x 4x2 的零点个数为3 ，故选：D6B【解析】【分析】ABC 中，由sin18 BC 5 1 BD 5 1 ，设 ABC 的面积为 x，AC2AB2由此可知BCD和CEF 的面积均为【详解】 5 1 x .25 5 1依题意，在三角形ABC中，2，故BC 5 1；所以 BD

10、 AC25 1 AC2sin18AC4AB2设 ABCx，则面积为 51x，同理 5 1 x ，22CDE 的面积为 x，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x25 15x52.故选：B7A【解析】5152x 6x2【分析】先求得y的值，再去求5xii 1x2和5 xii1xyiy，代入公式即可求得.【详解】x 1(357911)7，y 15 y 180=1655i5i15i1x xi372 572 972 1172 40，而5x xy y5 x y 5xy 686780126，iii ii1i1故 126 3.15 ，40故选：A8C【解析】【分析】.【详解】 因为MF N MNF MF M

11、N 111MF1NF2 xMF2 MN MF2 x 2a ， 2a ，则 NF1 4a 在NF FNF F F2 NF2 2 F FNF cosNF F ，1 211 221 222 13化简可得2c2 ac6a20，即2e2 e60，解得e2或e 2（舍，1b2a21b2a2则b 3，a故双曲线C 的渐近线方程为y 3x ，故选：CABD【解析】【分析】利用空间中线面垂直的判定定理，面面平行的性质和面面垂直的性质定理逐项判断，即可得到结果.【详解】在选项A 中，根据线面垂直的判定定理，若l m l n m n ，且l 与m 相交时，则n 成立；故A 错误； l，在选项B 中， l l m m

12、 ，则m 或m l，在选项C 中，因为 ，C 正确；m m l ，则m ，而n ，故l n ，故在选项D 中，若l m ， n l ，则m n 故D 错误； 故选：ABDBC【解析】【分析】设该等比数列为an，公比为q，根据题意a1 1，a13 2 ，即可求出q12 2 ，再根据等比数列的性质和等比数列前n 项和公式，逐项判断，即可得到结果.【详解】设该等比数列为an，公比为q，则a1 1，a13 2 ，故q12aaa1 2 ，所以a a q8 2 8 3 4 ，故A 错误；12912a因为 6a1 q4 3 2，故B 3 2212 21aM 2112 2 1 12 2111112 21121

13、11，1 q要证M 3，即证1112 112 1123，即证1212 1 112 1124，12125 512 5 12即 证 2 1，即证2，而52，故C正确；412 4 4 而 N M 3 ，因因4 5 1.93 2，所以 6 2 1 ，51212 1 15，所以1112 4 即M 4 ,1212所以 N 7 ，D 错误. 故 选 ：BC 11AC【解析】【分析】f 2 x f x判断A 选项的正确性，结合复合函数单调性同增异减判断BC 选项的正确性，由 f x的最大值小于1【详解】64来判断D 选项的正确性.依题意，f2xsincos2xcos2x sincos x cos x f x，

14、故A 正确；f x 2 f x，故2 f x的一个周期； x cos x y sincos xy cos x 在上单调递减，f x sincos x cos x 在上单调递减，由对称性可知，函数 f x在,2 上单调递增，故B 错误，C 正确；f x sincosx sincos x cos x f xf x.sin5 sin 62 ，3123sincos34cossin344结合单调性以及函数的奇偶性可知，函数 f x的最大值为 f 0 sin1 1 1 sin 516，故D 错误12BCD【解析】【分析】124OG 2 G O .【详解】解：因为 AB2 BC 2 AC 2 ，故 AB B

15、C ，又因为SA 平面 ABC，故三棱锥S ABC O R 取AC的中点D，连接BD必过点G， 因为ABBC2，故DG 1BD133222 ；6226222221211因为OD，故OG2 2 3 18，2626118G O 所得截面圆的最小半径r2 2 18 9 ，故截面面积的最小值为8 ，最大值为R2 932 .故选：BCD【点睛】求解外接球的半径时，遇到线线垂直、线面垂直的条件时，可利用补全为四棱柱或者三棱柱的方法，转化为求四棱柱或者三棱柱的外接球半径问题.13448【解析】【分析】x18x利用二项展开式的通项公式去求2 的展开式中x3 .5 x35 x32【详解】x18x2 的展开式的通

16、项公式为5 x35 x38Tr 1 Cr 2x 28x3 Cr 8r r x411r 108105令4 11 r 3 ，解得r = 5 ，5102故所求系数为C5238故答案为： 44821442 448 【解析】【分析】依据题给条件求得 ，再去求a 的值即.【详解】cos ab4cosa b2 aa，a c8a c2 aa40 45则 a c8a c2 aa40 45又b c ，即向量b 与c 的夹角为90 ，则故ab a b cos45 8，解得a 42 2故答案为： 42154【解析】【分析】p，1 cos 60FA FB p，1 cos 60 32，从而代入FA FB 计算p .1co

17、s603【详解】，如图所示，延长 BF 交抛物线 C 于点 A，由题意， AFP BFx AFO 60，p，1 cos60由抛物线的对称性可得，又因为FB pFBcos60FB p，1 cos60p，1 cos60 p cos60 p，1 cos60所 以 FA FB FB pp2p 4321cos601cos60sin2 60332故答案为： 4 .【点睛】在抛物线C y2 2 px p 0AB 的倾斜角为 ，则弦长AB FA FB 2p.sin2 16【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】x当x 0时，fxxlnx f x0 fxlnx f

18、x0 lnx fx 0，gxlnx f x在 上单调递减，易知g0，xxgx0f x0， xgx0f x0；而4 x f x 4 f x f x 4 x 4 0 ，而h x f x 4 x 4 为奇函数，x 0f x4 4 0 的解为0 x 1 ，xRf x4 4 0 x 1 或0 x 1 ，故不等式4 x f x 4 f x的解集为, 10,1 故答案为： , 10,117(1)证明见解析；(2) 14651.19800【解析】【分析】1化简已知得1an11 2n 3 b an，即得证；利用累加法求出 1 1 1.n2nn 2(1) 3a a a，则2n 3 a ann1 ，1故1an1n1

19、 2n 3 b annn1na an n1故bbn1n 2n 5 2n 3 2 ，故数列b 是公差为 2 的等差数列n(2)1解：由可知a11n11an1 2n 1，1an11an2 2n 1， 1 1aa21 5 ，累加可得，an1 5 7 a1 (2n 1)1115n1所以(n1)(n3)aa2n1故a 1 1 1，nn22nn2所以S 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1465198232435229910019800 1 198100 1 19810018(1)有99.9% 的把握认为A25 岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关(2)分布列见解析， E X 2【解析

20、】【分析】完成22联表，计算K(1)（1）完善表格如下所示：热爱电子竞技对电子竞技无感总计男性20050250女性100150250总计300200500K 25002001501005022502503002002503 83.333 10.828，有99.9%A 25 (2)依题意，这15 人中男生有10 人，女生有5 X 的可能取值为0 ，12 3 ，5 4 3P X 0C35C35153 2 1 15143 2 154 102 91 ，C2C12120P X 1 5C3 151413 91 ，15321510 9C1C22145P X 2 5 10C3 1514 91 ，C315321

21、109832124P X 3C315 1514133 21 91 ，X012X0123PP291209145912491E X 0 2204524123 29191919119(1)证明见解析(2)3【解析】【分析】由线面平行性质定理去证明SEDE.建立空间直角坐标系，以向量法去表示二面角ABEC 的余弦值为320 ，进而20可求得 AB 的值(1)因为OE平面SAB，OE平面平面SAB平面SBD SB，故OESB又因为四边形ABCD为矩形，故BO DO，则SE DE(2)四边形 ABCD 为矩形， AB AD 又平面SADABCD，平面SADABCDADABSADSASAD，ABSAADSA

22、平面 ABCD，ABADASAABCD平面 ABCD， AD 平面 ABCD，a ，以设 a ，以A 为坐标原点，AB，AD，AS 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A0,0,0 B C D E S AB a,0,0 AE CB 2,0 ,CE a, 设m x, y, z 为平面 ABE 的法向量，m AB0ax ，令 y 1，则 z 1 m 0,1, 1m AE0 y z 0设n x, y, z 为平面 CBE 的法向量，n CB 02 y ，令 x 1 ，则 z a n 1,0, am,n m nmm,n m nm na2a21 cosaxyz 32020，解得

23、a 3320AB 320(1)证明见解(2)624【解析】【分析】由二倍角公式、正弦定理、余弦定理通过化简，可得a2 b2 c2 和a 2 b ，从而2可证明；设 PA AC ，得PCA 22，PCB 2，在APC 中，由正弦定理可得 ，再由cos PAB cos 计算可求解.646(1)依题意， sin C sin 2A 2sin Acos A ，即c 2a b2 c2 a2 ，2bc2而sinC 2sinB，故c，由c2，得b，22所以有6aa3 4，222即a32 6a622即a2a22a26a2，得a2a22a40化简可得2 22 0，2因为a 0 ，故a 2 b 而a2 b2 c2

24、，故 ABC 是等腰直角三角形(2)由（1）C ，设 ，其中 0, ，2PA AC ，则PCA 2244，PCB 2BCD，则PDBC，故PC 2cos 2222又 AP AC ，在APC 2cos 2 sin22sin 2222化简可得， sin 1 2因为 0, ，即 ，4646故cosPAB cos 624421(1) x2 y2 1coscos46sinsin46443证明见解析【解析】【分析】列方程求得bC的标准方程；MGy轴上的点 tMG过 y 轴上的定点0,2 .(1)c1a2a 1依题意， a294b21，解得a24b2 3 ， a2 c2故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1

25、43(2)当M 2,0N 1, 3 G 时，22直线 MG 的方程为 y t x 2，交 y 轴于点 0, 2 t ；3333当M 1,3 N G 2,t 时，2t3t 3直线MG的方程为y3 2x1，交y轴于点0,3232t 3若直线MG经过y轴上定点，则 t ，33即t 3 ，直线 MG 交 y 轴于点0,2 下面证明存在实数t 3 ，使得直线 MG 经过 y 轴上定点0,2 y kx 1联立x2y2 4 31y 4k2 x2 8kx 8 0 ，设M x , ，N x , ，则 x x8k，x 112124k 2 31 24k 2 3设点Gx,3MG y 3 y 31x x 2x x212x y3x3x x y3x x 13x kx x令x 0，得y 2 2 312 1 12111 2 x x12x x12x x12x x123x xx 2x2x因为kx x1 2 x x1，所以y 2x x21x x2 2 1212所以直线 MG 过定点0,2 综上所述，存在实数t 3 ，使得直线 MG 经过 y 轴上定点0,2 22(1)2(2)1,22【解析】【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；gxex 1mxsinxx，当m