立体几何-二面角问题方法归纳

1、-从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。ABCDABCD例 1全国卷理如图，四棱锥，DC SD 2SC=60ABC F分别是 , PC的中点.证明：; 假设 H为 PD上的动点，EH与平面PAD所6，求二面角 C的余弦值.2三垂线定理：在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例 ABCD-A B C D ABCD BC=CD=2, AA =2, 、1

2、11111DC1AEB111ABCD练习 2*如图，在四棱锥中，底面是矩形DCE证明平面与所成的角的大小；AFB例 3如下图，四棱锥ABCD的底面 ABCD是边长为 1BCDE是 CD的中点，底面 ABCD，P证明：平面PBE平面 PAB;求平面 PAD和平面 PBE所成二面角锐角的大小.练习 3 斜三棱柱 ABCA B C 的棱长都是 a，侧棱与底面成 0的角，侧面 BCC B 底面 1111 11求证：AC BC；12求平面 AB C 与平面 ABC 所成的二面角锐角的大小。D11EcosC四、射影面积法AB凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可S求

3、出二面角的大小。SAC BC 2 例 中， PC ACP，；BAPC求二面角的大小；练习 4：如图 5，E 为正方体 ABCDA B C D 的棱 CC 的中点，求平面 AB E 和底面A B C D 所成AB1111111111CCDABBE.z.DCA图-向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进展向量计算解题。12练习ABC ABCABCA ABB1.1111；AC11二面角大小的求法的归类分析PD三、 角，由此可知，二面角

4、的平面角所在的平面与棱垂直；B例 3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D的大小。Pcos四、射影面积法HD凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影SBC S例 4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。例 P-ABCD 为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面 PDC 形化为定义法P ABCABC中，平面侧面111AD求证：； AC所成的角为 ,二面角的大小为 与 的11BlC大

5、小关系，并予以证明.由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：.z.-定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 SAMB 中半平面 ABM 上的一点B向棱 AM 作 ASM 过该垂足F作棱 AM 的垂线如 个平面角，再在该平面角建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。F作交，FFGFB2 6,2GBF 3F,63900GAB，222163)222222 3263 32练习 12008分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S

6、E 与 5 B-FC -C 中半平面 BFC1上的一点 B 作另一半平面 FC C 的垂线，得垂足O；再过该垂足O 作棱 FC 的垂线，得垂足P，连结起11棱柱 ABCD-A B C D 中,CC 平面 ABCD,所以 CC BO,所以 OB平面111111A11CC F,过 O 在平面 CC F 作 OPC F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角111PB-FC -C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中, RtCC F 中,D111OOPFCC 1E C F1AFB11在 RtOPF71142中,所以二面角 B-FC -C 的余弦值为.OB3 227712272练习 22008*

7、分析：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD平面 PAB 后，容易发现平面 PAB平面ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD 的垂线，于是可形成三PA的大小为4三补棱法PGFHE.z.DBCA-过点 A作 PB于 PBE平面 PAB 平面 PBE.在 RtABF中，因为BAF60，所以，=2=2=.在等腰 RtPAF中，取 PF的中点 ，连接 .则 HG，由三垂线定理的逆定理得，HG.所以AGH是平面 PAD和平面 PBE所成二面角的平面角锐2AP ABAH .25521.所成二面角锐角的大小是A

8、LcosCB例 理分析：此题要求二面角BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射，AC BCAC PC C BC PAC，E PAC，是2 2 ACE 是 ABE 在 平 面 ACP 的 射 影 ， 于 是 可 求 得 ：22122，则2P射ACE1,E2ABES1射BA设二面角，则S3原3C二面角3练习 4：分析 平面 AB E 与底面 A B C D 交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，11111这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB E 在平面 A B C D

9、 上的射影是三角形 A B C ，从而求得两个三角形的面积即可求得111111112 .3五、向量法AAB ，例 现在我们用向量法解答：如下图，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得B0C 0D 0E 1F 1， 1 1I 1，所以异面直线与1 .2600. CE 1，1，22x u . y z .z.-ACD 的一个法向量为v (0练习 ABB A 平面BCC B 平面 ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，1111aa,a2c222总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。，, 过 B 作

10、BHPC于 H，连结 DH123则2a2a, 在BHD中由余弦定理，得：3 cosBHD, 又 0BHD 则BHD=。2333366a332 三垂线法如图 PA平面BD，过A 作 AHBC于 H，连结PH，则PHBC 又 AHBC，故PHA是二面角P-BC-Aa2的平面角，在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30= , 在 RtPHA 中，tanPHA=PA/AH=，则PHA=arctan2.23 解垂面法如图 PA平面BD BDACBDBC过 BD 作平面 BDHPC 于 HPCDH、BHBHD 为二11a23面角 B-PC-D PB=a,BC=a,PC=a,PBBC=SPBC= PCBH, 则 BH=DH， 又 BD=在223BHD 中由余弦定理，得：cosBHDP 6 22233又 0BHD 则BH2DH2BD2AD2BH BD662alCPB33BHD=，二面角 B-PC-D的