线性代数期末考试卷答案合集

1、XXX大学线性代数期末考试题共10分)一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分)1.2若齐次线性方程组彳x+Xx2若齐次线性方程组彳x+Xx+Xx+x+x=0123x=0只有零解，123x+x+x=0123则九应满足3已知矩阵A,B,C=（C），满足AC=CB，ijsxn则A与B分别是.阶矩阵。40104010100A=00000100，则A-i=A。（(aa11aa21ia31a矩阵A=的行向量组线性.122232丿5.n阶方阵A满足A2-3A-E=0，则A-1=。二、判断正误(正确的在括号内填“V”，错误的在括号内填X”。每小题2分，共10分)若行列式D中每个元素都大于零

2、，则D0。()零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。()向量组a,a,a中，如果a与a对应的分量成比例，贝I向量组a,a,a线性相关。12m1m12s)若九为可逆矩阵A的特征值，则A-1的特征值为X。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)TOC o 1-5 h z1.设A为n阶矩阵，且|A|=2，则|A|AT=()2n2n-12n+14n维向量组a,a,A,a(3sn)线性无关的充要条件是()。12sa,a,A,a中任意两个向量都线性无关12saaAa中存在一个向量不能用其余向量线性表示12sa,a,A,a中任一个向量都不能用其余向量

3、线性表示12sa,a,A,a中不含零向量12s下列命题中正确的是（）。任意n个n+1维向量线性相关任意n个n+1维向量线性无关任意n+1个n维向量线性相关任意n+1个n维向量线性无关）。若A，B均可逆，则AB可逆）。若A，B均可逆，则AB可逆若A+B可逆，则A，B均可逆若A，B均可逆，则A+B可逆若A+B可逆，则A-B可逆通解A的行向量5.若专笃，v3,V4是线性方程组AX二0的基础解系，则V1+V2+V3+V4是AX通解A的行向量解向量基础解系四、计算题（每小题9分，共63分）x+aabx+bccdd1计算行列式abx+cdabcx+d解.x+abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+

4、a+b+c+dx+bcdabx+cd=x+a+b+c+dbx+cdabcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcd0 x00=(x+a+b+c+d)=(x+a+b+c+d)=(x+a+b+c+d)x31bx+cd00 x01bcx+d000 x301、2设AB=A+2B,且A=110,求B。解.(A解.(A-2E)B=A2-1-15-2-2(A2E)-1=2-2-1，B=(A-2E)-1A=4-3-2-111-223(1100、设B=01100(1100、设B=01100011L0001J3.2134、0213C=0021且矩阵X满足关系式X(C-B)二E,求X。、0002

5、丿4.问a取何值时,(、r1、r1)a_2211a=,a=a,a=1223211a2丿2V丿列向量组线性相关？5.Xx+x+x123九为何值时，线性方程组x+Xx+x123x+x+Xx123=X3=-2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多=2解时求其通解。当X1且X2时，方程组有唯一解;当X=-2时方程组无解当X二1时，有无穷多组解，通解为X=2110+c1+c001021r1r2r1r3490106.设a=,a=,a=,a=11213347V0丿v3丿V1丿v-7丿量用该极大无关组线性表示。求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向100、7设A=010,求A的特征值及对应的特征向量

6、。I021丿五、证明题（7分）若A是n阶方阵，且AAT=I,A=1证明|A+1|=0。其中I为单位矩阵。XXX大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.53.sx1.53.sxs,nxn4.相关A-3E二、判断正误1.X2.3.V4.V5.X三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.x+abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+a+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdabcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcd0 x00=(x+a+b+c+d)=(x+a+b+c+d)=(x+a+b+c+d)x31bx+cd00 x01bcx+d000

7、x2.2.6.6.-211-522_(A2E)B=A(A2E)-1=221，B=(A2E)-1A=4321112233.-1234-1000_01232100CB=0012，(CB)=321000014321_1000-_1000-1000_2100rJ2100,X=EB丿=12101210012101214.=(2a+1)2(2a2)当a=或a=1时,向量组aa3线性相关。5.当九丰1且九鼻-2时，方程组有唯一解;当九二1时,当九当九二1时,2110+c1+c001021有无穷多组解，通解为X=1213-1213-1213（a，a，a，a）=49010T0142T01421234113703

8、41000161603170317001313100-2TOC o 1-5 h z010200110000则r（a则r（a,a,a,123)=3，其中a1a构成极大无关组，a3=2a+2a+a1237.九一100|xeA|xeA=00九一10=（九一1）3=02九一100010对于入1=1,九EA=000，特征向量为k0+1002001特征值九=九=九=1,123五、证明题|A+/1=|A+AA|=|A|I+A=（I+A）=-（!+A）.G+A）=0,|（I+A）=0一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、设A,B为n阶方阵，满足等式

9、AB=0，则必有()(A)A二0或B二0;(B)A+B二0；(C)|A|=0或|B|=0;(D)|A+B=0。2、A和B均为n阶矩阵，且(A+B)2=A2+2AB+B2，则必有()(A)A二E;(B)B二E;(C)A二B.(D)AB二BA。3、设A为mxn矩阵，齐次方程组(D)AB二BA。(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()(A)A的秩小于n；(B)|A|丰0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式|A

10、|=-5，A*是人的伴随矩阵，则|a*=7、已知方程组23Jax1x2-2人X3(13无解，则a二14丿6、A为nxn阶矩阵，且7、已知方程组23Jax1x2-2人X3(13无解，则a二14丿8、二次型f(x,x,x)=2x2+3x2+tx2+2xx+2xx是正定的，则t的取值范围1231231213是三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)1+x1119、计算行列式D=11-x11111+y11111-y10、计算n阶行列式x+31xx2x+3LLxnxD=12nnMMMxxLx+312n四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)H、若向量组S线性相关，向量组a

11、,a,a线性无关。证明：123234a能有a,a线性表出；123a不能由a,a,a线性表出。412312、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A+E可逆，且f(A)二(E-A)(E+A)-1。证明(E+f(A)(E+A)=2E；f(f(A)=A。五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)20132013、设A=0322，求一个正交矩阵P使得P-iAP为对角矩阵。3丿x+xx+x+x12314、已知方程组Jx+2x+ax123x+4x+a2x123=0与方程组x+2x+x=a-1有公共解。123=0求a的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,

12、已知耳，耳，耳是它的三个解向量,123xr23r112q=,q+n=142335丿4丿求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、L;7、-1;2三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得8、11101y1-yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：D=1-x1000y0101-y4分）按第一行展开得D=x0y001-y按第三列展开得D=-xy4分）1212、证明xx+3,再通过行列式的变换i10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子化为上三角形行列式ii111M1x2x+32MxnxnMx+3n4分)ii110M0

13、x23M0 xn0M33n-1Z+3Ii1i丿4分)四、证明题11、证明：、因为a,a线性无关，所以a,线性无关。TOC o 1-5 h z23323(4分)又a,a,a线性相关，故a能由a,a线性表出。(4分)123123r(a，a，a)3，123(2)、(反正法)若不，则a能由a,a,a线性表出，4123不妨设aka+ka+ka。4112233由(1)知，a能由a，a线性表出，123不妨设ata+ta。11223所以ak(ta+ta)+ka+ka，4112232233这表明a，a,a线性相关，矛盾。234二二(E+A)+(E-A)(E+A)-i(E+A)二(E+A)+(E-A)二2E4分)

14、00(2)f(f(A)二E-f(A)E+f(A)-i由(D得：E+f(A)-i=2(E+A)，代入上式得4分)f(f(A)=E-(E-A)(E+A)-i2(E+A)=|(E+A)-(E-A)(E+A)-i|(E+A)=；(E+A)-；(E-A)=4分)22五、解答题13、解：4分)(1)由卜E-A|=0得A的特征值为九二4分)(2)九二1的特征向量为g=110、-11丿九二2的特征向量为E=22九二5的特征向量为E=333分)因为特征值不相等，则g,g,g正交。123120、r11r01-11丿，叮00丿1，P3飞11丿2分)_1将jjg3单位化得P1=2分)取P=(,p,p)=12301飞1

15、01忑1迈丿100、（6）P-iAP=1020I（1分）Ho514、解：该非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次方程组为Ax=0因R（A）=3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。5分）另一方面，记向量g=2耳一（耳+耳），则123Ag=A(2耳一耳一耳)=2AqAqAq=2b一b一b=023123直接计算得g=（3,4,5,6）t丰0，E就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为(3(214+3546丿5丿x=kg+耳=k，keR。7分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组:x+x+x=0,123x+2x+ax=0,123x+

16、4x+a2x=0,123x+2x+x=a一1.123若此非齐次线性方程组有解,则与有公共解,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵A作初等行变换得:(11121a0101(0111a一1010A=(014a200(a一2)(a一1)021a1丿001一aa1丿4分）1当a=1时，有r（A）=r（A）=2则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为:(-1)0(-1)所以与的全部公共解为k01丿，k为任意常数.4分)2当a二2时，有r(A)二r(A)二3，方程组有唯一解，此时(100、0010000100)1一10丿故方程组的解为：1,即与有唯一公共解x=91、一14分)线性代数习题和答案好东西aaa

17、a1112=m,1311aaaa212223211.设行列式=n，贝I行列式等于（）/12设矩阵人aaaa1112=m,1311aaaa212223211.设行列式=n，贝I行列式等于（）/12设矩阵人=o则A-1等于（ai1ai2+ai3aa+a212223B.-(m+n)D.m-001-201-3oo厂匕A.oo1-301-2o100厂匕Bo0120101-30o丫JCo1-301-2oo厂匕Dr-i2、3设矩阵人=10-1-214丿,A*是A的伴随矩阵，则A冲位于（1,2）的元素是（A.-6B.6C.2D.-24设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，贝I必有（）A.A=0C.A丰0时B=

18、CB.B丰C时A=0D.|A|工0时B=C5已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（At）等于（）A.1B.2C.36设两个向量组,a2，有不全为0的数入1，有不全为0的数入1，有不全为0的数入,有不全为0的数入1，202+-+怛=0D.4，P均线性相关，贝1（）s，亠和B，B2,X使入a+Xa+Xa=0和入B+XB+XB=0s1122ss1122ssX使入(a1+B1)+X2(a2+B2)+.+X(a+B)=0111222X使X(a-B)+X(a-B)+X(a-B)=0111222X和不全为0的数卩，卩，卩使Xa+XaSrC11入2,入2,入2,入2,12第一部分选择题（共28分）一、单项

19、选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。m+nC.n-mB.B.所有r-1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）7设矩阵A的秩为r,则人中（所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08设Ax=b是一非齐次线性方程组，叫，A.n1+n2是Ax=o的一个解B.-n+-n是Ax=b的一个解2122c.n1-n2是Ax=o的一个解9设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nC.A=0D.2q1-q2是Ax=b的一个解）B.秩（A）=n-1D.方程组

20、Ax=0只有零解设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）如存在数入和向量a使Aa=Xa，贝ia是A的属于特征值入的特征向量如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=O,贝必是A的特征值A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量如入，入2，入3是A的3个互不相同的特征值，ai，a2，a3依次是A的属于入，入2，入3的特征向量,则Q，a2，a3有可能线性相关0A.k30B.k3TOC o 1-5 h z设d是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入。的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（0A.k30B.k3C.k=3D.k3设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为

21、1C.A-i=AtD.A的行（列）向量组是正交单位向量组设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CtAC.则（）A与B相似A与B不等价A与B有相同的特征值A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（)A.f23)B.1f34)*34丿*26丿1100)1f111)C.02-3D.120f*0-35丿f*102丿第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。TOC o 1-5 h z11115356=.92536ma仃11123）16.设人=，B=.则A+2B=*11-1丿（-124丿17设A=（a.）

22、33，|A|=2，A.表示|A|中元素a.的代数余子式（i,j=1,2,3），则TOC o 1-5 h zij3X3ljlj（aA+aA+aA）2+（aA+aA+aA）2+（aA+aA+aA）2=.112112221323212122222323312132223323设向量（2,-3,5）与向量（-4,6,a）线性相关，贝la=.设A是3X4矩阵，其秩为3,若叫，n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20设A是mXn矩阵，A的秩为r（n）,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.设向量a、B的长度依次为2和3,贝I向量a+p与a-B的内积(a+B,a-B

23、)=.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,贝I另一特征值为01060106、2、1-3-3，已知a=-1-2108,(2,23.设矩阵A=是它的一个特征向量，贝g所对应的特征值为24.设实二次型f(xxxxx5)的秩为4,正惯性指数为3,贝I其规范形为.丄2324.设实二次型f(xxxxx5)的秩为4,正惯性指数为3,贝I其规范形为.丄2345三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)1225.设人=34-1223-10,B=1-24求ABT；|4从26.试计算行列式5211-1213-401-1-53-3求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.-2、r1、r3

24、、rr0r0、rr-128.给定向量组a=1，a=-3，a=rr2，a=rr41022343,4,、-1,9,423、27.设矩阵A=110,-123,试判断a4是否为a丄，a2,a3的线性组合；若是，则求出组合系数。4123-229.设矩阵A=-224-133-102、26-6023334,求：(1)秩(A);(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。0-22、设矩阵A=-2-34的全部特征值为丄，丄和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-iAT=D.24-3,试用配方法化下列二次型为标准形f(xi，x2，x3)=x2+2x2-3x2+4x1x2-4x1x3一4x2x3，并写出所用的满秩线性变

25、换。四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且(E-A)-i=E+A+A2.设n0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，丄，2是其导出组仏=0的一个基础解系.试证明n1=n0+1,n2=n0+2均是Ax=b的解；丄0丄202n0,n丄，n2线性无关。答案：一、单项选择题(本大题共丄4小题，每小题2分，共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共1011.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)6f337、(-

26、1-37丿4-10n1+c(n2-n1)(或n2+c(n2-n1),c为任意常数n-r-5-21242z+2z+z2-z2三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分/12吋2-2、25解ABt=34oil34-12J-l0丿/86、=1810(-164丿f1-4-3、if423、i所以B=(A-2E)-1A=1-5-3iii110ii(-1641(-123丿3-8-6、2-9-6-2129丿-2130、0-53-2、1-30-1、1-30-102240112134-19丿:013-112丿28.解一1035、1035、0112、01120088,00110000丿解二1).所以a4=2ai+a2+a3，组合系数为(2,1,考虑a=xa+xa+x解二1).41122332x1+x?+3xg=0 x13x?=-12x2+2x3=43x1+4x2-x3=9.方程组有唯一解（2方程组有唯一解（2，1，1）T,组合系数为（2,1,1）29.解对矩阵A施行初等行变换1-2-102、29.解对矩阵A施行初等行变换1-2-102、030906-228-21-2-102、1-2-102、0328-3、0328-300