线性代数性质公式整理

1、线性代数aa ,. a11121naa ,. a2122 .2naa ,. an1n2nn正号；当j/jn是奇排列时，第一章行列式正号；当j/jn是奇排列时，一、相关概念a11 aa12a a1n a1.行列式n阶行列式.2122 .2n是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里jjjjn)an11，an2 2, a nn%1我n的一j2 *个排列。当应是偶排列时，该项的前面带该项的前面带负号，即(1.1)=Zj j .j (l)Tjij2“jna a aj1j2 jnji 匕 j2njn(1.1)这里Zi i i表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 j1

2、j2 jn逆序与逆序数一一一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数 用Tj j - j表示排列j i - j的逆序 I 丁。 I jrr/u 口 丁廿口丁x。巾 Tj 方不、廿/。Ji J*?j 口 丁nn数。偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2阶与3阶行列式的展开= ad bc，a11a12a13aaa212223aaa314.2阶与3阶行列式的展开= ad bc，a11a12a13aaa212223aaa313233= a11a22a33+a5.余子式与代数余子式一一在n

3、阶行列式+ a13a21a32 a13a22a11a12 a 1na21a22. a2na n1an2 a nn12a23a31中划去a所在的第i行，第ja31 a12a21a33 a11a23a32a11a1,j1, ,a 1,j+1a”1n a. I1,1a.1+1,1.a11,j1a1+1,j1, ,a11,j+1a 1+1,j+1a. i11,na.1+1,n 称为a的余子式，记为Mj称(1)1+jM1ja1j 的代an1 a n,j1a n,j+1 a nn数余子式，记为Ajj，即 A.= 1j(1)1+jM1jO列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式A11

4、A12A 21A 22A n1A n26.伴随矩阵一一由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如1n2nnn称为A的伴随矩阵，记作A称为A的伴随矩阵，记作A*。二、行列式的性质经过转置行列式的值不变，即AT两行互换位置，行列式的值变号。一行列式行的性质与列的性质是对等的。地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:a如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:a1+b1 a2+b2 a3+b3CCC123ddd123aaa123CCC123ddd

5、123b1C1 d1b2C2 d2b3C3d3把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:aaa123bbb123CCC123aaa123bbb123CCC123aib1+ka1C1b2a2+ ka2C2b3a3+ ka3C36.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式=ai1Ai1 + a=ai1Ai1 + ai2Ai2 +- +ainAin = =1 L+anjAnj=Zn=iakjAkj|A|按|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式A四上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积;关于副对角线的n阶行列式的值A = （-1）nVa

6、1na2,n_1an1两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则A*OB=OA=OB*B11A*OB=OA=OB*B11x1x21x2x22 x nx2nXn-1 1xn-12Xn-1 n4.范德蒙行列式A*A*=h5.抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）若A、B都是n阶矩ATA-1AA*=R；=A*A =(-1)mn A B(xi -xj)，A*是A的伴随矩阵，若A可逆， kA = kn|A ；|AB| = |A|B|；a | = nt1Ai ；E若AB，则 A =i（i=1，2,n）是A|的特征值:A2I=IaI2；H=lAr，且特征值相同。一般情况下：AB主A B 五、行列式

7、的计算数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）kj倍都加到同一列（行）。逐行（或逐列）相加利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法一一验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。验证n=1和n=2时命题都正确，假设nk命题正确，证明n=k，命题正确。对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。抽象型行列式一一通常与矩阵一起考，利用行列式的性质（倍加、提公因数k、拆项）等来 恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。利用单位矩阵E =AA1 =A1 A恒等变形来计算|A+B|形式

8、的行列式。行列式|A|是否为0的判定若 A=a1，a2,an是 n 阶矩阵，那么行列式|A|=0 矩阵A不可逆秩r(A) 2)方阵的幂 (Ak)i = Aki，A kAi = Ak+i注意(AB)k = (AB)(AB)(AB)主 AkBk(A + B)k = A2 + AB + BA + B2 主 A2 + 2AB + B2(A + B)(A B)=A2 AB + BA B2主A2 B2特殊方阵的幂(求An)若秩r(A) = 1，则A可以分解为两个矩阵的乘积，WA2 = 1A，从而An = lniA例如 P218特殊的二项式展开(E + B)n分块矩阵B Cn= Bn $特征值、特征向量、相

9、似简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设A是n阶矩阵：单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成En或In数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成入。A = diaga 1，a2，an上（下）三角阵：当i 八i ；）时，有aij = 0的矩阵称为上（下）三角阵。对称阵：满AT = A，即ai. = a.i的矩阵称为对称阵反对称阵：满AT = A，即ai. = a .i， aii = 0的对称阵称为反对称阵。正交阵：ATA = AAt = E的矩阵称为正交阵，即At = A1初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。伴随矩阵：

10、见（一.1.6） A* = |A|-A1五、可逆矩阵主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。概念一一设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得AB = BA = E成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A-1 = B3.可逆的充要条件一一存在n阶矩阵B使得AB=E|A|丰0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关齐次方程组Ax=0只有零解矩阵A的特征值不全为04.逆矩阵的运算性质一一若k主0，Q(kA)-i = 1A-1若 A，B 可逆，则(AB)-1 = A-1B-1；特别地(A2)-i = (A-i)2|A|若AT可逆，则(AT)-i =

11、 (A-i)t； (A-1)-1 = A； |A-1| =|A|注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A + B)-1A-1 + B-1|A|5.求逆矩阵的方法若|A|主0，则A-1 = A*|A|初等变换(A|E) 行初等变换(E|A-1)用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且A-1 = B分块矩阵，设B,C都可逆，则O -1B OO CBO -1B OO CB-1 O -OC-1-O B -1C O-OC-1B-1 O六、初等变换、初等矩阵主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变 换；若是右乘就是相应的列变换。初等变换一一设A是mx n矩阵，

12、(倍乘)用某个非零常数k(k主0)乘A的某行(列)的每个元 素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初 等变换。初等矩阵一一由E经过一次初等变换所得的矩阵1 0 0倍乘初等矩阵E2(k) = 0 k 00 0 1互换初等矩阵e12 倍加初等矩阵E31(k) = 0 10k01等价矩阵一一矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成A -Bo若 A-Er O，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最 简矩阵。)初等矩阵与初等变换的性质一一初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类

13、型的初等矩阵E-1(k) = E. (!)，E-1 = E.，E-1(k) = E.(-k)P1AP2左行右列当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1,P2，Pn，使得Pn.P2PiA = E七、矩阵的秩求秩的主要方法:经过初等变换矩阵的秩不变;如果A可逆，则r(AB) = r(B)，r(BA) = r(B)矩阵的秩一一设A是mXn矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0， 则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。矩阵的秩的性质一一r(A) = r 矩阵A中非零子式的最高阶数是rr(A) r A中有r阶子式不为0特别地，r(A)

14、= 0 A = O ； A 主 O r(A)1若A是n阶矩阵，r(A) = n |A|主0 A可逆r(A) n |A| = 0 A 不可逆若 A 是 m X n 矩阵，Qr(A M minm, n)矩阵的秩的公式一一r(A) = r(AT)；r(ATA) = r(A)当k 主 0时，r(kA) = r(A)； r(A + B) r(A) + r(B)r(AB) minr(A),r(B)； 若 A 可逆，h(AB) = r(B)， r(BA) = r(B)若 A 是 mXn 矩阵，B 是 nXs 矩阵，AB=O，则r(A) + r(B) 0，等号成立当且仅当a = O。特别地，口(a,。)= 0

15、，则称a与。正交二、线性表出、线性相关 线性组合m个n维向量a1,a2,am及m个数kk?,km所构成的向量kiai+k2a2+kmam称为向量组aj,3皿的一个线性组合，数、,、,、称为组合系数。线性表出对n维向量aia?,a和。，如果存在实数、,妈,ks，使得kiai+k2a2+ksas = P则称向量。是向量aia?,a 的线性组合，或者说向量。可由aif,a线性表出。设有两个n维向量组(Dara?,a ；(11)。1,。2厂,片；如果(I)中每个向量斗都可由(II)中的向量缶,。2厂,片线性表出，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表出。如果(I)、(I)这两个向量组可以互相线性表出

16、，则称这两个向量组等价。等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。线性相关、无关一一对于n维向量aia?,a，如果存在不全为零的数、,蚂,ks，使得k*a1 + k2a2 +ksas = 0则称向量组aa?,a线性相关，否则称它线性无关。关于线性无关，只要、2,ks不全为零，必有kia1 + k2a2 + +ksas 0，或者，当且仅当 k* = k2 = ks = 0 时，才有 kia1 + k2a2 +ksas = 0显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量

17、组都是线性相关的，而阶梯形向量 组一定是线性无关的。证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数 则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。重要定理一一x1x 一 ,一n维向量组ai，a2，-,as线性相关齐次方程组（aia?,a）.2 = 0有非零解x s秩 r（a1，a2，-,as） 则ala?,a必线性相关。若n维向量组ai，a/.,av可由&,线性表出，且21足/,线性无关，则sMt三、极大线性无关组、秩 概念设向量组七形,a中，有一个部分组aiia或,a（1 M r M s），满足条件ai,aj2,a线性无关；】2再添加任一向量a.（1 M j M

18、 s），向量组aii，aj2,a必线性相关；（向量组aif,a中任何一个向量气必可由斗,椿2,椿线性表出）则懒向量组,%,.,%是向量组ai,a的一个极大线性无关组。注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的。秩一一向量aia?,a的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为Kara?,a）= r。（Kara?,a）M Kara?,a+i）如果向量组（Dara?,a可由（II）6,金,上线性表出，h（I）Mr（II）注意一一求向量组的极大无关组时，只能都作

19、行变换（或都做列变换），不能混合行列变换。如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。四、施密特正交化、正交矩阵正交矩阵设A是n阶矩阵，满足AAT = ATA = E，则A是正交矩阵。A是正交矩阵AT = Ali A的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式|A| = 1或 1。施密特正交化一一设向量组,%,%线性无关，其正交规范化方法步骤如下：令缶=呵电*2掀约*3则缶，p2，禺两两正交。再将Pi，P2，电单位化，取七=诂，哈=诂，丫3=诂IPIIP2 |IP3 I则七，哈，匕是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）第四章线性方程组一、克拉默法则ai1X1+ai2X2+-+ainX

20、n = b1概念_若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组a21X1 + a22X2 +a2nXn = b2.an1X1+an2X2+-+annXn = bn 的系数行列式IAI主0，则方程组有唯一解，且X. = ，i=1,2,.n。其中IAJ是|A|中的第i 列元素（即榭的系数）替换成方程组右端的常数项b1，b2，,bn所构成的行列式。a11X1 + a12X2 + +a1nXn = 0推论_若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组a21X1 + a22X2 +.+a2nXn = 0的an1X1 + an2X2+.+annXn = 0 系数行列式IAI主0的充要条件是方程组有唯一解，反之，

21、齐次线性方程组有非零解的充要 条件是IAI = 0。二、齐次线性方程组形式一一n个未知量m个方程组成的方程组向量形式：aiX1+2X2+nXn = 其中 aj=a1j，a2j，.，amjT矩阵形式：Am“X=O齐次线性方程组的解一一若将有序数组&,&,%代入方程组的未知量Xj%,Xn，使每个 方程等式成立，则称&,CnT为方程组的一个解（或解向量），记成= &,&,CnT齐次线性方程组的基础解系一一设&，&，&是AX=0的解向量，若满足&，&，&线性无关；AX=0的任一解向量&均可由&，&，线性表出。等价于：（加入任一解向量&使得&，&， 线性相关）（r（A） = r，即线性无关解向量的个数为

22、n r，满足r（A） +线性无关解的个数=n） 则懒向量&，A3nr是AX=0的基础解系。AX=0的解的性质一一若&，&是齐次线性方程组AX=0的解，则k&,k； + k角仍是AX=0 的解，其中k1,，k2是任意常数。推广到多个解AX=0有解的条件齐次线性方程AX=0 一定有解，至少有非零解。AX=0只有零解方程组的列向量组线性无关r （air，a”）= nAX=0有非零解方程组的列向量组线性相关悠，a”） n基础解系向量个数与秩的关系一一若A是mxn矩阵，r（A） = r n，则齐次线性方程组 AX=O存在基础解系，且基础解系由n r个线性无关解向量组成，故基础解系向量个数+ r（A） =

23、 n（未知量个数）AX=0的通解一一设&，&，玲r是AX=0的基础解系，则+k2&+、是AX=0 的通解，其中ki是任意常数。8.基础解系和通解的求法一一初等行变换三、非齐次线性方程组1.形式一一n个未知量m个方程组成的方程组向量形式：叩+ 2+.+“2 其中j = aij,a2.,-,amjT矩阵形式：Am”X=bb= bfb,，bmTAX=b的解的性质设财是心*的两个解，是对应齐次方程AX=0的解，则A(% - %)=。，A(% + 以)=bAX=b有解的条件AX=b无解b不能由A的列向量组a1，a2，-,an线性表出r(A)黄 r(A|b) r(A) + 1 = r(A|b)AX=b有解

24、q b可以由A的列向量组a1，a2，-,an线性表出r(A) = r(A|b)(a1，a2，-,an = a1，a2，-,an，bAX=b 有唯一解r(a1，a2，-,an) =(，)=n吃，线性无关，电，b线性相关一 b可以由A的列向量组，2,，an线性表出且表示唯一。AX=b 有无穷解r (%，吃，) =(，电，0 b) = r n%，线性相关，b可由，线性表出且表示不唯一。AX=b的通解结构对应的齐次通解+非齐次的一个特解。AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A齐次线性方程组有解。=加山2,，bn，故AX=0的系数行向量气和解向量3有如下关系:a.pT = 0，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量；Pt = 0，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。AX=0的系数列向量和解向量的关系P260两个方程组的公共解一一方程组AX = 0和BX = 0的公共解是满足方程组A X = 0的解。P263B8.同解方程组若A是mxn实矩阵，AX = 0和ATAX = 0是同解方程组，有r(A